高考一轮复习专题导数及其应用含答案

高考一轮复习专题导数及其应用含答案

导数及其应用 考点一：导数概念与运算 （一）知识清单 1．导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 处有增量 ，那么函数 y 相应地有增量 =f（x + ）－f（x ），比值 叫做函数 y=f（x）在 x 到 x + 之间的平均变化率，即 = 。如果当 时， 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处可 导，并把这个极限叫做 f（x）在点 x 处的导数，记作 f’（x ）或 y’| 。 即 f（x ）= = 。 说明： （1）函数 f（x）在点 x 处可导，是指 时， 有极限。如果 不存在极限，就 说函数在点 x 处不可导，或说无导数。 （2） 是自变量 x 在 x 处的改变量， 时，而 是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 处的导数的步骤： （1）求函数的增量 =f（x + ）－f（x ）； （2）求平均变化率 = ； （3）取极限，得导数 f’(x )= 。 2．导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（x ））处的切线 的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x ，f（x ））处的切线的斜率是 f’（x ）。相 应地，切线方程为 y－y =f/（x ）（x－x ）。 3．几种常见函数的导数: ① ② ③ ; ④ ; ⑤ ⑥ ; ⑦ ; ⑧ . 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 0 x∆ y∆ 0 x∆ 0 x y ∆ ∆ 0 0 x∆ x y ∆ ∆ x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0→∆x x y ∆ ∆ 0 0 0 0xx= 0 0 lim→∆x x y ∆ ∆ 0 lim→∆x x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0 0→∆x x y ∆ ∆ x y ∆ ∆ 0 x∆ 0 0≠∆x y∆ 0 y∆ 0 x∆ 0 x y ∆ ∆ x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 0 x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;C′ = ( ) 1;n nx nx −′ = (sin ) cosx x′ = (cos ) sinx x′ = − ( ) ;x xe e′ = ( ) lnx xa a a′ = ( ) 1ln x x ′ = ( ) 1l g loga ao x ex ′ = 即： ( 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： 若 C 为常数,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘 以函数的导数： 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方： ‘= （v 0）。 形如 y=f 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则： y＇| = y＇| ·u＇| （二）典型例题分析 题型一：导数的概念及其运算 例1. 如果质点 A 按规律 运动，则在 t=3 s 时的瞬时速度为（ ） A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s 变式：定义在 D 上的函数 ，如果满足： ， 常数 ， 都有 ≤M 成立，则称 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数的上界. 【文】（1）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时刻 的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围. 【理】（2）若已知质点的运动方程为 ，要使在 上的每一时 刻的瞬时速度是以 M=1 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围. 例2. 已知 的值是（ ） A. B. 2 C. D. －2 .) ''' vuvu ±=± .)( ''' uvvuuv += ''''' 0)( CuCuCuuCCu =+=+= .)( '' CuCu =      v u 2 '' v uvvu − ≠ [ x(ϕ ]) X U X 32s t= )(xf x D∀ ∈ ∃ 0M > | ( ) |f x )(xf atttS ++= 1 1)( [0 , )t ∈ + ∞ atttS −+= 12)( [0 , )t ∈ + ∞ x fxf xxf x ∆ −∆+= →∆ )2()2(lim,1)( 0 则 4 1− 4 1 变式 1： （ ） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式 2： （ ） A． B． C． D． 例3. 求所给函数的导数： 变式：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x＜0 时, ＞ 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)＜0 的解集是（ ） A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3) C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3) 题型二：导数的几何意义 ① 已知切点，求曲线的切线方程； 注：此类题较为简单，只须求出曲线的导数 ，并代入点斜式方程即可． 例4. 曲线 在点 处的切线方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ② 已知斜率，求曲线的切线方程； 注：此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例5. 与直线 的平行的抛物线 的切线方程是（　　） ( ) ( ) ( )为则设 h fhff h 2 33lim,43 0 −−=′ → ( ) ( ) ( )0 0 0 0 3, lim x f x x f x xf x x x∆ → + ∆ − − ∆ ∆设 在 可导 则 等于 ( )02 xf ′ ( )0xf ′ ( )03 xf ′ ( )04 xf ′ ( ) 3 3 2 99 1log ; ; sin ( ( 1) ; 2 ; 2 sin 2 5 n x x xy x x y x e y x y x y e y x x− −= + = = = + = = + （文科） 理科） ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′+ ( )f x′ 3 23 1y x x= − + (1 1)−， 3 4y x= − 3 2y x= − + 4 3y x= − + 4 5y x= − 2 4 0x y− + = 2y x= Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ③ 已知过曲线外一点，求切线方程； 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例6. 求过点 且与曲线 相切的直线方程． 变 式 1 、 已 知 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 方 程 是 ， 则 。 变式 2、 考点二：导数应用 （一）知识清单 1． 