【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第7讲　抛物线学案

【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第九章第7讲　抛物线学案

第7讲　抛物线 ‎[学生用书P163]‎ ‎1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：‎ ‎(1)在平面内；‎ ‎(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；‎ ‎(3)定点不在定直线上．‎ ‎2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎(p＞0)‎ y2＝－2px ‎(p＞0)‎ x2＝2py ‎(p＞0)‎ x2＝－2py ‎(p＞0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，‎ x∈R y≤0，‎ x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 ‎(其中P(x0，y0))‎ ‎|PF|＝‎ x0＋ ‎|PF|＝‎ ‎－x0＋ ‎|PF|＝‎ y0＋ ‎|PF|＝‎ ‎－y0＋ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，‎ 准线方程是x＝－.(　　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)‎ ‎(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎ (教材习题改编)抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为(　　)‎ A．(0，－2)　　　　　　　　 B.(0，2)‎ C. D． 解析：选C.由8x2＋y＝0，得x2＝－y.‎ ‎2p＝，p＝，所以焦点为，故选C.‎ ‎ (教材习题改编)以x＝1为准线的抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝2x B.y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析：选D.由准线x＝1知，抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2，所以方程为y2＝－4x，故选D.‎ ‎ 已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)‎ A．4 B.2‎ C．1 D．8‎ 解析：选C.由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选C.‎ ‎ 动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．‎ 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.‎ 答案：y2＝4x ‎ 若抛物线的焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，则抛物线的标准方程为______________．‎ 解析：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4，0)．‎ 当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为 x2＝－12y；当焦点坐标为(4，0)时，设方程为 y2＝2px(p>0)，则＝4，‎ 所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.‎ 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.‎ 答案：x2＝－12y或y2＝16x ‎　　　　　　抛物线的定义及其应用(高频考点)‎ ‎[学生用书P164]‎ 抛物线的定义是每年高考的重点，主要涉及利用抛物线的定义求解相关最值问题．主要命题角度有：‎ ‎(1)动弦中点到坐标轴距离最短问题；‎ ‎(2)距离之和最小问题；‎ ‎(3)焦点弦中距离之和最小问题．‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一　动弦中点到坐标轴距离最短问题 ‎ 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.1‎ C. D．2‎ ‎【解析】　如图所示，‎ 抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB中点，由梯形中位线定理得 ‎|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥‎ |AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.‎ ‎【答案】　B ‎ 角度二　距离之和最小问题 ‎ (1)已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值是(　　)‎ A. B.1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ ‎【解析】　‎ ‎(1)如图，抛物线焦点F(0，－1)，抛物线的准线方程为y＝1，设P点到准线距离为d，则|y|＋|PQ|最小时，d＋|PQ|最小，又因 d＝|PF|；即|PF|＋|PQ|最小；由图看出，‎ ‎|PF|＋|PQ|的最小值为 ‎|QF|＝＝3；‎ 所以d＋|PQ|的最小值为3；‎ 所以|y|＋|PQ|的最小值为2.‎ ‎(2)如图，‎ 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则 ‎|P1Q|＝|P1F|.‎ 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)4‎ 若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ 解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．‎ 因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，‎ 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝ ‎＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2.‎ ‎ 角度三　焦点弦中距离之和最小问题 ‎ 已知抛物线y2＝6x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．‎ ‎【解析】　抛物线y2＝6x的焦点F，准线方程为 x＝－，由抛物线的定义可得，|AF|＝|AC|＋，‎ ‎|BF|＝|BD|＋，即有|AC|＋|BD|＝‎ ‎|AF|＋|BF|－3＝|AB|－3，当直线AB⊥x轴时，‎ ‎|AB|最小．令x＝，则y2＝9，解得y＝±3，‎ 即有|AB|min＝6，‎ 则|AC|＋|BD|的最小值为3.‎ ‎【答案】　3‎ 利用抛物线定义求解距离最值问题的方法 ‎(1)解决动弦中点到坐标轴距离最小问题的方法：将定长线段的中点到准线的距离转化为线段的两个端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式．‎ ‎(2)解决距离之和最小问题的方法：根据抛物线的定义，将抛物线上的点到相应坐标轴的距离转化为到准线的距离，再利用“两点之间线段最短”，或将这个距离转化为函数或基本不等式求解．‎ ‎(3)解决焦点弦中距离之和最小问题的方法：过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线过焦点的所有弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值．‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．如图，‎ 设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D． 解析：选A.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，‎ 得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，‎ 则＝＝＝，故选A.‎ ‎2．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．‎ 解析：‎ 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离，于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.‎ 答案： ‎3．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．‎ 解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．‎ 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，‎ 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.‎ 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，‎ 故d2＋|PF|的最小值为＝3，‎ 所以d1＋d2的最小值为3－1.‎ 答案：3－1‎ ‎　　　　　　抛物线的标准方程[学生用书P165]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为__________________________________．‎ ‎【解析】　很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上．当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p>0)，‎ 把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，‎ 解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；‎ 当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p>0)，‎ 把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.‎ 综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.‎ ‎【答案】　y2＝－8x或x2＝－y 抛物线的标准方程的求法 ‎(1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．‎ ‎②当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个 .同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)‎ A．y2＝±2x　　　 B.y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 解析：选D.因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．‎ 设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.‎ ‎2．如图 ‎，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝8x B.y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 解析：选B.如图，‎ 分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设准线与x轴交于点G，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，因为|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，‎ 所以2|AE|＝|AC|，所以4＋3a＝8，从而得a＝，因为AE∥FG，所以＝，即＝，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.