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文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版不等式选讲学案文
§13.2 不等式选讲
最新考纲
考情考向分析
1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．
2．含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．不等式证明的方法
(1)比较法
①作差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．
②作商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法．
(2)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法．
(3)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( × )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( √ )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( × )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．( × )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( √ )
题组二 教材改编
2．不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题意得
即
解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．
3．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；
②当15；
当－2≤x<时，y＝－x＋3>，y≤5；
当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.
解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，
故实数a的取值范围为.
题型一 绝对值不等式的解法
1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而11.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)方法一 当a＝2时，由题意知|x－2|＋|x－4|≥4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上．
故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．
方法二 当a＝2时，
f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，
解得x≤1；
当20恒成立，
∴不等式f(x)≥0的解集为.
(2)由方程f(x)＝x可变形为
m＝x＋|x－2|－|x＋2|.
令h(x)＝x＋|x－2|－|x＋2|
＝
作出图像如图所示，
数形结合，可得－2y，求证：2x＋≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.
证明 (1)因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，
只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，
所以原不等式成立．
思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
跟踪训练 (2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)
＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
1．解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解 方法一 如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．
显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法二 由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，
可得或
或解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法三 将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则
f(x)＝
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
2．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解 由绝对值的几何意义知，|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.
所以实数a的取值范围为(－∞，2)．
3．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．
解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，
所以|3a－3b|≤3，≤，
所以|4a－3b＋2|＝
≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，
即|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.
即实数m的取值范围为[6，＋∞)．
4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
证明 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由题设知a＋b＝c＋d，ab＞cd，
得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd；
由(1)得＋＞＋，即必要性成立；
②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|，即充分性成立．
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
5．(2017·洛阳模拟)已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.
当x<－时，－x－2≤2，解得－4≤x<－；
当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；
当x>1时，x≤0，此时x不存在，
∴原不等式的解集为.
(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，
则f(x)＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，
解得a≥，即a的取值范围是.
6．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解 当a＝－3时，f(x)＝|x－3|＋|x－2|
＝
当x≤2时，由f(x)≥3，得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2a2.同理b>b2，c>c2.
∴a2＋b2＋c21，①当x<0时，≤x<0；
②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m,0≤x≤1；
③当x>1时，得2x－1≤m,1
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