高二数学人教a必修5练习：2-4-2等比数列的性质word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-4-2等比数列的性质word版含解析

课时训练 12 等比数列的性质 一、等比数列性质的应用 1.若{an}是等比数列,那么( ) A.数列 1 是等比数列 B.数列{ }是等比数列 C.数列{ 2 }是等比数列 D.数列{nan}是等比数列 答案:A 解析:由等比数列的定义判断即可. 2.在等比数列{an}中,a2 013=8a2 010,则公比 q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案:A 解析:∵a2 013=8a2 010,∴a2 010q3=8a2 010. ∴q3=8.∴q=2. 3.已知项数相同的等比数列{an}和{bn},公比分别为 q1,q2(q1,q2≠1),则数列①{3an};② 2 ;③{ 3 };④ {2an-3bn};⑤{2an·3bn}中等比数列的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:在①中, 3+1 3 =q1,是等比数列;在②中, 2 +1 2 1 1 ,是等比数列;在③中,令 an=2n-1,则数列{ 3 }为 3,32,34,…,因为 32 3 ≠ 34 32 ,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤ 中, 2+1 · 3+1 2 · 3 =q1·q2,是等比数列. 4.(2015 山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2答案:A 解析:a1a2a3=5 ⇒2 3 =5; a7a8a9=10 ⇒8 3 =10. 5 2 =a2a8,∴ 5 6 2 3 8 3 =50, ∴a4a5a6= 5 3 =5 2 .故选 A. 5.(2015 河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7+a11 的最小值为( ) A.16 B.8 C.2 2 D.4 答案:B 解析:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 , ∴a4·a14=(2 2 )2=8, ∴a7·a11=8, ∵a7>0,a11>0, ∴2a7+a11≥2 27 · 11 =2 2 × 8 =8.故选 B. 二、等差、等比数列的综合问题 6.等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( ) A.n(n+1) B.n(n-1) C. ( +1 ) 2 D. ( - 1 ) 2答案:A 解析:因为 a2,a4,a8 成等比数列,所以 4 2 =a2·a8,所以(a1+6)2=(a1+2)·(a1+14),解得 a1=2.所以 Sn=na1+ ( - 1 ) 2 d=n(n+1). 7.数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q= . 答案:1 解析:设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得 d=-1,故 q= 3+3 1+1 1 - 2+3 1+1 =1. 8.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则 1+2 2 的值为 . 答案:2.5 解析:∵a1+a2=1+4=5, 2 2 =1×4=4,且 b2 与 1,4 同号,∴b2=2, ∴ 1+2 2 5 2 =2.5. 9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为 a-d,a,a+d, (a-d)+a+(a+d)=48,即 a=16. 再设后三个数分别为 ,b,bq, 则有 ·b·bq=b3=8 000,即 b=20. ∴四个数分别为 m,16,20,n. ∴m=2×16-20=12,n= 202 16 =25, 即这四个数分别为 12,16,20,25. 10.已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d(d≠1),且 a1=b1,a4=b4,a10=b10. (1)求 a1 和 d 的值; (2)b16 是不是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得 1 + 3 1 3 , 1 + 9 1 9 , 所以 3 1 ·( 3 - 1 ), 9 1 ·( 9 - 1 ). 两式相除,得 3= 9 - 1 3 - 1 =d6+d3+1, 解得 d3=-2 或 d3=1(舍去). 所以 d=- 3 2 ,代入得 a1=-d= 3 2 . (2)b16=a1d15= 3 2 ×(- 3 2 )15=-32 3 2 , an=a1+(n-1)d= 3 2 +(n-1)×(- 3 2 ) =- 3 2 n+2 3 2 . 令 an=-32 3 2 ,得- 3 2 n+2 3 2 =-32 3 2 ,解得 n=34∈N*,故 b16 是数列{an}中的第 34 项. (建议用时:30 分钟) 1.在等比数列{an}中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则 a9a10a11 的值为( ) A.48 B.72 C.144 D.192 答案:D 解析:∵ 678 345 =q9=8(q 为公比), ∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192. 2.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案:A 解析:∵a3a11= 7 2 =16,且 an>0,∴a7=4. 又 a7=a5·q2=4a5,∴a5=1. 3.已知等比数列{an}满足 a1=3,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,则 a3+a4+a5 等于( ) A.33 B.84 C.72 D.189 答案:B 解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2×(2a1q), 即(q-2)2=0,∴q=2. ∴a3+a4+a5=3×(22+23+24)=84. 4.等比数列{an}中,已知 a9=-2,则此数列的前 17 项之积为( ) A.216 B.-216 C.217 D.-217 答案:D 解析:∵数列{an}为等比数列,∴a1a2a3…a17= 9 17 . 又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217. 5.已知 11,且 a1+a6=8,a3a4=12,则 11 6 = . 答案:3 解析:由已知 a3a4=12 得 a1a6=12, 又∵a1+a6=8.当 q>1 时,解得 a1=2,a6=6. 又∵a1a11= 6 2 ,∴ 11 6 6 1 =3. 7.在等比数列{an}中,若 an>0,a1·a100=100,则 lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100= . 答案:100 解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100. 8.公差不为零的等差数列{an}中,2a3- 7 2 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8= . 答案:16 解析:∵2a3- 7 2 +2a11=2(a3+a11)- 7 2 =4a7- 7 2 =0, ∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8= 7 2 =16. 9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为 12, 求这三个数. 解:设这三个数为 a-d,a,a+d, 则(a-d)+a+(a+d)=12,所以 a=4. 所以这三个数可以表示为 4-d,4,4+d. ①若 4-d 为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得 d=12,或 d=0(舍去). 此时,这三个数是-8,4,16. ②若 4+d 为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得 d=-12,或 d=0(舍去). 此时,这三个数是 16,4,-8. ③若 4 为等比中项,则有 42=(4-d)×(4+d), 解得 d=0(舍去), 综上所述,这三个数是-8,4,16 或 16,4,-8. 10.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2. 由 b1,b2,b3 成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2), 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2 ,q2=2- 2 . ∴{an}的通项公式为 an=(2+ 2 )n-1 或 an=(2- 2 )n-1. (2)设{an}的公比为 q, 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 得 aq2-4aq+3a-1=0(*). 由 a>0 得Δ=4a2+4a>0, 故方程(*)有两个不同的实根. 由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 代入(*)得 a= 1 3 .