2019届二轮复习平面向量框图与合情推理教案（全国通用）
第2讲 平面向量、框图与合情推理
1.(2018·全国Ⅱ卷,文4)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于( B )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)0
解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.
因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.
2.(2018·全国Ⅱ卷,文8)为计算S=1-+-+…+-,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( B )
(A)i=i+1 (B)i=i+2 (C)i=i+3 (D)i=i+4
解析:由题意可将S变形为S=1++…+-++…+,则由S=N-T,得N=1++…+,T=++…+.据此,结合N=N+,T=T+易知在空白框中应填入i=i+2.故选B.
3.(2017·全国Ⅰ卷,文10)如图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( D )
(A)A>1 000和n=n+1 (B)A>1 000和n=n+2
(C)A≤1 000和n=n+1 (D)A≤1 000和n=n+2
解析:程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,在和
两个空白框中,可以分别填入A≤1 000和n=n+2,故选D.
4.(2017·全国Ⅱ卷,文9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( D )
(A)乙可以知道四人的成绩
(B)丁可以知道四人的成绩
(C)乙、丁可以知道对方的成绩
(D)乙、丁可以知道自己的成绩
解析:乙、丙一定是一优一良,可推出甲、丁一优一良,乙知道丙的成绩,就可推理出自己成绩,丁看到甲的成绩同样可推理出自己成绩,故D正确,而他们仍无法知道其余两人成绩.
5.(2016·全国Ⅱ卷,文16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”.乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
解析:设三张卡片分别为A(1,2),B(1,3),C(2,3),由丙的数字和不是5,则丙的卡片可能为A或B.若丙为A(1,2),则乙为C(2,3),甲为B(1,3)合题,若丙为B(1,3),则甲、乙卡片上的相同数字为2,不合题.
答案:1和3
1.考查角度
(1)平面向量:考查平面向量的线性运算、数量积运算及其简单应用(求模、夹角,根据平行、垂直关系求参数值等).
(2)框图:考查程序框图的算法功能、完善框图的条件等.
(3)合情推理:考查逻辑推理与合情推理的综合运用.
2.题型与难易度
选择题、填空题,难度中等或中等偏上.
(对应学生用书第4~5页)
平面向量
考向1 平面向量线性运算
【例1】 (1)(2018·海南省八校联考)设D为线段BC的中点,且+=-6,则( )
(A)=2 (B)=3
(C)=2 (D)=3
(2)
(2018·河北武邑中学调研二)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ等于( )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:(1)由D为线段BC的中点,且+=-6,
得2=-6,=-3,
即=3.故选D.
(2)因为E为线段AO的中点,
所以=+=+=+=λ+μ,
所以λ+μ=+=.故选B.
平面向量的线性运算是指加减和数乘运算,注意如下几点:(1)=-(O为任意一点,下同);(2)若D为AB中点,则=(+);(3)如果=t+(1-t),则A,B,C三点共线,反之亦然.
考向2 平面向量的数量积运算
【例2】 (1)(2018·吉林省百校联盟九月联考)已知单位向量e1与e2的夹角为,向量e1+2e2与2e1+λe2的夹角为,则λ等于( )
(A)- (B)-3
(C)-3或- (D)-1或-3
(2)(2018·吉林省长春市一模)已知平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|=|b|=1,|c|=3,则|a+b+c|= .
解析:(1)法一 由题意,得e1·e2=1×1×cos =,
所以(e1+2e2)·(2e1+λe2)
=2|e1|2+(4+λ)e1·e2+2λ|e2|2
=2+(4+λ)+2λ
=λ+4,
|e1+2e2|==
=,
|2e1+λe2|==
=.
所以cos ==-,
两边同时平方并整理得(3λ+2)(λ+3)=0,
解得λ=-3或λ=-,
经检验将λ=-代入原方程=-中,不成立,故λ=-3.故选B.
法二 根据已知可设e1=(1,0),e2=,,
则e1+2e2=(2,),2e1+λe2=2+λ,λ,
所以(e1+2e2)·(2e1+λe2)=4+λ,|e1+2e2|=,|2e1+λe2|=,下同解法一.
(2)因为a,b,c不共线,两两夹角相等,
所以
===120°,
所以a·b=1×1×cos 120°=-,
a·c=b·c=1×3×cos 120°=-.
所以|a+b+c|=
=
==2.
答案:(1)B (2)2
(1)平面向量的数量积运算既可以使用定义,即a·b=|a||b|cos,也可以使用坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),a·b=x1x2+y1y2;(2)向量的夹角和模的求解是根据数量积的定义和坐标运算得出的,特别注意|a|=.
