2020年新疆塔城地区乌苏市中考数学三模试卷 解析版

2020年新疆塔城地区乌苏市中考数学三模试卷 解析版

‎2020年新疆塔城地区乌苏市中考数学三模试卷 一．选择题（本小题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答）‎ ‎1．（5分）﹣（﹣2019）的相反数是（　　）‎ A．﹣2019 B．2019 C． D．‎ ‎2．（5分）在下列运算中，正确的是（　　）‎ A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6 ‎ C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2‎ ‎3．（5分）2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（　　）‎ A．55×105 B．5.5×104 C．0.55×105 D．5.5×105‎ ‎4．（5分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（　　）‎ A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C．≤a≤ D．≤a≤‎ ‎6．（5分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．60°‎ ‎8．（5分）某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：‎ 每天加工零件数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 每天加工零件数的中位数和众数为（　　）‎ A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6‎ ‎9．（5分）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（　　）‎ A．6 B．8 C．12 D．16‎ 二．填空题（本大题共6小题，每小题共5分，总共30分）‎ ‎10．（5分）若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝　 　．‎ ‎11．（5分）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于　 　．‎ ‎12．（5分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有　 　个．‎ ‎13．（5分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB 的长度是　 　m．‎ ‎14．（5分）如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为　 　．‎ ‎15．（5分）如图，已知反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为　 　．‎ 三．解答题（共8小题，满分75分）‎ ‎16．（6分）计算：+tan60°﹣（sin45°）﹣1﹣|1﹣|‎ ‎17．（8分）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）‎ ‎（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；‎ ‎（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．‎ ‎18．（9分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》、《挑战不可能》、《最强大脑》、《超级演说家》、《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查中共抽取了　 　名学生．‎ ‎（2）补全条形统计图．‎ ‎（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　 　度．‎ ‎19．（9分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．‎ ‎（1）求k，m的值；‎ ‎（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．‎ ‎20．（10分）诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二（1）班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．‎ ‎（1）班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？‎ ‎（2）因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了5a%（a＜60），道具套数比（1）中的道具套数增加了2a%．初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．‎ ‎21．（10分）已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．‎ ‎（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；‎ ‎（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．‎ ‎22．（11分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACE；‎ ‎（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．‎ ‎23．（12分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝3，CE＝2，‎ ‎①求的值；‎ ‎②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．‎ ‎2020年新疆塔城地区乌苏市中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（本小题共9小题，每小题5分，共45分，每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答）‎ ‎1．（5分）﹣（﹣2019）的相反数是（　　）‎ A．﹣2019 B．2019 C． D．‎ ‎【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．‎ ‎【解答】解：﹣（﹣2019）＝2019，‎ 所以﹣（﹣2019）的相反数是﹣2019，‎ 故选：A．‎ ‎2．（5分）在下列运算中，正确的是（　　）‎ A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6 ‎ C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2 D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2‎ ‎【分析】根据完全平方公式判断A、C；根据多项式乘多项式的法则判断B；根据平方差公式判断D．‎ ‎【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；‎ B、（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6，故本选项错误；‎ C、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项正确；‎ D、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎3．（5分）2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度为55000米，则数据55000用科学记数法表示为（　　）‎ A．55×105 B．5.5×104 C．0.55×105 D．