【数学】2019届一轮复习北师大版 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考纲要求 考情分析 命题趋势
1. 了 解 逻 辑 联 结 词
“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量
词的意义．
3．能正确地对含有一个量
词的命题进行否定.
2017·山东
卷，5
2015·湖北
卷，3
2014·安徽
卷，2
2014·辽宁
卷，5
1.含有逻辑联结词的命题的真假判
断，常结合函数、不等式、三角形问题
等知识考查．
2．全称命题或特称命题的否定．
3．常以不等式、函数为载体判断命
题真假，或已知命题真假求参数的取值
范围.
分值：5 分
1．简单的逻辑联结词
(1)逻辑联结词有“或”“且”“非”．
(2)命题 p∧q，p∨q，¬p 的真假判断
p q p∧q p∨q ¬p
真 真 __真__ __真__ __假__
真 假 __假__ __真__ __假__
假 真 __假__ __真__ __真__
假 假 __假__ __假__ __真__
简记为：p∧q 中一假则假，全真才真；p∨q 中一真则真，全假才假；p 与¬p 真假性相
反．
2．全称量词和存在量词
量词
名称
常见量词 符号表示
全称
量词
所有、一切、任意、全部、每一个
等
__∀__
存在 存在一个、至少一个、有些、某些 __∃__
量词 等
3．全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题 特称命题
结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立
存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)
成立
简记 __∀x∈M，p(x)__ __∃x0∈M，p(x0)__
否定 __∃x0∈M__，¬p(x0) __∀x∈M__，¬p(x)
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)命题“5>6 或 5>2”是假命题．( × )
(2)若命题 p∧q 为真，则 p 为真或 q 为真．( × )
(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )
(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．( × )
解析 (1)错误．命题 p∨q 中有一真则 p∨q 为真．
(2)错误．p∧q 为真，则 p，q 同时为真．
(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全
称命题．
(4)错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．
2．下列命题中的假命题是( C )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
解析 当 x＝1 时，lg x＝0；当 x＝π
4
时，tan x＝1，所以 A，B 项中的命题均为真命题．显
然 D 项中的命题为真命题．当 x＝0 时，x3＝0，所以 C 项中的命题为假命题．故选 C．
3．已知命题 p：若实数 x，y 满足 x2＋y2＝0，则 x，y 全为 0；命题 q：若 a>b，则1
a<1
b.
给出下列四个命题：
①p 且 q；②p 或 q；③¬p；④¬q.
其中真命题的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵命题 p 为真命题，q 为假命题，∴p 或 q，¬q 为真命题．故选 B．
4．已知命题 p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p 为( A )
A．∀n∈N,2n≤1 000
B．∀n∈N,2n>1 000
C．∃n∈N,2n≤1 000
D．∃n∈N,2n<1 000
解析 由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：∀n∈N,2n≤1 000.故选 A．
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，
q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
( A )
A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q
解析 因为 p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬p 是“甲没
有降落在指定范围”， ¬q 是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有
降落在指定范围”可表示为(¬p)∨(¬q)．故选 A．
一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤：
①先判断简单命题 p，q 的真假；
②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．
(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系：
①p∨q 真⇔p，q 至少有一个真⇔(¬p)∧(¬q)假；
②p∨q 假⇔p，q 均假⇔(¬p)∧(¬q)真；
③p∧q 真⇔p，q 均真⇔(¬p)∨(¬q)假；
④p∧q 假⇔p，q 至少有一个假⇔(¬p)∨(¬q)真；
⑤¬p 真⇔p 假；¬p 假⇔p 真．
【例 1】 (1)(2017·山东卷)已知命题 p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题 q：若 a2
0 恒成立，∴p 为真命题．对于命题 q，取 a＝2，b＝－
3,22<(－3)2，而 2>－3，∴q 为假命题，¬q 为真命题．因此 p∧(¬q)为真命题．故选 B．
(2)∵y＝2x 在 R 上为增函数，
y＝－2－x＝－
1
2 x 在 R 上为增函数，
∴y＝2x－2－x 在 R 上为增函数，故 p1 是真命题．
y＝2x＋2－x 在 R 上为减函数是错误的，故 p2 是假命题．
∴q1：p1∨p2 是真命题，因此排除 B 项和 D 项，q2：p1∧p2 是假命题，q3：(¬p1)∨p2 是
假命题，排除 A 项．故选 C．
二 全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法：
命题
名称
真
假
判断方法一
判断方
法二
全称
命题
真 所有对象使命题真
否定为
假
假 存在一个对象使命题假
否定为
真
特称
命题
真 存在一个对象使命题真
否定为
假
假 所有对象使命题假
否定为
真
(2)全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：
①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对
量词进行否定；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【例 2】 (1)设命题 p：∃n∈N，n2>2n，则¬p 为( C )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
(2)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥ln 2”的否定为( D )
A．对任意 x∈R，都有 x22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．
(2)按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，命题的否定为“存在 x0∈R，使得
x200
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1
D．∃x0∈R，tan x0＝2
(2)已知命题 p：∀x>0，x＋4
x
≥4；命题 q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝1
2
，则下列判断正确
的是( C )
A．p 是假命题 B．q 是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q 是真命题
解析 (1)因为 2x－1>0，对∀x∈R 恒成立，所以 A 项中的命题是真命题；当 x＝1 时，(x
－1)2＝0，所以 B 项中的命题是假命题；存在 00 时，x＋4
x
≥2 x·4
x
＝4，p 是真命题；当 x>0 时，2x>1，q 是假命题，所以 p
∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q 是假命题．
三 根据命题的真假求参数的取值范围
根据命题的真假求参数取值范围的求解策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时
命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)全称命题可转化为恒成立问题．
【例 4】 已知命题 p：函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零点，命题 q：函数 y＝
x2＋(2a－3)x＋1 的图象与 x 轴交于不同的两点，如果 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，求 a
的取值范围．
解析 若命题 p 为真命题，则函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零点．
因为二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1，
所以 12－2×1＋a<0，
22－2×2＋a>0，
所以 00，得 4a2－12a＋5>0，解得 a<1
2
或 a>5
2.