热点训练1:(1)(2018·齐鲁名校教研协作体冲刺卷)已知☉O1,☉O2,☉O3的半径依次为1,2,3,☉O1,☉O2外切于点M,☉O2,☉O3外切于点N,☉O3,☉O1外切于点P,则·(+)等于( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2018·河南郑州二次质检)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=1,若a·b=,则(a+b)·(2b-c)的最小值为( )
(A)-2 (B)3- (C)-1 (D)0
解析:(1)
如图所示,O1O2=3,O2O3=5,O3O1=4,
所以O2O1⊥O3O1,=+=+=+(-)=+,
所以·(+)=+·(+)=++=×3+×4=.故选B.
(2)由a·b=,可得=,
不妨设a=(1,0),b=,,c=(cos θ,sin θ),
原式=2a·b-a·c+2b2-b·c
=3-cos θ+cos θ+sin θ
=3-sinθ+,
所以最小值为3-,故选B.
框图
【例3】 (1)(2018·安徽安庆二模)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出的x值为( )
(A)0 (B)1 (C)16 (D)32
(2)(2018·福建厦门第二次质检)执行如图的程序框图,若输出S的值为55,则判断框内应填入( )
(A)n≥9? (B)n≥10?
(C)n≥11? (D)n≥12?
解析:(1)x=0,t=1,k=10;x=2,t=2,k=8;x=16,t=3,k=6;x=1,t=4,k=4.此时满足条件结束循环.故选B.
(2)程序运行中变量值依次为S=-1,n=2;S=3,n=3;S=-6,n=4;S=10,n=5;S=-15,n=6;S=21,n=7;S=-28,n=8;S=36,n=9;S=-45,n=10;S=55,n=11,此时应结束循环,条件应为n≥11.故选C.
(1)根据框图求输出值时,根据初始值逐次执行算法,当第一次满足判断条件时即输出;
(2)根据输出结果填写判断条件时,注意分析算法的功能,填写的判断条件必须在第一次满足时即输出已知的结果.
热点训练2:(2018·四川峨眉第七教育发展联盟适应考)运行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:根据程序框图可知,b=0,a=1,
所以b=lg 2,a=2;
b=lg 2+lg =lg 3,a=3;
b=lg 3+lg =lg 4,a=4;
…
b=lg 98+lg =lg 99,a=99;
b=lg 99+lg =lg 100=2,a=100;
此时a<100不成立,所以输出b=2.
故选B.
合情推理
【例4】 (1)(2018·福建南平5月质检)我国古代著名的数学著作有《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《五曹算经》《夏侯阳算经》《孙丘建算经》《海岛算经》《五经算术》《缀术》《缉古算经》等10部算书,被称为“算经十书”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生浓厚的兴趣.一天,他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话,甲:“乙比丁少”;乙:“甲比丙多”;丙:“我比丁多”;丁:“丙比乙多”,有趣的是,他们说的这些话中,只有一个人说的是真实的,而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他们四个人对这十部书阅读本数各不相同).甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是( )
(A)乙甲丙丁 (B)甲丁乙丙
(C)丙甲丁乙 (D)甲丙乙丁
(2)在中“…”即代表无限次重复,但原数中有个定数x,这可以通过=x确定出来x=2,类似地可得到1+++…++…= .
解析:(1)由题意可列表格如下:
甲
乙
丙
丁
甲说
丁>乙
乙说
甲>丙
丙说
丙>丁
丁说
丙>乙
对于选项A,甲,丁说的都对,不符合只有一个人对,对于选项B,丙,丁说的都对,也不符合只有一个人对,对于选项C,乙说的对,但乙不是最少的,不符,对于选项D,甲说的对,也正好是最少的,符合,故选D.
点睛:对于逻辑推理题,由于关系较复杂,所以常用表格形式列出相互关系,再逐个进行推理验证.
(2)利用类比思想,令1+=x,解得x=.
答案:(1)D (2)
(1)逻辑推理题通常使用类似反证法的方法进行分析判断,即在假定某种可能性成立时,查看已知关系,如果符合,则该假定成立,如果不符合,则该假定不成立;(2)类比推理的关键是发现类比对象之间的共性.
热点训练3:(1)(2018·福建百校考前冲刺)中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为.
1~9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则的运算结果可用算筹表示为( )
(2)(2018·吉林省吉林市三调)《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2=,3=,4=,5=,…,则按照以上规律,若8=具有“穿墙术”,则n= .
解析:(1)因为=36=729,从题中所给表示数码知729可用算筹表示,故选D.
(2)因为2=2=,3=3=,4=4=,5=5=,
所以按照以上规律8=8=,可得n=82-1=63.
