2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

6 . 3 . 3 　 平面向量加、减运算的坐标表示 6 . 3 . 4 　 平面向量数乘运算的坐标表示 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握平面向量加法、减法、数乘的坐标运算法则 , 能够进行向量的坐标运算 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 2 . 掌握平面向量共线的坐标表示方法 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 3 . 能够运用向量坐标表示和向量共线的坐标表示解决相关问题 . ( 数学运算、数学抽象 ) 激趣诱思 知识点拨 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向 , 为了便于分析 , 如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、平面向量运算的坐标表示 平面向量的坐标运算法则 : 若向量 a = ( x 1 , y 1 ), b = ( x 2 , y 2 ), λ ∈ R , 则   文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和 a+b= (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 差 a-b= (x 1 -x 2 ,y 1 -y 2 ) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 λ a= ( λ x 1 , λ y 1 ) 向量坐 标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 = (x 2 -x 1 ,y 2 -y 1 ) 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 若 a = (3, - 2), b = ( - 1,4), 则 2 a + 3 b = 　　　　　 .  答案 : (1)(3,8) 　 (2)(2,10) 　 ( - 2, - 10 ) 激趣诱思 知识点拨 知识点二、平面向量共线的坐标 表示 前提 条件 a=(x 1 ,y 1 ),b=(x 2 ,y 2 ), 其中 b≠0 结论 向量 a,b(b≠0) 共线的充要条件是 x 1 y 2 -x 2 y 1 =0 名师点析 若 a , b ( b ≠ 0 ) 共线 , 则可设 a =t b ( t ∈ R ), 转化为坐标即 为 即 对应坐标成比例 . 若再转化为更一般的情况 , 可得 : a 1 b 2 -a 2 b 1 = 0 . 这是两向量共线坐标条件的一般化表示 , 适用于任意两向量共线 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 平面向量共线定理的内容是什么 ? 提示 : 向量 a ( a ≠ 0 ) 与 b 共线的充要条件是 : 存在唯一一个实数 λ , 使 b = λ a . 微练习 (1) 下列各组向量中 , 共线的是 ( 　　 ) A. a = (1,2), b = ( 4,2) B. a = (1,0), b = (0,2) C. a = (0, - 2), b = ( 0,2) D. a = ( - 3,2), b = ( - 6, - 4) (2) 若向量 m = (3, - 2) 与 n = ( x ,4) 共线 , 则实数 x= 　　　　　 .  解析 : (1)C 选项中 , b =- a , 所以 a 与 b 共线 , 其余各组向量均不共线 . (2) 因为两个向量共线 , 所以 3 × 4 = ( - 2) × x , 解得 x=- 6 . 答案 : (1)C 　 (2) - 6 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 向量的坐标 运算 分析 (1) 可直接运用坐标运算法则进行计算 . (2) 应先求出相关向量的坐标 , 再运用法则计算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量坐标运算要注意的问题 (1) 向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行 , 若已知有向线段两端点的坐标 , 则应先求出向量的坐标 , 要注意三角形法则及平行四边形法则的应用 . (2) 若是给出向量的坐标 , 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 . (3) 向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 向量坐标运算的 应用 分析 (1) 可直接设点 M , N 的坐标 , 通过已知 条件 列 方程组求解 ; 也可将题中所给向量式中向量的起点全都转化为以原点 O 为起点 , 再利用其终点坐标就是向量坐标这一性质求解 . (2) 可利用平面向量基本定理建立等量关系 , 代入坐标利用向量相等得到参数的值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 平面向量坐标运算应用技巧 (1) 坐标形式下向量相等的条件 : 相等向量的对应坐标相等 ; 对应坐标相等的向量是相等向量 . 由此可建立相等关系求某些参数的值 . (2) 利用坐标运算求向量的基底表示 , 一般先求基底向量和被表示向量的坐标 , 再利用待定系数法 . 