2010高考导数试题汇编教师版1
导数综合训练
1．已知函数，，记
(1)求的单调区间； (2)当时，若，比较：与的大小；
(3)若的极值为，问是否存在实数，使方程有四个不同实数根？
若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：(1)的定义域为（0，+∞）， 又
， 当时，>0恒成立
∴在（0，+∞）上单调递增； 令得
当时，若， ∴在（0，）上单调递减；
若，，∴在（，+∞）上单调递增，
故时，增区间为；时，增区间为，减区间为（0，）.
(2)令，则，
所以在［1，+∞）上单调递增，∴，∴
(3)由(1)知仅当时，在＝处取得极值
由可得＝２，方程为．．．，
令，得．．．由方程有四个不同的根，得方程有两个不同的正根，
令，当直线与曲线相切时，，得切点坐标（３，）
∴切线方程为，其在y轴上截距为；
当直线在轴上截距时，和在y轴右侧有两个不同交点，
所以k的取值范围为（，0）（注：也可用导数求解）
2.（2010湖南文）已知函数其中a<0,且a≠-1.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数（e是自然数的底数）。是否存在a，
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使在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
3.（2010浙江理）已知是给定的实常数，设函数，，
是的一个极大值点．
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(1)求的取值范围；
(2)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）f’(x)=ex(x-a) 令
于是，假设
(1)当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。
(2)当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1
0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。。
9.（2010安徽文）设函数，，求函数的单调区间与极值。
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10.（2010浙江文）已知函数（a-b）0.
(1)若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
(2)若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=, f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.
（Ⅱ）f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论：
（1） 若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X
0
f’(x)
+
0
-
0
+
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f(x)
极大值
极小值
当时，f（x）>0等价于即
解不等式组得或.因此21时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.
18.（2010福建文）已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2
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(1)求实数a,b的值；
(2)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
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19.（2010全国1理）已知函数.
(1)若，求的取值范围； (2)证明： .
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20.（2010四川文）设（且），g(x)是f(x)的反函数.
(1)求；
(2)当时，恒有成立，求t的取值范围；
(3)当0＜a≤时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由.
21.（2010湖北文）设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1
(1)确定b、c的值
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(2)设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）
证明：当时，
(3)若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。
22.（2010山东理数）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设当时，若对任意，存在，
使，求实数取值范围.
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（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，
有，又已知存在，使，所以，，
即存在，使，即，即，
所以，解得，即实数取值范围是。
23.（2010湖南理）已知函数对任意的，恒有。
(1)证明：当时，；
(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。
解：
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24.（2010湖北理）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(1)求k的值及f(x)的表达式。
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。
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25．设函数.
(1)若，求的最小值； (2)若当时，，求实数的取值范围.
解：(1)时，，.
当时，；当时，.
所以在上单调减小，在上单调增加，故的最小值为
(2)，
当时，，所以在上递增，
而，所以，所以在上递增，
而，于是当时， .
当时，由得
当时，，所以在上递减，
而，于是当时，，所以在上递减，
而，所以当时，.
综上得的取值范围为.
26.（2010安徽理）设为实数，函数。
(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，。
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27.（2010江苏）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。
(1)设函数，其中为实数。
(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数，
，，且，
若||<||，求的取值范围。
解：（1）(i)
∵时，恒成立， ∴函数具有性质；
(ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时，，，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，
对于，总有，，故此时在区间上递增；
（方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
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当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而
当时，，，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有>0，
所以对任意的都有，在上递增。
又。
当时，，且，
综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
①当时，有，
，得，同理可得，所以由的单调性知、，
从而有||<||，符合题设。
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②当时，，
，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。
③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是（0，1）。
28.（09全国Ⅰ理）设函数在两个极值点，且
(1)求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；
(2)证明：
分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。
大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根
则有
故有
右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。
(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。
解： 由题意有．．．．．．．．．．．．①
又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
消去可得．
又，且 www.ks5u.com
29.（09浙江理）已知函数，，其中．21世纪教育网
(1)设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
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(2)设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存
在，请说明理由．
解：（I）因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 21世纪教育网
，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；21世纪教育网
（II）当时有；
当时有，因为当时不合题意，因此，
下面讨论的情形，记A，B=（ⅰ）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（ⅱ）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（ⅰ）（ⅱ）；
当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；
同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．21世纪教育网
30.（09北京理）设函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
21世纪教育网
解：（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
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当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.
31.（09江苏）设为实数，函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
解：（1）若，则
（2）当时，
当时，
综上
（3）时，得，
当时，；
当时，△>0,得：
讨论得：当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为.
32.（09广东理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在
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处取得极小值．设．
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设 ()，则；
又的图像与直线平行
， ，
设，则 21世纪教育网
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时， 解得
当时， 解得
（2）由()，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，
函数有两个零点，即；
若，，
函数有两个零点，即；
当时，方程有一解, ,
函数有一零点
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综上，当时, 函数有一零点；
当()，或（）时，
函数有两个零点；
当时，函数有一零点.
33.（09安徽理）已知函数，讨论的单调性.
解：的定义域是(0,+), 21世纪教育网
设,二次方程的判别式.
① 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。
② 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。
③ 当，即时，
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增
极大
单调递减
极小
单调递增
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
34.设函数有两个极值点，且
(1)求的取值范围，并讨论的单调性；(2)证明：
解: （I）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得
⑴当时，在内为增函数；21世纪教育网
⑵当时，在内为减函数；
⑶当时，在内为增函数；
（II）由（I），
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设，
则
⑴当时，在单调递增；
⑵当时，，在单调递减。21世纪教育网
故．
35.（09辽宁文）设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
(1)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(2)证明：当
解：（Ⅰ）.有条件知，
，故.
于是.
故当时，＜0；
当时，＞0.从而在，单调减少，在单调增加.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.
从而对任意，，有.
而当时，.从而
36.（09辽宁理）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：若，则对任意x，x，xx，有。
解：(1)的定义域为。
（i）若即,则 故在单调增加。
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.
(II)考虑函数
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则
由于1
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