答案:(1)D (2)63
【例1】 (1)(2018·四川绵阳三诊)△ABC中,AB=5,AC=10,·=25,点P是△ABC内(包括边界)的一动点,且=-λ(λ∈R),则||的最大值是( )
(A) (B) (C) (D)
(2)(2018·江西高三质量检测)已知向量,满足||=||=1,·=0,=λ+μ(λ,μ∈R),若M为AB的中点,并且||=1,则点(λ,μ)的轨迹方程是( )
(A)λ+2+μ-2=1
(B)λ-2+(μ+1)2=1
(C)(λ-1)2+(μ-1)2=1
(D)λ-2+μ-2=1
(3)(2018·河南郑州三检)已知P为椭圆+=1上一个动点,过点P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线,切点分别是A,B,则·的取值范围为( )
(A),+∞ (B),
(C)2-3, (D)[2-3,+∞)
解析:(1)因为P为三角形ABC内(含边界)的动点,所以
从而-1≤λ≤0.
又=-λ2=16λ2-12λ+9,
因为-1≤λ≤0,所以的最大值为37,
故||max=,故选B.
(2)由于M是AB的中点,
所以△ABC中,=(+),
所以||=|-|
=λ-+μ-
=1,
所以λ-+μ-2=1,
所以λ-2+μ-2=1.
故选D.
(3)
如图,由题意设∠APB=2θ,
则|PA|=|PB|=,
所以·=||||cos 2θ=·cos 2θ
=·cos 2θ,
设cos 2θ=t,则·==(1-t)+-3≥2-3=2-3,
当且仅当1-t=,
即t=1-时等号成立,此时cos 2θ=1-.
又当点P在椭圆的右顶点时,sin θ=,
所以cos 2θ=1-2sin2θ=,
此时·最大,且最大值×=.
所以·的取值范围是2-3,.
故选C.
【例2】 (1)(2018·山东潍坊三模)执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )
(A)45 (B)55 (C)66 (D)78
(2)(2018·山东济南二模)如图所示的程序框图中,Mod(m,n)表示m除以n所得的余数,例如:Mod(5,2)=1,则该程序框图的输出结果为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
解析:(1)根据程序框图的运算功能可知,
该程序框图是计算2n≤2 018的正整数n的和,
因为210=1 024<2 018,211=2 048>2 018,
所以执行程序框图,输出的结果为S=1+2+3+…+10==55.故选B.
(2)执行程序框图,x=1,y=1,i=0,n=1.
z=x+y=1+1=2,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=1,y=2,n=2,
z=x+y=1+2=3,不符合n>10,符合Mod(z,3)=0,
i=0+1=1,x=2,y=3,n=3,
z=x+y=2+3=5,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=3,y=5,n=4,
z=x+y=3+5=8,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=5,y=8,n=5,
z=x+y=5+8=13,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=8,y=13,n=6,
z=x+y=8+13=21,不符合n>10,符合Mod(z,3)=0,
i=1+1=2,x=13,y=21,n=7,
z=x+y=13+21=34,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=21,y=34,n=8,
z=x+y=21+34=55,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=34,y=55,n=9,
z=x+y=34+55=89,不符合n>10,不符合Mod(z,3)=0,
x=55,y=89,n=10,
z=x+y=55+89=144,不符合n>10,符合Mod(z,3)=0,
i=2+1=3,x=89,y=144,n=11,
z=x+y=89+144=233.符合n>10,输出i=3.
故选B.
【例3】 (1)(2018·河南中原名校第六次质量考评)已知函数f(x)=++,由f(x-1)=++是奇函数,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=++…+的图象关于点 对称;
(2)
(2018·山东济南一模)如图所示,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:
原点处标数字0,记为a0;
点(1,0)处标数字1,记为a1;
点(1,-1)处标数字0,记为a2;
点(0,-1)处标数字-1,记为a3;
点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;
点(-1,0)处标数字-1,记为a5;
点(-1,1)处标数字0,记为a6;
点(0,1)处标数字1,记为a7;
…
依此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数),记Sn=a1+a2+…+an,则S2 018= .
解析:(1)由题意得g(x)-6=-1+-1+-1+-1+-1+-1
=+++++,
gx--6=+++++,
设gx--6=+++++=h(x),
所以h(-x)=+++++=-h(x),
所以h(x)是奇函数,所以函数g(x)=++…+的图象关于点-,6对称.
(2)设an坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y,第一圈从(1,0)点到(1,1)点共8个点,由对称性可得a1+a2+…+a8=0;第二圈从点(2,1)到(2,2)共16个点,由对称性可得a9+…+a24
=0,…,第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零,设a2 018在第n圈,由Sn=8+16+…+8n=4(n+1)n,可得前22圈共有2 024个数,S2 024=0,S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+…+a2 019),a2 024所在点坐标为(22,22),a2 024=22+22,a2 023所在点坐标为(21,22),a2 023=21+22,a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 020=18+22,a2 019=17+22,可得a2 024+…+a2 019=249,所以S2 018=0-249=-249.
答案:(1)-,6 (2)-249
