高考新课标卷文科数学试题解析版

高考新课标卷文科数学试题解析版

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)‎ 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，，则的子集共有 A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 ‎【答案】B ‎【解析】=，故的子集有个．‎ ‎2．复数 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数，故选B．‎ ‎4．椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 第12页—共12页 ‎【解析】由可知，，∴，∴，∴．‎ ‎5．执行右面的程序框图，如果输入的是6，那么输出的是 A．120 B．720 C．1440 D．5040‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图可得，输出的，选B ‎6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．‎ 记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此．‎ ‎7．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=‎ A． B． C． D．‎ 第12页—共12页 ‎【答案】B ‎【解析】由题知，，选B．‎ ‎8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为 ‎【答案】D ‎【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D．‎ ‎9．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，=12，为的准线上一点，则的面积为_____．‎ A．18 B．24 C．36 D．48‎ ‎【答案】C ‎【解析】设抛物线方程为，则焦点坐标为，将代入可得，=12，即=12，∴=6．点在准线上，到的距离为=6，所以面积为．‎ ‎10．在下列区间中，函数的零点所在的区间为_____．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，所以的零点所在的区间为．‎ 第12页—共12页 ‎11．设函数，则 A．在单调递增，其图象关于直线对称 B．在单调递增，其图象关于直线对称 C．在单调递减，其图象关于直线对称 D．在单调递减，其图象关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】因为==，‎ 所以，在单调递减，对称轴为，即()．‎ ‎12．已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有_____．‎ A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 ‎【答案】A ‎【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则= ． ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵与垂直，‎ ‎∴()·() =0，‎ 第12页—共12页 化简得，根据、向量不共线，且均为单位向量得，得，即．‎ ‎14．若变量，满足约束条件，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】－‎ ‎6【解析】画出区域图知，‎ 当直线过的交点(4，-5)时，．‎ ‎15．中，，则的面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据得，‎ ‎，‎ 所以 ‎．‎ 因此=．‎ ‎16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球心为，半径为，圆锥底面圆圆心为，半径为，‎ 第12页—共12页 则有，即，所以，‎ 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为、，则．‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列中，，公比．‎ ‎(Ⅰ)为的前项和，证明：；‎ ‎(Ⅱ)设，求数列的通项公式．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为 所以 ‎（Ⅱ）‎ 所以的通项公式为 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．‎ 第12页—共12页 ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若，求棱锥的高．‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 ‎ 从而，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E．已知PD底面ABCD，则PDBC．‎ 由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD．‎ 故BC平面PBD，BCDE．‎ 则DE平面PBC．‎ 由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，‎ 根据BE·PB=PD·BD，得DE=，‎ 即棱锥D—PBC的高为 ‎19．（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 第12页—共12页 指标值分组 ‎[90，94)‎ ‎[94，98)‎ ‎[98，102)‎ ‎[102，106)‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94)‎ ‎[94，98)‎ ‎[98，102)‎ ‎[102，106)‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎(Ⅱ)已知用B配方生产的一种产品利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为． ‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为． ‎ ‎(Ⅱ)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值，由试验结果知，质量指标值的频率为0．96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96．‎ 用B配方生产的产品平均一件的利润为(元)．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上．‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)若圆与直线交于两点，且，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线与y轴的交点为(0，1)，与轴的交点为 ‎（‎ 故可设C的圆心为（3，），则有解得=1.‎ 第12页—共12页 则圆C的半径为 所以圆C的方程为 ‎（Ⅱ）设A()，B()，其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 由已知可得，判别式 因此，从而 ‎ ①‎ 由于OAOB，可得 又所以 ‎ ②‎ 由①，②得，满足故 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎(Ⅰ)求，的值；‎ ‎(Ⅱ)证明：当，且时，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 第12页—共12页 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 考虑函数，则 所以当时，故 当时，‎ 当时，‎ 从而当 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合．已知的长为，的长为，，的长是关于的方程的两个根．‎ 第12页—共12页 ‎(Ⅰ)证明：四点共圆；‎ ‎(Ⅱ)若，且求所在圆的半径．‎ ‎【解析】(Ⅰ)连结，根据题意在和中，，‎ 即． 又，从而∽．‎ 因此． 所以，，，四点共圆． ‎ ‎(Ⅱ)，时，方程的两根为，． ‎ 故，． ‎ 取的中点，的中点，分别过，作，的垂线，两垂线相交于点，连结． 因为，，，四点共圆，所以，，，四点所在圆的圆心为，半径为． ‎ 由于，故，，从而，． ‎ 故，，，四点所在圆的半径为．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．‎ ‎(Ⅰ)求的方程；‎ 第12页—共12页 ‎(Ⅱ)在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设，则由条件知，由于点在上，所以，即．‎ 从而的参数方程为(为参数)．‎ ‎(Ⅱ)曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． ‎ 射线与的交点的极径为，‎ 射线与的交点的极径为，‎ 所以． ‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数，其中．‎ ‎(Ⅰ)当时，求不等式的解集．‎ ‎(Ⅱ)若不等式的解集为｛|，求的值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时，可化为 由此可得或，故不等式的解集为或． ‎ ‎(Ⅱ)由得，此不等式化为不等式组 或即或． ‎ 由于，所以不等式组的解集为． ‎ 由题设可得，故．‎ 第12页—共12页