2018届二轮复习第44讲　推理与证明课件（全国通用）

2018届二轮复习第44讲　推理与证明课件（全国通用）

第 4 讲　 推理 与证明 专题四　数列、推理与证明 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 解析 高考真题 体验 1 2 3 1.(2016· 课标全国丙 ) 定义 “ 规范 01 数列 ” { a n } 如下： { a n } 共有 2 m 项，其中 m 项为 0 ， m 项为 1 ，且对任意 k ≤ 2 m ， a 1 ， a 2 ， … ， a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 . 若 m ＝ 4 ，则不同的 “ 规范 01 数列 ” 共有 ( 　　 ) A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个 √ 解析　 第一位为 0 ，最后一位为 1 ，中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110 ； 共 2 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 14( 个 ). 1 2 3 2.(2016· 山东 ) 观察下列等式： … 1 2 3 解析答案 1 2 3 3.(2016· 课标全国甲 ) 有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” ，则甲的卡片上的数字是 ________. 解析　 由丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5 ” 可知，丙为 “ 1 和 2 ” 或 “ 1 和 3 ” ， 又 乙说 “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1 ” ，所以 乙只可能为 “ 2 和 3 ” ， 所以 由甲说 “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ” ，所以甲只能为 “ 1 和 3 ”. 1 和 3 解析答案 考情考向分 析 返回 1. 以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现 . 2. 直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题 . 热点一　归纳推理 1. 归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 . 2. 归纳推理的思维过程如下： 热点分类突破 正方形数 N ( n, 4 ) ＝ n 2 ， 六边形数 N ( n, 6 ) ＝ 2 n 2 － n …… 可以推测 N ( n ， k ) 的表达式，由此计算 N (8,12) ＝ ______. 288 解析答案 解析答案 思维升华 思维 升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用 . 其思维模式是 “ 观察 — 归纳 — 猜想 — 证明 ” ，解题的关键在于正确的归纳猜想 . 跟踪演练 1 　 (1) 两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是 ( 　　 ) A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85 √ 解析 解析　 由已知图形中座位的排列顺序 ， 可 得：被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗 ， 分析 答案中的 4 组座位号，只有 D 符合条件 . (2) 用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第 100 个图形中有白色地砖 ________ 块；现将一粒豆子 随 机 撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是 ________. 503 答案 解析 解析　 按拼图的规律，第 1 个图有白色地砖 (3 × 3 － 1) 块， 第 2 个图有白色地砖 (3 × 5 － 2) 块， 第 3 个图有白色地砖 (3 × 7 － 3) 块， … ， 则第 100 个图中有白色地砖 3 × 201 － 100 ＝ 503( 块 ). 第 100 个图中黑白地砖共有 603 块， 热点二　类比推理 1. 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 . 2. 类比推理的思维过程如下： A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析 解析　 如图，设正四面体的棱长为 1 ， 此时易知点 O 即为正四面体内切球的球心， ch( x － y ) ＝ ch x ch y － sh x sh y 答案 解析 思维升华 故知 ch( x ＋ y ) ＝ ch x ch y ＋ sh x sh y ， 或 sh( x － y ) ＝ sh x ch y － ch x sh y ， 或 sh( x ＋ y ) ＝ sh x ch y ＋ ch x sh y . 思维升华 思维 升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起 . 当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比 . 300 解析　 在等比数列 { b n } 中，若 T n 是数列 { b n } 的前 n 项积， 类比上述结论，在公差为 3 的等差数列 { a n } 中，我们可以类比推断出： S 20 － S 10 ， S 30 － S 20 ， S 40 － S 30 也构成等差数列，公差为 100 d ＝ 300. 解析答案 答案 解析 解析　 设 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ， P 0 ( x 0 ， y 0 ) ， 因为 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在这两条切线上， 热点三　直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 由已知得 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 1 ， 则 a n ＋ 1 － a n ＝ 1 ，又 a 1 ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列 . 故 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 1 ＝ n . 