设 c =x a +y b , 在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程 ( 组 ) 求出 x , y 的值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 共线向量的判断与 证明 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 根据向量共线求参数值 例 4 已知向量 a = ( - 1, x ), b = ( x- 2, - 3), 若向量 2 a + b 与向量 3 a - 2 b 共线 , 求实数 x 的值 . 分析 首先求出向量 2 a + b 与向量 3 a - 2 b 的坐标 , 然后根据向量共线的坐标表示建立方程求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解 : 因为 a = ( - 1, x ), b = ( x- 2, - 3), 所以 2 a + b = ( x- 4,2 x- 3),3 a - 2 b = ( - 2 x+ 1,3 x+ 6) . 因为向量 2 a + b 与向量 3 a - 2 b 共线 , 所以 ( x- 4)(3 x+ 6) = (2 x- 3)( - 2 x+ 1), 整理得 x 2 - 2 x- 3 = 0, 解得 x= 3 或 x=- 1 . 故实数 x 的值是 3 或 - 1 . 反思感悟 根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题 , 一般有两种处理思路 , 一是利用向量共线定理 a = λ b ( b ≠ 0 ) 列方程组求解 , 二是利用向量共线的坐标表达式 x 1 y 2 -x 2 y 1 = 0 或 ( y 1 y 2 ≠0) 直接求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中 , 若已知 “ 向量 a = ( - 1, x ), b = ( x- 2, - 3) 反向 ”, 如何求实数 x 的值 ? 解 : ( 方法一 ) 由题意可知向量 a = ( - 1, x ), b = ( x- 2, - 3) 共线 , 则有 ( - 1) × ( - 3) =x ( x- 2), 即 x 2 - 2 x- 3 = 0, 解得 x= 3 或 x=- 1 . 当 x= 3 时 , a = ( - 1,3), b = (1, - 3), 这时 a =- b , a 与 b 反向 ; 当 x=- 1 时 , a = ( - 1, - 1), b = ( - 3, - 3), 这时 3 a = b , a 与 b 同向 , 故实数 x 的值为 3 . ( 方法二 ) 因为向量 a = ( - 1, x ), b = ( x- 2, - 3) 反向 , 所以设 a = λ b ( λ < 0), 即 ( - 1, x ) = λ ( x- 2, - 3), 因为 λ < 0, 所以取 x= 3, 故实数 x 的值为 3 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 利用共线向量证明三点 共线 反思感悟 三点共线的实质与证明步骤 (1) 实质 : 三点共线问题的实质是向量共线问题 . 两个向量共线只需满足方向相同或相反 , 两个向量共线与两个向量平行是一致的 . (2) 证明步骤 : 利用向量平行证明三点共线需分两步完成 : ① 证明向量平行 ; ② 证明两个向量有公共点 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 线段定比分点的坐标公式及应用 1 . 线段定比分点的定义 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2 . 定比分点的坐标 表示 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1 . 已知 a = ( - 3,2), b = (2,3), 则 2 a - 3 b 等于 ( 　　 ) A.( - 12,5) B.(12,5) C.( - 12, - 5) D.(12, - 5) 解析 : 2 a - 3 b = 2( - 3,2) - 3(2,3) = ( - 6,4) - (6,9) = ( - 12, - 5) . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2 . ( 多选题 ) 下列各组向量中 , 不能作为基底的是 ( 　　 ) A. e 1 = (0,0), e 2 = (1,1) B. e 1 = (1,2), e 2 = ( - 2,1) D. e 1 = (2,6), e 2 = ( - 1, - 3) 解析 : A,C,D 中向量 e 1 与 e 2 共线 , 不能作为基底 ;B 中 e 1 , e 2 不共线 , 所以可作为一组基底 . 答案 : ACD 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : (7,5 ) 4 . 已知向量 a = (1,2), b = (1,0), c = (3,4), 若 λ 为实数 ,( a + λ b ) ∥ c , 则 λ 的值为 　　　　　 .  探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 答案 : 4 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (1) 点 P 在第一、第三象限角平分线上 ? (2) 点 P 在第三象限内 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测