【数学】2019届一轮复习人教A版 函数模型及其应用 学案
第12讲 函数模型及其应用
考纲要求
考情分析
命题趋势
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
2016·浙江卷，18
2016·四川卷，13
2016·北京卷，1
函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题．
分值：5～14分
1．三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调递增函数
单调递增函数
单调递增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
2．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
3．解决函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际意义．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．( × )
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )
(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( √ )
解析 (1)错误．当x∈(0,2)和(4，＋∞)时，2x>x2，当x∈(2,4)时，x2>2x.
(2)正确．由两者的图象易知．
(3)错误．增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a>0，b>1)．(4)正确．根据指数函数y＝ax(a>1)的函数值增长特点易知．
2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( B )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．
3．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表.
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则x，y最适合的函数的是( D )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B项，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．
4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的( B )
解析 由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B．
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( B )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
一 二次函数模型
在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．
【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
解析 设该单位每月获利为S，则S＝100x－y
＝100x－
＝－x2＋300x－80 000
＝－(x－300)2－35 000，
因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
二 指数函数、对数函数模型
一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制．
【例2】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( C )
A．16小时 B．20小时
C．24小时 D．28小时
(2)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1．12≈0.05，lg 1．3≈0.11，lg 2≈0.30)( B )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析 (1)由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln 192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln 192＝192e22k＝192(e11k)2，
∴e11k＝＝＝.
设该食品在33℃的保鲜时间是t小时，
则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.
(2)设第n(b∈N*)年该公司年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1>200，
则lg[130(1＋12%)n－1]>lg 200，∴lg 130＋(n－1)lg 1．12>lg 2＋2，
∴2＋lg 1．3＋(n－1)lg 1．12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，
解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年，故选B．
三 分段函数模型
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
【例3】 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)
解析 (1)当0
10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.
∴W＝
(2)①当00，当x∈(9,10]时，W′<0，
∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38，当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，故当x＝时，W取最大值38(当1 000x取整数时，W一定小于38)．
综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
四 函数y＝x＋(a>0)模型
函数y＝x＋(a>0)在[－，0)和(0，]上单调递减，在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增(函数单调性定义法、导数方法均可证明)，如图所示，函数图象无限趋近于直线y＝x，但永不相交．当在函数的定义域内时，可以使用基本不等式求最小值，当不在函数的定义域内时，根据函数的单调性求最小值．
【例4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解析 (1)由已知得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，
当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
1．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16 000，L2＝300x－2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( C )
A．11 000元 B．22 000元
C．33 000元 D．40 000元
解析 设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，所以当x＝60时，有最大利润33 000元，故选C．
2．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为( B )
A．3 000元 B．3 800元
C．3 818元 D．5 600元
解析 根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 200×14%＝448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元．根据题意可知其稿费应该为420÷14%＋800＝3 800(元)，故选B．
3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，
每辆客车营运年数为( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由题图，易求得y与x的关系式为y＝－(x－6)2＋11，＝12－≤12－10＝2，∴有最大值2，此时x＝5.
4．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元．
(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解析 (1)设旅行团人数为x人，由题意得00，
当0≤x≤7时，f(x)＝－0.5x2＋6x－3>0，
即x2－12x＋6<0⇔6－7时，21．5－x>0，∴70)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( B )
A．3 000元 B．3 300元
C．3 500元 D．4 000元
解析 由题意，设租金定为(3 000＋50x)元(0≤x≤70，x∈N)．
则利润为y，y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)
＝(2 900＋50x)(70－x)
＝50(58＋x)(70－x)≤502，
当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B．
二、填空题
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为__180__.
解析 依题意知：＝，即x＝(24－y)，y∈[8,24)，
∴阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，
∴当y＝12时，S有最大值为180.
8．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为__2_500_m2__(围墙厚度不计)．
解析 设矩形场地的宽度为x m，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋ 2 500.故当x＝25时，S取得最大值2 500，即围成场地的最大面积为2 500 m2.
9．(2018·山东潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据关系如下表.
时间t
60
100
180
种植成本Q
116
84
116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系．
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt，
利用你选取的函数，求得：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__120__.
(2)最低种植成本是__80__元/100 kg.
解析 根据表中数据可知函数不单调，
所以Q＝at2＋bt＋c且开口向上，对称轴t＝－＝＝120.
代入数据得
所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14
400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.
三、解答题
10．某产品原来的成本为1 000元/件，售价为1 200元/件，年销售量为1万件，由于市场饱和，顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级．据市场调查，若投入x万元，每件产品的成本将降低x元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(x)的函数解析式；
(2)求f(x)的最大值，以及f(x)取得最大值时x的值．
解析 (1)依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元，年销售量为万件，
纯利润为f(x)＝－x＝198.5－－.
(2)f(x)＝198.5－－≤198.5－2×＝178.5，当且仅当＝， 即x＝40时等号成立．
所以f(x)取最大值时的x的值为40.
11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1．80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1．8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4<5x时，
y＝4×1．8＋3x×1．8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1．8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1．5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1．8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1．8＋0.5×3＝8.70(元)．
12．(2018·湖北重点中学起点考试)A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站为A，B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距离A城多远处，才能使供电总费用y最少？
解析 (1)由题意得，x的取值范围是{x|10≤x≤90}．
(2)由题易知y＝5x2＋(100－x)2
＝x2－500x＋25 000(10≤x≤90)．
(3)因为y＝2＋，
所以当x＝时，ymin＝，
故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最小．