5.5×105‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数据55000用科学记数法表示为5.5×104．‎ 故选：B．‎ ‎4．（5分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．‎ ‎【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．‎ 故选：A．‎ ‎5．（5分）已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（　　）‎ A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C．≤a≤ D．≤a≤‎ ‎【分析】根据不等式的性质，将两个不等式相加，即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：0≤a﹣b≤1①，‎ ‎1≤a+b≤4②，‎ ‎①+②得1≤2a≤5，‎ ‎0.5≤a≤2.5，‎ 故选：C．‎ ‎6．（5分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎7．（5分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．60°‎ ‎【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．‎ ‎【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，‎ ‎∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠BEF＝50°，‎ 故选：C．‎ ‎8．（5分）某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：‎ 每天加工零件数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 每天加工零件数的中位数和众数为（　　）‎ A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6‎ ‎【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；‎ 因为共有20个数据，‎ 所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，‎ 故选：A．‎ ‎9．（5分）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B 两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，则m的值是（　　）‎ A．6 B．8 C．12 D．16‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，可知其中一点一定在顶点处，从而可以求得m的值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，‎ ‎∴点A（﹣1，0），点B（3，0），该抛物线的对称轴是直线x＝＝1，‎ ‎∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，该抛物线顶点的纵坐标是：y＝（1+1）×（1﹣3）＝﹣4，‎ ‎∵在抛物线上有且只有三个不同的点C1、C2、C3，使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面积都等于m，‎ ‎∴m＝＝8，‎ 故选：B．‎ 二．填空题（本大题共6小题，每小题共5分，总共30分）‎ ‎10．（5分）若a、b为实数，且b＝+4，则a+b＝　5或3　．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a的值，b的值，根据有理数的加法，可得答案．‎ ‎【解答】解：由被开方数是非负数，得 ‎，‎ 解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，‎ 当a＝1时，a+b＝1+4＝5，‎ 当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，‎ 故答案为：5或3．‎ ‎11．（5分）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根，则+c的值等于　2　．‎ ‎【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ ‎△＝4﹣4a（2﹣c）＝0，‎ 整理得：4ac﹣8a＝﹣4，‎ ‎4a（c﹣2）＝﹣4，‎ ‎∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，‎ ‎∴a≠0，‎ 等式两边同时除以4a得：c﹣2＝﹣，‎ 则+c＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎12．（5分）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有　2　个．‎ ‎【分析】根据若从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，列出关于n的方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，‎ ‎∴袋中一共有球（6+n）个，‎ ‎∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为，‎ ‎∴＝，‎ 解得：n＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎13．（5分）拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是　20　m．‎ ‎【分析】利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．‎ ‎【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：，坝高BC＝10m，‎ ‎∴＝＝，‎ 解得：AC＝10，‎ 则AB＝＝20（m）．‎ 故答案为：20．‎ ‎14．（5分）如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为　2　．‎ ‎【分析】根据题意画出平移后的图形，如图所示，设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，过O作OE⊥AD，根据垂径定理得到E为AD的中点，由平移前AC与圆O相切，切点为A点，根据切线的性质得到OA与AC垂直，可得∠OAA′为直角，由A′D与A′A为圆O的两条切线，根据切线长定理得到A′D＝A′A，再根据∠B′A′C′＝60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形A′AD为等边三角形，平移的距离AA′＝AD，且∠DAA′＝60°，由∠OAA′﹣∠DAA′求出∠OAE为30°，在直角三角形AOE中，由锐角三角函数定义表示出cos30°＝，把OA及cos30°的值代入，求出AE的长，由AD＝2AE可求出AD的长，即为平移的距离．‎ ‎【解答】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：‎ 设平移后的△A′B′C′与圆O相切于点D，连接OD，OA，AD，‎ 过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，‎ ‎∵平移前圆O与AC相切于A点，‎ ‎∴OA⊥A′C，即∠OAA′＝90°，‎ ‎∵平移前圆O与AC相切于A点，平移后圆O与A′B′相切于D点，‎ 即A′D与A′A为圆O的两条切线，‎ ‎∴A′D＝A′A，又∠B′A′C′＝60°，‎ ‎∴△A′AD为等边三角形，‎ ‎∴∠DAA′＝60°，AD＝AA′＝A′D，‎ ‎∴∠OAE＝∠OAA′﹣∠DAA′＝30°，‎ 在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝2，‎ ‎∴AE＝AO•cos30°＝，‎ ‎∴AD＝2AE＝2，‎ ‎∴AA′＝2，‎ 则该直角三角板平移的距离为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎15．