因为 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，所以 p，q 一真一假．
①若 p 真 q 假，则
05
2
， 所以 a≤0 或 a>5
2.
故实数 a 的取值范围是(－∞，0]∪
1
2
，1 ∪
5
2
，＋∞
.
1．已知命题 p：复数 z＝1＋i
i
在复平面内所对应的点位于第四象限；命题 q：∃x0>0,2
－x0＝ex0，则下列命题中为真命题的是( A )
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
解析 化简 z＝1＋i
i
＝1＋i·i
i·i
＝1－i，故命题 p 是真命题；在同一坐标系中同时画出函
数 f(x)＝2－x 和函数 g(x)＝ex 的图象(图略)，观察发现图象的交点在第一象限，故命题 q 是
真命题．再根据复合命题的真值表，知 A 项是正确的．
2．命题 p：对任意的 x∈R，f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x≤3，则( D )
A．p 是假命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0≤3
B．p 是假命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3
C．p 是真命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0≤3
D．p 是真命题；¬p：存在 x0∈R，使得 f(x0)＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3
解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知全称命题 p 的否定是存在 x0∈R，使得 f(x0)
＝2cos2x0＋ 3sin 2x0>3.另外，f(x)＝2cos2x＋ 3sin 2x＝ 3sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin 2x＋π
6 ＋
1≤3.故选 D．
3．若命题“∃x0∈R，x20－2x0＋m≤0”是假命题，则实数 m 的取值范围是__(1，＋∞)__.
解析 由题意，知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m<0，即
m>1.
4．已知命题 p：关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在 x∈[0,1]时有解；命题 q：f(x)＝
log2
x2－2mx＋1
2 在 x∈[1，＋∞)时单调递增．若綈 p 为真命题，p∨q 是真命题，则实数 m
的取值范围为__
－1，3
4 __.
解析 根据题意，关于 x 的方程 x2－mx－2＝0 在 x∈[0,1]时有解，可得 1－m－2≥0，
从 而 求 得 m≤ － 1 ； f(x) ＝ log2
x2－2mx＋1
2 在 x ∈ [1 ， ＋ ∞) 时 单 调 递 增 ， 可 得
m≤1，
1－2m＋1
2>0， 解得 m<3
4.根据綈 p 为真命题，p∨q 是真命题，可知 p 假 q 真，所以实数
m 的取值范围为 －1，3
4 .
