江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题

江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题

南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷 数 学 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．‎ 公式：球体积，随机变量的方差 一、单项选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1.设，，则=‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.若，则z=‎ A．1–i B．1+i C．–i D．i ‎3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A．24 B．36 ‎ C．48 D．64‎ ‎4.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为（ ）‎ A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）‎ A. 0.6076 B. 0.7516 C. 0.3924 D. 0.2484‎ ‎6.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎7.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logisic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎9.为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有（ ）‎ A. 若所有样本点都直线上，则 B. 若所有样本点都在直线上，则 C. 若越大，则变量与的线性相关性越强 D. 若越小，则变量与的线性相关性越强 ‎10. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则(　　)‎ A. 渐近线方程为y＝±x B. 渐近线方程为y＝±x C. ∠MAN＝60° D. ∠MAN＝120°‎ ‎11．已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）‎ A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为 C．为奇函数 D．在上只有一个零点 ‎ ‎ ‎12.若，，则下面有几个结论正确的有（ ）‎ A. 若，，则 B. ‎ C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)‎ ‎13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.‎ ‎14.函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.‎ ‎15.已知椭圆的焦点为F，短轴端点为P，若直线PF与圆相切，则圆O的半径为___________‎ ‎16.棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E—BCD的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.‎ 四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)‎ ‎17．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．‎ 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______，且，，成等差数列，则是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由，‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18记是正项数列的前项和，是和的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：‎ 得分 ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男性人数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ 女性人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为，求的概率分布和数学期望．‎ 附：，．‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎(1)当时，求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程；‎ ‎(2)当时，求函数在上的最大值．‎ ‎22.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴 于，两点。求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎ 南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷(答案)‎ 数 学 一、单项选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1.设，，则=‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎2.若，则z=‎ A．1–i B．1+i C．–i D．i ‎【答案】D ‎3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A．24 B．36 ‎ C．48 D．64‎ ‎【答案】B ‎4.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为（ ）‎ A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°‎ ‎【答案】B ‎5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ）‎ A. 0.6076 B. 0.7516 C. 0.3924 D. 0.2484‎ ‎【答案】A ‎6.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎7.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logisic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8.设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎9.为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点、、、求得两个变量的样本相关系数为，那么下面说法中错误的有（ ）‎ A. 若所有样本点都直线上，则 B. 若所有样本点都在直线上，则 C. 若越大，则变量与的线性相关性越强 D. 若越小，则变量与的线性相关性越强 ‎【答案】ABD ‎10. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则(　　)‎ A. 渐近线方程为y＝±x B. 渐近线方程为y＝±x C. ∠MAN＝60° D. ∠MAN＝120°‎ ‎【答案】BC　‎ ‎11．已知函数的图象的一个最高点为，与之相邻的一个对称中心为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）‎ A．为偶函数 B．的一个单调递增区间为 C．为奇函数 D．在上只有一个零点 ‎【答案】BD ‎ ‎12.若，，则下面有几个结论正确的有（ ）‎ A. 若，，则 B. ‎ C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】BCD 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)‎ ‎13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎14.函数且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎15.已知椭圆的焦点为F，短轴端点为P，若直线PF与圆相切，则圆O的半径为___________‎ ‎【答案】1‎ ‎16.棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E—BCD的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ 四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)‎ ‎17．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．‎ 已知的内角，，所对的边分别是，，，若______，且，，成等差数列，则是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由，‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【解析】选①‎ ‎∵，∴，‎ 即，解得（舍去）或．‎ ‎∵∴或，又∵，，成等差数列，∴，∴不是三角形中最大的边，即，由，得，即，‎ 故是等边三角形．‎ 选②‎ 由正弦定理可得，‎ 故．整理得．‎ ‎∵，∴．即．∵．∴．‎ 又∵，，成等差数列．∴．由余弦定理．可得，即．故是等边三角形．‎ 选③‎ 由正弦定理得，∵，∴．‎ 即，∵，∴，即，可得．‎ 由余弦定理．可得，即．故是等边三角形．‎ ‎18记是正项数列的前项和，是和的等比中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）因为是和的等比中项，‎ 所以①，当时，②，‎ 由①②得：，‎ 化简得，即或者（舍去），‎ 故，数列为等差数列，‎ 因为，解得，‎ 所以数列是首项为、公差为的等差数列，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ ‎19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：‎ 得分 ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男性人数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎3‎ 女性人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎21‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为，求的概率分布和数学期望．‎ 附：，．‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【解析】（1）由题意得列联表如下：‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 ‎25‎ ‎33‎ ‎58‎ 女性 ‎5‎ ‎37‎ ‎42‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 的观测值 因为11.29>10.828，‎ 所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关．‎ ‎(2)由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为，‎ ‎，，，‎ 即的概率分布如下 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎20.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，‎ ‎∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD，‎ ‎∵DC∥EB，DC＝EB，∴四边形DCBE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，‎ 又DE⊂平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE.‎ ‎（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝2，‎ 以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：‎ 则D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），‎ ‎∴（﹣2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，﹣1），‎ 设平面DAE的法向量为（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为（x2，y2，z2），‎ 则，，即，，‎ 令x1＝1得（1，0，2），令x2＝1得（1，1，0）.‎ ‎∴cos.‎ ‎∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，‎ ‎∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎(1)当时，求过坐标原点且与函数的图像相切的直线方程；‎ ‎(2)当时，求函数在上的最大值．‎ ‎【解析】(1)设切点坐标为，当时，，‎ 则 所以切线方程为，‎ 又过原点(0，0)，所以，‎ ‎，解得或，‎ 当时，切线方程为﹔‎ 当时，切线方程为．‎ ‎(2)因，‎ 所以，‎ 令，得，，‎ i)当，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．‎ 因，‎ ‎，‎ 所以，所以．‎ ⅱ)当，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增，所以．‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以．‎ 综上可得：．‎ ‎22.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴 于，两点。求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎ ‎【解析】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为，且。‎ 因为，所以，， ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎（2）证明：由题意可知，两点与点P不重合．‎ 因为，两点关于原点对称，所以设，，‎ 设以MN为直径的圆与直线交于两点，‎ 所以 直线：。当时，，所以。‎ 直线：。当时，，所以。‎ 所以，， ‎ 因为，所以， 所以 因为，即，， 所以，所以，‎ 所以，， 所以。‎ 所以以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值。‎