故选B.‎ ‎　　　　　　抛物线的几何性质[学生用书P165]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎【证明】　(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．‎ 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，‎ 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，‎ 所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得 ＋＝‎ ＝(定值)．‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 抛物线几何性质的应用技巧 ‎(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，‎ 需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)‎ A. B. C. D．2 解析：选C.‎ 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，‎ 所以x1＝2，y1＝2.‎ 设AB的方程为x－1＝ty，‎ 由 消去x得y2－4ty－4＝0.‎ 所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝，‎ 所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝，故选C.‎ ‎2．(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B.4‎ C．6 D．8‎ 解析：选B.由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px ‎(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，‎ 得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.‎ ‎　　　　　　直线与抛物线的位置关系 ‎[学生用书P165]‎ ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎【解】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，‎ 解得x3＝2，于是M(2，1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋7.‎ 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．‎ ‎[注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．‎ ‎[通关练习]‎ ‎(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ 解：(1)由已知得M(0，t)，P.‎ 又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，‎ 代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝.‎ 因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．‎ 理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，‎ 即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.‎ ‎ 抛物线定义的实质 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)．‎ ‎ 正确区分四种形式的标准方程 ‎(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程．‎ ‎(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．‎ ‎ 抛物线的焦点弦 设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋p；‎ ‎(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝. ‎ ‎[学生用书P321(单独成册)]‎ ‎1．抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是(　　)‎ A．y＝－　　　　　　　 B.y＝－ C．y＝ D．y＝ 解析：选B.抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.故选B.‎ ‎2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是(　　)‎ A．y2＝12x B.y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x 解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，‎ x1＋x2＋p＝8，‎ 因为AB的中点到y轴的距离是2，‎ 所以＝2，‎ 所以p＝4；‎ 所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.‎ ‎3．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝－2x B.y2＝2x C．y＝x2 D．y＝－x2‎ 解析：选B.因为圆C：x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心是(1，－)，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，－)，设标准方程为y2＝2px，因为点(1，－)在抛物线上，所以(－)2＝2p，‎ 所以p＝1，所以所求抛物线方程为y2＝2x，故选B.‎ ‎4．设抛物线 y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么 ‎|PF|＝(　　)‎ A．4 B.8‎ C．8 D．16‎ 解析：选B.如图 ‎，由kAF＝－知∠AFM＝60°.‎ 又AP∥MF，所以∠PAF＝60°.‎ 又|PA|＝|PF|，所以△APF为等边三角形．‎ 故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8.‎ ‎5．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为(　　)‎ A．(2，1) B.(1，1)‎ C. D． 解析：选D.如图，设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，‎ 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|≥|AA′|，　‎ 即当P点为AA′与抛物线交点时，‎ ‎|PA|＋|PF|最小，此时P.‎ 故选D.‎ ‎6．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．‎ 解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|＝|PF|，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，‎ 所以xP＝，代入y2＝2x，‎ 得yP＝±，‎ 所以P.‎ 答案： ‎7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．‎ 解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，‎ ＝p，‎ 所以B.‎ 又因为点B在双曲线上，‎ 故－＝1，‎ 解得p＝6.‎ 答案：6‎ ‎8．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线 x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，‎ 因为|PA|＝|AB|，‎ 所以又 得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为 ‎1＋＝.‎ 答案： ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．‎ 解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，‎ 于是4＋＝5，‎ 所以p＝2.‎ 所以抛物线方程为y2＝4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4，4)，‎ 由题意得B(0，4)，M(0，2)．‎ 又因为F(1，0)，‎ 所以kFA＝，‎ 因为MN⊥FA，‎ 所以kMN＝－.‎ 所以FA的方程为y＝(x－1)，①‎ MN的方程为y－2＝－x，②‎ 联立①②，‎ 解得x＝，y＝，‎ 所以N的坐标为.‎ ‎10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以＝(－1，0)，‎ ＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，‎ 得cos 120°＝＝－，解得a＝，‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ 答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1‎ ‎4.‎ 如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py，得p＝1.‎ 所以x2＝－2y.‎ 当水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，将其坐标代入x2＝－2y，得x＝6，所以x0＝.‎ 所以水面宽|CD|＝2 m.‎ 答案：2 ‎5.‎ 如图，抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ 解：(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为 x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，‎ 消去x得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①‎ 因为＝2，‎ 所以y1＝－2y2.②‎ 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.‎ 所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，‎ 得M是线段OC的中点，‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，‎ 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎6.‎ 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．‎ ‎(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．‎ 解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．‎ 因为点P(1，2)在抛物线上，‎ 所以22＝2p×1，‎ 解得p＝2.‎ 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.‎ ‎(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.‎ 则kPA＝(x1≠1)，‎ kPB＝(x2≠1)，‎ 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，‎ 所以kPA＝－kPB.‎ 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，‎ 得 所以＝－，‎ 所以y1＋2＝－(y2＋2)．‎ 所以y1＋y2＝－4.‎ 由 ①－②得，y－y＝4(x1－x2)，‎ 所以kAB＝＝＝－1.‎