易错点 混淆否命题与命题的否定
错因分析：否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．
【例 1】 写出命题“若 a2＋b2＝0，则实数 a，b 全为零”的否定及否命题．
解析 命题的否定：若 a2＋b2＝0，则实数 a，b 不全为零．
命题的否命题：若 a2＋b2≠0，则实数 a，b 不全为零．
【跟踪训练 1】 (2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式是
( D )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n0，总有 ex≥1，则¬p 为( B )
A．存在 x0≤0，使得 ex0<1 B．存在 x0>0，使得 ex0<1
C．对任意 x>0，总有 ex<1 D．对任意 x≤0，总有 ex<1
解析 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 p：对任意 x>0，总有 ex≥1 的否
定¬p：存在 x0>0，使得 ex0<1.故选 B．
2．已知命题 p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题 q：∀x∈R，x2＞0.下列结论正确的是
( D )
A．命题 p∧q 是真命题 B．命题 p∧(¬q)是假命题
C．命题(¬p)∨q 是真命题 D．命题(¬p)∧(¬q)是假命题
解析 取 x0＝π
4
，有 tanπ
4
＝1，故命题 p 是真命题；当 x＝0 时，x2＝0，故命题 q 是假命
题．再根据复合命题的真值表，知 D 项是正确的．
3．已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2a2－2(a≠0)，g(x)＝－ex－1
ex
，则下列命题为真命题的是
( B )
A．∀x∈R，都有 f(x)＜g(x)
B．∀x∈R，都有 f(x)＞g(x)
C．∃x0∈R，使得 f(x0)＜g(x0)
D．∃x0∈R，使得 f(x0)＝g(x0)
解析 函数 f(x)＝x2－2ax＋2a2－2＝(x－a)2＋a2－2≥a2－2>－2，g(x)＝－ex－1
ex
＝－
ex＋1
ex ≤－2，显然∀x∈R，都有 f(x)>g(x)．故选 B．
4．命题“存在 x∈R，使 x2＋ax－4a＜0 为假命题”是命题“－16≤a≤0”的( A )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 依题意，知 x2＋ax－4a≥0 恒成立，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.故选 A．
5．命题 p：x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数 a 的取值范围是( D )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0)∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 命题 p 的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0 成立，即不等式 ax2＋ax＋1<0 有解．
当 a＝0 时，1<0，不等式无解；
当 a≠0 时，要使不等式有解，须 a2－4a>0，
解得 a>4 或 a<0，
综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选 D．
6．已知命题 p1：∀x∈(0，＋∞)，有 3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝3
2
，则在命题
q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2 和 q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( C )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析 因为 y＝
3
2 x 在 R 上是增函数，即 y＝
3
2 x>1 在(0，＋∞)上恒成立，所以 p1 是真
命题；sin θ＋cos θ＝ 2sin θ＋π
4 ≤ 2，所以命题 p2 是假命题，¬p2 是真命题，所以命题 q1：
p1∨p2，q4：p1∧(¬p2)是真命题．故选 C．
二、填空题
7．已知函数 f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，
则 f(a＋b)＝__0__.
解析 若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)
＝0”是真命题，即 f(－x)＝－f(x)，则函数 f(x)是奇函数，则 a＋b＝0，即 f(a＋b)＝0.
8．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数 a 的取值范围是__[－2 2，2 2]__.
解析 由题可知“∀x∈R,2x2 －3ax＋9≥0”为真命题，所以可得Δ＝(－3a)2 －
4×2×9≤0，解得－2 2≤a≤2 2.
9．给出下列命题：①函数 y＝sin
3
2π＋x 是偶函数；②函数 y＝cos 2x＋π
4 图象的一条
对称轴方程为 x＝π
8
；③对于任意实数 x，有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且 x＞0 时，f′(x)
＞0，g′(x)＞0，则 x＜0 时，f′(x)＞g′(x)；④若∀x∈R，函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，
则 4 是该函数的一个周期；其中真命题为__①③④__(写出所有真命题的序号)．
解析 对于①，y＝sin
3
2π＋x ＝－cos x 是偶函数，正确；对于②，把 x＝π
8
代入 2x＋π
4
，
有 2×π
8
＋π
4
＝π
2
，而 cosπ
2
＝0，故 x＝π
8
不是函数图象的一条对称轴方程，错误；对于③，根据
函数的奇偶性和导数与函数单调性的关系，可以得出，当 x<0 时，有 f′(x)>0，而 g′(x)<0，
故 x<0 时，f′(x)>g′(x)，正确；对于④，令 x＝x＋2，可以得到 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
根据周期的定义，可知 4 是该函数的一个周期，正确．
三、解答题
10．(2018·湖南岳阳一中月考)已知命题 p：(x＋1)(x－5)≤0，命题 q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；
(2)若 m＝5，p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 x 的取值范围．
解析 (1)设使命题 p 成立的集合为 A，命题 q 成立的集合为 B，则
A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，所以 A⊆B，
所以
m>0，
1＋m≥5，
1－m≤－1，
解得 m≥4.故实数 m 的取值范围为[4，＋∞)．
(2)根据条件可知 p，q 一真一假．
当 p 真 q 假时，
－1≤x≤5，
x>6 或 x<－4，
无解．
当 p 假 q 真时， x>5 或 x<－1，
－4≤x≤6，
解得－4≤x<－1 或 52，
a≤1，
则 a<－1，
故实数 a 的取值范围是(－∞，－1)．
12．已知 a∈R，命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题 q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.
(1)若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；
(2)若命题 p∨q 为真命题，命题 p∧q 为假命题，求实数 a 的取值范围．
解析 (1)因为命题 p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，令 f(x)＝x2－a，根据题意，只要 x∈[1,2]
时，f(x)min≥0 即可，也就是 1－a≥0⇒a≤1，即 a 的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)可知，命题 p 为真时，a≤1，
命题 q 为真时，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得 a≤－2 或 a≥1.
因为命题 p∨q 为真命题，命题 p∧q 为假命题，所以命题 p 与命题 q 一真一假，
当命题 p 为真、命题 q 为假时， a≤1，
－2＜a＜1
⇒－2＜a＜1；
当命题 p 为假、命题 q 为真时， a＞1，
a≤－2 或 a≥1
⇒a＞1.
综上，实数 a 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
