- 2021-05-21 发布 |
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文档介绍
新教材数学人教B版必修第二册课件:6-3-5 平面向量数量积的坐标表示
精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 第六章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第 一 篇 教 材 过 关 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 “我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太 阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我 希望……”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节 讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示. 情景导学 精读教材·必备知识 问题:数量积有什么作用呢? 答案 求线段的长度,判断垂直关系,求夹角. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 教材研读 坐标表示 数量积 a·b=① 垂直 a⊥b⇔② 模 |a|2= + 或|a|= 设A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=③ 2 1x 2 1y 2 2 1 1x y AB 夹角 cos θ= = | || | a b a b 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x y y x y x y x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则 的模表示什么?OA 思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b与a⊥b的坐标表示的区别是什么? 提示 易知 =(x,y),则| |= ,即点A到原点的距离.OA OA 2 2x y 提示 a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;a⊥b ⇔ x1x2+y1y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究一 数量积的坐标运算 互动探究·关键能力 例1 已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)·(a-2b)= . 解析 解法一:∵a·b=2×3+(-1)×(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13, ∴(3a-b)·(a-2b)=3a2-7a·b+2b2=3×5-7×8+2×13=-15. 解法二:∵a=(2,-1),b=(3,-2), ∴3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1), a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3), ∴(3a-b)·(a-2b)=3×(-4)+(-1)×3=-15. -15 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 (变条件,变问法)若存在向量c,满足a·c=2,b·c=5,则向量c= .(-1,-4) 解析 设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5, 所以 解得 所以c=(-1,-4). 2 - 2, 3 -2 5, x y x y -1, -4, x y 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 向量数量积坐标运算的途径 进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途 径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运 算律将原式展开,再依据已知条件计算. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 1-1 向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(1,0),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1-2 已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量a的坐标; (2)若c=(2,-1),求(b·c)·a. 解析 (1)因为a与b同向,又b(1,2),所以设a=λb,则a=(λ,2λ).又因为a·b=10,所以1 ×λ+2×2λ=10,解得λ=2>0,又λ=2符合a与b同向,∴a=(2,4). (2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,∴(b·c)·a=0·(2,4)=0. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究二 平面向量的模与垂直问题 例2 (1)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上 的动点,则| +3 |的最小值为 . (2)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求| |与点D的坐 标. PA PB AD 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 (1)以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示. 则A(2,0),D(0,0),设CD=a,则B(1,a),C(0,a), 设P(0,b)(0≤b≤a),则 =(2,-b), =(1,a-b), 所以 +3 =(5,3a-4b), PA PB PA PB 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以| +3 |= ≥5, 所以| +3 |的最小值为5. (2)设点D的坐标为(x,y). ∵A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1), ∴ =(x-2,y+1), =(-6,-3), =(x-3,y-2). ∵D在直线BC上,∴ 与 共线, ∴存在实数λ,使 =λ , 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3), PA PB 225 (3 -4 )a b PA PB AD BC BD BD BC BD BC 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴ ∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.① 又∵AD⊥BC,∴ · =0, ∴(x-2,y+1)·(-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, ∴2x+y-3=0.② 由①②可得 -3 -6 , -2 -3 , x λ y λ AD BC 1, 1, x y ∴点D的坐标为(1,1),∴ =(-1,2), ∴| |= = . AD AD 2 2(-1) 2 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 思维突破 1.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算. (2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|= .2 2x y 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.利用向量解决垂直问题的步骤 (1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来. (2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量. (3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值. (4)还原要解决的几何问题. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 2-1 已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)⊥a,则|a-2b|= . 解析 ∵a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)⊥a, ∴(a-2b)·a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,∴x=1, ∴a-2b=(-1,1), ∴|a-2b|= . 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2-2 已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴ =(1,1), =(-3,3), 则 · =1×(-3)+1×3=0, ∴ ⊥ ,即AB⊥AD. (2)∵ ⊥ ,四边形ABCD为矩形, ∴ = . 