（5分）如图，已知反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为　y＝　．‎ ‎【分析】连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，证明△AOD∽△OCE，根据相似三角形的性质求出△AOD和△OCE 面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S△AOD，得到S△EOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．‎ ‎【解答】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，‎ ‎∵反比例函数y＝﹣的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB＝120°，‎ ‎∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，‎ 则∠AOD+∠COE＝90°，‎ ‎∵∠DAO+∠AOD＝90°，‎ ‎∴∠DAO＝∠COE，‎ 又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，‎ ‎∴△AOD∽△OCE，‎ ‎∴＝＝＝tan60°＝，‎ ‎∴＝（）2＝3，‎ ‎∵点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，‎ ‎∴S△AOD＝×|xy|＝，‎ ‎∴S△OCE＝，即×OE×CE＝，‎ ‎∴OE×CE＝，‎ ‎∴这个图象所对应的函数解析式为y＝．‎ 故答案为：y＝．‎ 三．解答题（共8小题，满分75分）‎ ‎16．（6分）计算：+tan60°﹣（sin45°）﹣1﹣|1﹣|‎ ‎【分析】‎ 将特殊锐角的三角函数值代入，同时化简二次根式、计算绝对值，再进一步计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝3+﹣（）﹣1﹣（﹣1）‎ ‎＝3+﹣﹣+1‎ ‎＝2+1．‎ ‎17．（8分）如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC（三个顶点都在方格顶点上的三角形）‎ ‎（1）请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似（不全等），且相似比为有理数；‎ ‎（2）请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．‎ ‎【分析】（1）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；‎ ‎（2）直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）如图2所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为2；‎ ‎（2）如图3所示：它与△ABC相似（不全等），且相似比为．‎ ‎18．（9分）我市某中学为了了解孩子们对《中国诗词大会》、《挑战不可能》、《最强大脑》、《超级演说家》、《地理中国》五种电视节目的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一种喜爱的电视节目），并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查中共抽取了　200　名学生．‎ ‎（2）补全条形统计图．‎ ‎（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是　36　‎ 度．‎ ‎【分析】（1）用“中国诗词大会”的人数处于其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）根据各节目的人数之和等于总人数求得“挑战不可能”的人数，据此补全条形图即可；‎ ‎（3）用360°乘以《地理中国》的人数所占比例即可得．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为30÷15%＝200（名），‎ 故答案为：200；‎ ‎（2）“挑战不可能”的人数为200﹣（20+60+40+30）＝50（人），‎ 补全条形图如下：‎ ‎（3）在扇形统计图中，喜爱《地理中国》节目的人数所在的扇形的圆心角是360°×＝36°，‎ 故答案为：36．‎ ‎19．（9分）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y＝（k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4，），F（m，2）两点．‎ ‎（1）求k，m的值；‎ ‎（2）写出函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；‎ ‎（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；‎ ‎【解答】解：（1）∵点E（﹣4，）在y＝上，‎ ‎∴k＝﹣2，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝﹣，‎ ‎∵F（m，2）在y＝上，‎ ‎∴m＝﹣1．‎ ‎（2）函数y＝图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．‎ ‎20．（10分）诗词是中国人最经典的情感表达方式，也是民族生存延续的命脉．为了弘扬诗词国学，我校开展了“经典咏流传”的活动．轻拨经典的琴弦，我们将国家、民族、文化的美好精神文化传承下来，赋予经典文化以时代的灵魂．现我校初二（1）班为参加“经典咏流传”活动，班委会准备租赁演出服装、购买部分道具供班级集体使用．‎ ‎（1）班委会通过多方比较，决定用500元在A商店租赁服装，用300元在B商店购买道具．已知租赁一套服装比购买一套道具贵30元，同时所需道具比所需服装多5套，则初二（1）班班委会租赁了多少套演出服装、购买了多少套道具？‎ ‎（2）因后期参赛节目人员的调整，需要租赁更多的服装，购买更多的道具．经初步统计，最终需要租赁的演出服装套数比（1）中的演出服装套数增加了5a%（a＜60），道具套数比（1）中的道具套数增加了2a%．初二（1）班班委会需要再次租赁服装和购买道具，又前去与A商店、B商店议价，两个商店都在原来的售价上给予了a%的优惠，这次租赁服装和购买道具总共用了279元，求a的值．‎ ‎【分析】（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，根据单价＝总价÷数量结合租赁一套服装比购买一套道具贵30元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）根据总价＝单价×数量结合这次租赁服装和购买道具总共用了279元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设需租赁x套演出服装，则需购买（x+5）套道具，‎ 根据题意得：﹣＝30，‎ 解得：x1＝10，x2＝﹣，‎ 经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，x＝﹣是原分式方程的解，但不符合题意，‎ ‎∴x+5＝15．‎ 答：初二（1）班班委会租赁了10套演出服装、购买了15套道具．‎ ‎（2）根据题意得：10×5a%××（1﹣a%）+15×2a%××（1﹣a%）＝279，‎ 整理得：a2﹣100a+900＝0，‎ 解得：a1＝10，a2＝90（不合题意，舍去）．‎ 答：a的值为10．‎ ‎21．（10分）已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB＝AC，连接BC交AD于点E，连接AC．