解析答案 证明　 由 (1) 知， a n ＝ n ，从而 b n ＋ 1 － b n ＝ 2 n . b n ＝ ( b n － b n － 1 ) ＋ ( b n － 1 － b n － 2 ) ＋ … ＋ ( b 2 － b 1 ) ＋ b 1 ＝ (2 2 n ＋ 2 － 2 n ＋ 2 － 2 n ＋ 1) － (2 2 n ＋ 2 － 2·2 n ＋ 1 ＋ 1) ＝－ 2 n <0 ， 解析答案 思维升华 思维 升华 (1) 有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可 . (2) 综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候分析法和综合法交替使用 . 跟踪演练 3 　 (1) 已知 △ ABC 的三个内角 A ， B ， C 成等差数列， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 解析答案 只需证 c ( b ＋ c ) ＋ a ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( b ＋ c ) ， 需证 c 2 ＋ a 2 ＝ ac ＋ b 2 ， 又 △ ABC 三内角 A ， B ， C 成等差数列 ，故 B ＝ 60° ， 由余弦定理， 得 b 2 ＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ac cos 60° ，即 b 2 ＝ c 2 ＋ a 2 － ac ， 故 c 2 ＋ a 2 ＝ ac ＋ b 2 成立 . 于是原等式成立 . 证明　 假设 x 0 是 f ( x ) ＝ 0 的负根 ， 则 x 0 <0 ，且 x 0 ≠ － 1 ， 解析答案 热点四　数学归纳法 数学归纳法证明的步骤 (1) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 ∈ N * ) 时结论成立 . (2) 假设 n ＝ k ( k ∈ N * ，且 k ≥ n 0 ) 时结论成立，证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也成立 . 由 (1)(2) 可知，对任意 n ≥ n 0 ，且 n ∈ N * 时，结论都成立 . (1) 计算 f (1) ， f (2) ， f (3) 的值； 解析答案 (2) 比较 f ( n ) 与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 . 解析答案 思维升华 解　 (2) 由 (1) 知 f (1)>1 ， f (2)>1 ； 下面用数学归纳法证明： 当 n ≥ 3 时， f ( n )<1. ① 由 (1) 知当 n ＝ 3 时， f ( n )<1 ； ② 假设当 n ＝ k ( k ≥ 3 ， k ∈ N * ) 时， f ( k )<1 ， 那么当 n ＝ k ＋ 1 时， 解析答案 思维升华 所以当 n ＝ k ＋ 1 时， f ( n )<1 也成立 . 由 ① 和 ② 知，当 n ≥ 3 时， f ( n )<1. 所以当 n ＝ 1 和 n ＝ 2 时， f ( n )>1 ； 当 n ≥ 3 时， f ( n )<1 . 思维升华 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项 . 难点在于寻求等式在 n ＝ k 和 n ＝ k ＋ 1 时的联系 . 思维 升华 (1) 写出 a 2 ， a 3 ， a 4 的值，并猜想数列 { a n } 的通项公式； 解析答案 (2) 用数学归纳法证明你的结论 . 证明　 ① 由 (1) 易知， n ＝ 1 时，猜想正确 . 这说明， n ＝ k ＋ 1 时猜想正确 . 由 ①② 知，对于任何 n ∈ N * ， 返回 解析答案 1 2 3 高考押题精练 1. 将正整数作如下分组： (1) ， (2,3) ， (4,5,6) ， (7,8,9,10) ， (11,12,13,14,15) ， (16,17,18,19,20,21) ， (22,23,24,25,26,27,28) ， … 1 2 3 分别计算各组包含的正整数的和，如下所示： S 1 ＝ 1 ， S 2 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ， S 3 ＝ 4 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 15 ， S 4 ＝ 7 ＋ 8 ＋ 9 ＋ 10 ＝ 34 ， S 5 ＝ 11 ＋ 12 ＋ 13 ＋ 14 ＋ 15 ＝ 65 ， S 6 ＝ 16 ＋ 17 ＋ 18 ＋ 19 ＋ 20 ＋ 21 ＝ 111 ， S 7 ＝ 22 ＋ 23 ＋ 24 ＋ 25 ＋ 26 ＋ 27 ＋ 28 ＝ 175 ， … 试猜测 S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 015 ＝ ________. 1 008 4 答案 解析 押题依据 1 2 3 押题依据　 数表 ( 阵 ) 是高考命题的常见类型，本题以三角形数表中对应的各组包含的正整数的和的计算为依托，围绕简单的计算、归纳猜想以及数学归纳法的应用等，考查考生归纳猜想能力以及对数学归纳法逻辑推理证明步骤的掌握程度 . 解析 1 2 3 解析　 由题意知，当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ 1 ＝ 1 4 ； 当 n ＝ 2 时， S 1 ＋ S 3 ＝ 16 ＝ 2 4 ； 当 n ＝ 3 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＝ 81 ＝ 3 4 ； 当 n ＝ 4 时， S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ S 7 ＝ 256 ＝ 4 4 ； …… 猜想： S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 n － 1 ＝ n 4 . ∴ S 1 ＋ S 3 ＋ S 5 ＋ … ＋ S 2 015 ＝ 1 008 4 . 1 2 3 押题依据　 根据 n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大 . 答案 解析 押题依据 1 2 3 解析　 已知所给不等式的左边第一个式子都是 x ，不同之处在于第二个式子， …… 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为 x n ，分子是 n n ， 显然不等式右边的式子为 n ＋ 1 ， 1 2 3 3. 设数列 { a n } 是公比为 q 的等比数列， S n 是它的前 n 项和，证明：数列 { S n } 不是等比数列 . 押题依据　 反证法是一种重要的证明方法，对含 “ 至多 ”“ 至少 ” 等词语的命题用反证法十分有效，近几年高考时有涉及 . 因为 a 1 ≠ 0 ，所以 (1 ＋ q ) 2 ＝ 1 ＋ q ＋ q 2 ， 即 q ＝ 0 ，这与 q ≠ 0 矛盾，故 { S n } 不是等比数列 . 押题依据 返回 解析答案