设点C的坐标为(x, y),则 =(x+1,y-4),从而有 解得 AB AD AB AD AB AD AB AD AB DC DC 1 1, -4 1, x y 0, 5, x y 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 ∴点C的坐标为(0,5),∴ =(-2,4), ∴| |= =2 , ∴矩形ABCD的对角线的长度为2 . AC AC 2 2(-2) 4 5 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 探究三 向量的夹角问题 例3 (易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值 范围是 ( ) A.(-2,+∞) B. ∪ C.(-∞,-2) D.(-2,2) 1-2, 2 1 , 2 B 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 当a与b共线时,2k-1=0, ∴k= , 此时a与b方向相同,夹角为0°, 所以要使a与b的夹角为锐角, 则有a·b>0且a,b不同向. 由a·b=2+k>0,得k>-2,且k≠ , 即实数k的取值范围是 1 2 1 2 ∪ .1-2, 2 1 , 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 变式训练 1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝 角”,求实数k的取值范围. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 当a与b共线时,-2k-1=0, ∴k=- , 此时a与b方向相反,夹角为180°,所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0, 且a与b不反向.由a·b=-2+k<0,得k<2. 由a与b不反向得k≠- , 所以k的取值范围是 ∪ . 1 2 1 2 1- ,- 2 1- ,2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“ (a+b)⊥(a-b)”,求实 数k的值. 解析 ∵a=(2,1),b=(1,k), ∴(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k). ∵(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)·(a-b)=(3,1+k)·(1,1-k)=0, ∴3+(1-k2)=0, ∴k=2或k=-2. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 易错点拨 常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分. 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积. (2)求模:若a=(x,y),则用|a|= 计算两向量的模. (3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,则利用公式cos θ= 可求夹角的余弦值. (4)求角:利用向量夹角的范围及cos θ,求θ的值. 2 2x y 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x x y y x y x y 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 跟踪训练 3-1 在平面直角坐标系中,O为坐标原点, = ,若 绕点O逆时针旋转 60°得到向量 ,则 = ( ) A.(0,1) B.(1,0) C. D. OA 3 1, 2 2 OA OB OB 3 1,- 2 2 1 3,- 2 2 A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 ∵在平面直角坐标系中,O为坐标原点, = , ∴sin∠AOx= ,cos∠AOx= ,∴∠AOx=30°,即 和x轴的夹角为30°. 若 绕点O逆时针旋转60°得到向量 , 则∠BOx=30°+60°=90°. 设 =(0,b),∴ · =1×1×cos 60°=0+ b, ∴b=1,∴ = (0,1). OA 3 1, 2 2 1 2 3 2 OA OA OB OB OA OB 1 2 OB 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是 ( ) A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6} 课堂检测 评价检测·素养提升 解析 ∵a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b, ∴a·b=2(x-5)+3x=0, 解得x=2, 故由x的值构成的集合是{2}. C 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos= . 解析 由题意知cos= = =- .| | | | a b a b 2 2 2 2 2 (-8) 2 6 2 2 (-8) 6 2 10 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 3.(2020课标全国Ⅰ理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= . 解析 由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2a·b=1,而|a|=|b|=1,故a·b=- ,|a-b|= = = = . 1 2 2| - |a b 2 2a b -2a b 1 1 1 3 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 4.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|= . 解析 由题知,a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b, ∴(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0, 解得m=- ,∴a=(1,-1),∴|a|= . 1 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 5.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求: (1)向量a的模; (2)与a平行的单位向量的坐标; (3)与a垂直的单位向量的坐标. 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 (1)∵a= =(2,1)-(-2,4)=(4,-3), ∴|a|= =5. (2)与a平行的单位向量是± =± (4,-3), 即 或 . (3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n), 由(1)知,a·e=4m-3n=0, ∴ = ,① AB 2 24 (-3) | | a a 1 5 4 3,- 5 5 4 3- , 5 5 m n 3 4 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 又∵|e|=1,∴m2+n2=1,② 由①②解得 或 ∴e= 或e= . 3 , 5 4 5 m n 3- , 5 4- , 5 m n 3 4, 5 5 3 4- ,- 5 5 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 数学运算——利用数形结合思想解决几何问题 如图所示,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 · = ,则 · 的值是 . 2 AB AF 2 AE BF 素养演练 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的 平面直角坐标系. 则B( ,0),D(0,2),C( ,2),E( ,1). 可设F(x,2),因为 · =( ,0)·(x,2)= x= , 2 2 2 AB AF 2 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 所以x=1,所以F(1,2),所以 · =( ,1)·(1- ,2)= . 素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立 坐标系,并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养. AE BF 2 2 2 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 针对训练 已知 ⊥ ,| |= (t>0),| |=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且 = + ,则 · 的最大值等于 ( ) A.13 B.15 C.19 D.21 AB AC AB 1 t AC AP | | AB AB 4 | | AC AC PB PC A 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 解析 以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则B (t>0),C(0,t),∴ = , =(0,t), ∴ = + =t + (0,t)=(1,4),∴P(1,4), 1,0 t AB 1,0 t AC AP | | AB AB 4 | | AC AC 1,0 t 4 t 精读教材·必备知识 互动探究·关键能力 评价检测·素养提升 则 · = ·(-1,t-4)=17- ≤17-2 =13, 当且仅当t= 时,取“=”.故 · 的最大值为13.故选A. PB PC 1-1,-4 t 1 4t t 1 4t t 1 2 PB PC 查看更多