‎ ‎（1）如图1，求证：∠ABF＝∠ABC；‎ ‎（2）如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC＝∠HCA＝90°时，求证：CH＝DA；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若OH＝6，⊙O的半径为10，求CE的长．‎ ‎【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠D+∠ABD＝90°，根据切线的性质得到∠FBA+∠ABD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠ABC，等量代换即可得到结论；‎ ‎（2）如图2，连接OC，根据平行线的判定和性质得到∠ACO＝∠COH，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，根据相似三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（3）根据相似三角形的性质得到＝2，根据勾股定理得到AD＝＝16，根据全等三角形的性质得到BF＝BE，AF＝AE，根据射影定理得到AF＝＝9，根据相交弦定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠D+∠ABD＝90°，‎ ‎∵FB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠FBD＝90°，‎ ‎∴∠FBA+∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠FBA＝∠D，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠C＝∠ABC，‎ ‎∵∠C＝∠D，‎ ‎∴∠ABF＝∠ABC；‎ ‎（2）如图2，连接OC，‎ ‎∵∠OHC＝∠HCA＝90°，‎ ‎∴AC∥OH，‎ ‎∴∠ACO＝∠COH，‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∴∠ABC+∠CBO＝∠ACB+∠OCB，‎ 即∠ABD＝∠ACO，‎ ‎∴∠ABD＝∠COH，‎ ‎∵∠H＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴△ABD∽△HOC，‎ ‎∴＝＝2，‎ ‎∴CH＝DA；‎ ‎（3）由（2）知，△ABD∽△HOC，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∵OH＝6，⊙O的半径为10，‎ ‎∴AB＝2OH＝12，BD＝20，‎ ‎∴AD＝＝16，‎ 在△ABF与△ABE中，，‎ ‎∴△ABF≌△ABE，‎ ‎∴BF＝BE，AF＝AE，‎ ‎∵∠FBD＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴AB2＝AF•AD，‎ ‎∴AF＝＝9，‎ ‎∴AE＝AF＝9，‎ ‎∴DE＝7，BE＝＝15，‎ ‎∵AD，BC交于E，‎ ‎∴AE•DE＝BE•CE，‎ ‎∴CE＝＝＝．‎ ‎22．（11分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．‎ ‎（1）求证：△ABD≌△ACE；‎ ‎（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．‎ ‎【分析】（1）根据SAS，只要证明∠1＝∠2即可解决问题；‎ ‎（2）结论：BD2+FC2＝DF2．连接FE，想办法证明∠ECF＝90°，EF＝DF，利用勾股定理即可解决问题；‎ ‎（3）过点A作AG⊥BC于G，在Rt△ADG中，想办法求出AG、DG即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，‎ ‎∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，‎ 又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ 在△ABD和△ACE中 ‎，‎ ‎∴△ABD≌△ACE．‎ ‎（2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：‎ 连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠3＝45°‎ 由（1）知△ABD≌△ACE ‎∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE ‎∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，‎ ‎∴CE2+CF2＝EF2，‎ ‎∴BD2+FC2＝EF2，‎ ‎∵AF平分∠DAE，‎ ‎∴∠DAF＝∠EAF，‎ 在△DAF和△EAF中 ‎，‎ ‎∴△DAF≌△EAF ‎∴DF＝EF ‎∴BD2+FC2＝DF2．‎ ‎（3）解：过点A作AG⊥BC于G，‎ 由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25‎ ‎∴DF＝5，‎ ‎∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，‎ ‎∵AB＝AC，AG⊥BC，‎ ‎∴BG＝AG＝BC＝6，‎ ‎∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，‎ ‎∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．‎ ‎23．（12分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝3，CE＝2，‎ ‎①求的值；‎ ‎②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．‎ ‎【分析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．‎ ‎（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得的值．‎ ‎②先利用的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE ‎∵OA＝OE ‎∴∠OAE＝∠OEA ‎∵AE平分∠BAF ‎∴∠OAE＝∠EAF ‎∴∠OEA＝∠EAF ‎∴OE∥AD ‎∵ED⊥AF ‎∴∠D＝90°‎ ‎∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°‎ ‎∴OE⊥DE ‎∴DE是⊙O的切线 ‎（2）解：①连接BE ‎∵AB是⊙O直径 ‎∴∠AEB＝90°‎ ‎∴∠BEA＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°‎ ‎∵BC是⊙O的切线 ‎∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°‎ ‎∴∠BAE＝∠CBE ‎∵∠DAE＝∠BAE ‎∴∠DAE＝∠CBE ‎∴△ADE∽△BEC ‎∴‎ ‎∵DE＝3，CE＝2‎ ‎∴‎ ‎②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q ‎∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形 ‎∴∠EPG＝90°，PQ＝OG ‎∵‎ ‎∴设BC＝2x，AE＝3x ‎∴AC＝AE+CE＝3x+2‎ ‎∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C ‎∴△BEC∽△ABC ‎∴‎ ‎∴BC2＝AC•CE 即（2x）2＝2（3x+2）‎ 解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）‎ ‎∴BC＝4，AE＝6，AC＝8‎ ‎∴sin∠BAC＝，‎ ‎∴∠BAC＝30°‎ ‎∴∠EGP＝∠BAC＝30°‎ ‎∴PE＝EG ‎∴OG+EG＝PQ+PE ‎∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短 ‎∵EH＝AE＝3‎ ‎∴OG+EG的最小值为3‎