重庆高考数学理试题及答案

重庆高考数学理试题及答案

‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ （1）在等比数列中，，则公比的值为（ ）‎ ‎ A、2 B、‎3 ‎ C、4 D、8‎ ‎（2）已知向量满足，则（ ）‎ ‎ A、0 B、 C、4 D、8‎ ‎ （3）（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、1‎ ‎ （4）设变量满足约束条件则的最大值为（ ）‎ ‎ A、 B、‎4 ‎ C、6 D、8‎ 题（6）图 O ‎ （5）函数的图象（ ）‎ ‎ A、关于原点对称 B、关于直线对称 ‎ C、关于轴对称 D、关于轴对称 ‎ （6）已知函数 的部分图象如题（6）图所示，则（ ）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎ （7）已知，则的最小值是（ ）‎ ‎ A、3 B、‎4 ‎ C、 D、‎ ‎ （8）直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ （9）某单位安排7位员工在‎10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在‎10月1日，丁不排在‎10月7日，则不同的安排方案共有（ ）‎ ‎ A、504种 B、960种 C、1008种 D、1108种 ‎ （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）‎ ‎ A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎（11）已知复数则____________.‎ ‎（12）设，若，则实数_________.‎ ‎（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_____________.‎ ‎（14）已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则弦的中点到准线的距离为________.‎ ‎（15）已知函数满足：，则__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值域；（Ⅱ）记的内角的对边长分别为，若，求的值.‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）已知函数，其中实数（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性.‎ 题（19）图 C B A D E P ‎（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，点是棱的中点.（Ⅰ）求直线与平面的距离；（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 已知以原点为中心，‎ 为右焦点的双曲线的离心率. （Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；‎ M 题（20）图 G E N H O ‎ （Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎ 在数列中，，其中实数.‎ ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若对一切有，求的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题答案 一．选择题：每小题5分，满分 50分.‎ ‎（1）A （2）B（3）C （4）C （5）D （6）D（7）B （8）C （9）C （10）D 二．填空题：每小题5分，满分25分.‎ ‎（11） （12） （13） （14） （15）‎ 三．解答题：满分75分.（16）（本题13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ，‎ ‎ 因此的值域为.‎ ‎ （Ⅱ）由得，即，又因，‎ ‎ 故.解法一：由余弦定理，得，解得或.‎ ‎ 解法二：由正弦定理，得或.‎ ‎ 当时，，从而；‎ ‎ 当时，，又，从而.故的值为1或2.‎ ‎（17）（本题13分）解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.‎ ‎（Ⅰ）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得 .‎ ‎ （Ⅱ）的所有可能值为0，1，2，3，4，且 ‎ ， .‎ ‎ 从而知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 所以， .‎ ‎（18）（本题13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）.‎ ‎ 当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即.‎ ‎ （Ⅱ），由（Ⅰ）知，即，解得.‎ ‎ 此时，其定义域为，且 ‎ ，由得.当 ‎ 或时，；当且时，.‎ G F 答（19）图1‎ C B A D E P ‎ 由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数.‎ ‎（19）（本题12分）‎ ‎ 解法一：‎ ‎ （Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形中，平面，‎ ‎ 故直线与平面的距离为点到平面的距离.‎ ‎ 因底面，故，由知为等腰三角 形，又点是棱 中点，故.又在矩形 中，，而是在底面内的射影，由 三垂线定理得，从而平面，故 ‎.从而平面，故之长即为直线 与平面的距离.‎ ‎ （Ⅱ）过点D作，交CE于F，过点F作，交AC于G，则为所求的二面角的平面角.‎ 由（Ⅰ）知平面PAB，又，得平面PAB，故，从而.‎ 在中，.由，所以为等边三角形，故F为CE的中点，且.‎ 因为平面PBC，故，又，知，从而，且G点为AC的中点.‎ ‎ 连接DG，则在中，.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 解法二： P G F 答（19）图2‎ C B A D E （Ⅰ）如答（19）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系.‎ ‎ 设，则，‎ ‎.‎ 因此，‎ 则，所以平面PBC.‎ 又由知平面PBC，故直线AD与平面 PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为.‎ ‎（Ⅱ）因为，则.‎ 设平面AEC的法向量，则.‎ 又，故 所以. 可取，则.‎ 设平面DEC的法向量，则.‎ 又，故所以. 可取，则.‎ 故.所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎（20）（本题12分）H Q M 答（20）图 G E N O 解：（Ⅰ）设的标准方程为，则由题意，‎ 因此，‎ 的标准方程为.‎ ‎ 的渐近线方程为，即 和.‎ ‎ （Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点 在直线和 上，因此有，，‎ 故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为.‎ 设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点，‎ 由方程组及 解得.‎ 设MN与轴的交点为Q，则在直线中，令得（易知. 注意到，得.‎ 解法二：设，由方程组 解得，‎ 因，则直线MN的斜率.‎ 故直线MN的方程为，‎ 注意到，因此直线MN的方程为.下同解法一.‎ ‎（21）（本题12分）（Ⅰ）解法一：由，‎ ‎ ，‎ ‎ ， 猜测.‎ ‎ 下用数学归纳法证明.当时，等式成立；‎ ‎ 假设当时，等式成立，即，则当时，‎ ‎ ，‎ ‎ 综上， 对任何都成立.‎ ‎ 解法二：由原式得. 令，则，因此对有 ‎ ，‎ ‎ 因此，. ‎ 又当时上式成立.因此.‎ ‎（Ⅱ）解法一：由，得，‎ ‎ 因，所以.‎ ‎ 解此不等式得：对一切，有或，其中 ‎ ，‎ ‎ .易知，‎ ‎ 又由，知 ‎ ，‎ ‎ 因此由对一切成立得.又，易知单调递增，故 对一切成立，因此由对一切成立得.‎ ‎ 从而的取值范围为. 解法二：由，得 ‎，因，所以对恒成立.‎ ‎ 记，下分三种情况讨论.‎ ‎ （ⅰ）当即或时，代入验证可知只有满足要求.‎ ‎ （ⅱ）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，‎ ‎ 不符合题意，此时无解.‎ ‎ （ⅲ）当即或时，抛物线开口向上，其对称轴 ‎ 必在直线的左边. 因此，在上是增函数.‎ ‎ 所以要使对恒成立，只需即可.‎ ‎ 由解得或.‎ ‎ 结合或得或.‎ ‎ 综合以上三种情况，的取值范围为.‎ 高考试题来源：http://www.gaokao.com/zyk/gkst/‎