单调区间：一般地，设函数 在某个区间可导， 2 3 0x y− + = 2 3 0x y− − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y− − = (2 0)， 1y x = ( )y f x= (1 (1))M f， 1 22y x= + (1) (1)f f ′+ = )(xfy = 如果 ，则 为增函数； 如果 ，则 为减函数； 如果在某区间内恒有 ，则 为常数； 2．极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3．最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数 f 在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ 在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4．定积分 （1）概念：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0 )(xf 'f 0)( 1 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 课后作业 1、曲线 在点 处的切线方程是 。 2、.已知曲线 C： ，直线 ，且直线 与曲线 C 相切于点 ，求直线 的方程及切点坐标。 3、设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线与直线 垂直，导函数 的最小值为 。（1）求 ， ， 的值； （2）求函数 的单调递增区间，并求函数 在 上的最大值和最小值。 3 22 4 2y x x x= − − + (1 3)−， xxxy 23 23 +−= kxyl =: l ( )00 , yx 00 ≠x l 3( )f x ax bx c= + + ( 0)a ≠ (1, (1))f 6 7 0x y− − = '( )f x 12− a b c ( )f x ( )f x [ 1,3]− 4、设函数 ，已知 是奇函数。 （1）求 、 的值。 （2）求 的单调区间与极值。 5、已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围． ( ) 3 2 ( )f x x bx cx x R= + + ∈ ( ) ( ) ( )g x f x f x′= − b c ( )g x 3 2( ) 1f x x ax x= + + + a∈R ( )f x ( )f x 2 1 3 3  − −  ， a 6、已知函数 ． （I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值； （II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围． 3 2( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b= + − − + + ( , )a b∈ R ( )f x 3− ,a b ( )f x ( 1,1)− a 7、已知函数 . (1) 设 ，求函数 的极值； (2) 若 ，且当 时， 12a 恒成立，试确定 的取值范围. 8、若函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 3 2 2 3( ) 3 9f x x ax a x a= − − + 1a = ( )f x 1 4a > [ ]1,4x a∈ )(' xf ≤ a ( ) ( ) 112 1 3 1 23 +−+−= xaaxxxf ( )4,1 ( )+∞,6 a 附加：1．（福建）已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（ ） A． B． C． D． 2．（海南）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．（海南）曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．（江苏）已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． x ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x− = − − =， 0x > ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >， 0x < ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> >， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′> <， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< >， ( ) 0 ( ) 0f x g x′ ′< <， 1 2e x y = 2(4 e )， 29 e2 24e 22e 2e xy e= 2(2 )e， 29 4 e 22e 2e 2 2 e 2( )f x ax bx c= + + '( )f x '(0) 0f > x ( ) 0f x ≥ (1) '(0) f f 3 5 2 2 3 2 5．若 ，则下列命题中正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（江西）若 ，则下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（辽宁）已知 与 是定义在 上的连续函数，如果 与 仅当 时的 函数值为 0，且 ，那么下列情形不可能出现的是（C ） A．0 是 的极大值，也是 的极大值 B．0 是 的极小值，也是 的极小值 C．0 是 的极大值，但不是 的极值 D．0 是 的极小值，但不是 的极值 8．（全国一）曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A． B． C． D． 9．（全国二）已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（浙江）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直 角坐标系中，不可能正确的是（ D ） π0 2x< < 3sin πx x< 3sin πx x> 2 2 4sin πx x< 2 2 4sin πx x> π0 2x< < 2sin πx x< 2sin πx x> 3sin πx x< 3sin πx x> ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x 0x = ( ) ( )f x g x≥ ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x 31 3y x x= + 41 3     ， 1 9 2 9 1 3 2 3 2 4 xy = 1 2 ( )f x′ ( )f x ( )y f x= ( )y f x′= 11． (北京) 是 的导函数，则 的值是 12．（广东）函数 的单调递增区间是 13．（江苏）已知函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， 则 14．（福建）设函数 ． （Ⅰ）求 的最小值 ； （Ⅱ）若 对 恒成立，求实数 的取值范围． 15．(广东)已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 ( )f x′ 31( ) 2 13f x x x= + + ( 1)f ′ − ( ) ln ( 0)f x x x x= > 3( ) 12 8f x x x= − + [ 3,3]− ,M m M m− = 2 2( ) 2 1( 0)f x tx t x t x t= + + − ∈ >R， ( )f x ( )h t ( ) 2h t t m< − + (0 2)t ∈ ， m a 2( ) 2 2 3f x ax x a= + − − ( )y f x= [ 1,1]− 上有零点，求 的取值范围．a