上海教育高中数学一下反函数的概念

上海教育高中数学一下反函数的概念

‎4.5反函数的概念 一、教学内容分析 ‎“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用 二、教学目标设计 ‎（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；‎ ‎ （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；‎ ‎（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.‎ 三、教学重点与难点：‎ 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.‎ 四、教学流程设计 引导探索研究 例题巩固概念 创设情景引入 练习巩固反馈 总结归纳提升 五、教学过程设计 ‎1、设置情境，引出概念[来 引例：在两种温度度量制摄氏度()和华氏度（）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？ ‎ ‎0[‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎100‎ ‎115‎ ‎32‎ ‎68[‎ ‎95‎ ‎212‎ ‎239‎ 教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号；了解表示反函数的符号，表示对应法则. ‎ ‎2、 探索研究，深化概念 ‎①探求反函数成立的条件.‎ 例1（1）（）的反函数是 ‎ ‎ （2）（）的反函数是 ‎ ‎ （3）（）的反函数是 ‎ 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应，即与必须一一对应.‎ ‎②探求求反函数的方法.（课本例题）‎ 例2．求下列函数的反函数：‎ ‎（1）（2）（3）‎ ‎（4）‎ ‎[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影.‎ 学生活动：探求求反函数的方法.‎ （1） 变形:解方程得；‎ （2） 互换:互换的位置，得；‎ ‎（3）写出定义域:注明反函数的定义域 ‎③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.‎ 例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）‎ ‎ ‎ 教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.‎ 学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系.‎ ‎①从函数角度看：若函数有反函数，则 的反函数是，即和互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.‎ ‎②从函数图像看：原函数和反函数图像关于对称.‎ ‎③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. ‎ ‎3、例题分析，巩固方法：‎ ‎（1）课本练习4.5‎ ‎（2）补充练习：‎ ‎1、给出下列几个函数：①；② ‎ ‎③ ④其中不存在反函数的函数序号是 ②、④　　[来 ‎2、若指数函数的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为　 ( A )‎ ‎　　（A）　 （B） （C）　　（Ｄ）‎ ‎3、设，则 （ D ） ‎ ‎ （A）在（上是增函数 （B）在（上是减函数 ‎ ‎ （C）在上是减函数　　　　（Ｄ）在（上是增函数 ‎4、若函数是函数的反函数，则的图像为 （ B ）‎ ‎ ‎x x x x y y y y O O O O ‎ A B C D ‎5、反函数是 （ B ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎6、若有反函数且它的反函数就是本身，求应满足的条件.‎ 解：由，得.由，知.‎ 所以函数的反函数为.‎ 由于函数的反函数就是函数本身，即有 ‎，且.‎ 于是，解得，或，为任意实数.‎ 教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(等)‎ ‎4、课堂小结 ①反函数的概念及求法； ‎ ②函数及其反函数的关系；‎ ‎5、作业布置 练习册‎4.5 A组 六、教学设计说明 ‎1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.‎ ‎2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数的反函数存在的条件——“对值域中任意一个值，在定义域中总有唯一确定的值与它对应”.‎ ‎3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数有反函数，则的反函数是，即和互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.‎ ‎4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于对称，从而巩固对反函数概念的理解.‎