- 2021-05-21 发布 |
- 37.5 KB |
- 19页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】2020届一轮复习苏教版几何证明选讲学案
选修4-1 几何证明选讲A 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 [最新考纲] 了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理解直角三角形射影定理. 知 识 梳 理 1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. (2)平行线分线段成比例定理 ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ②相似三角形周长的比等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的高, 则有CD2=AD·BD, AC2=AD·AB,BC2=BD·AB. 诊 断 自 测 1. 如图,已知a∥b∥c,直线m,n分别与a,b,c交于点A,B,C和A′,B′,C′, 如果AB=BC=1,A′B′=,则B′C′=________. 解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案. 答案 2.如图,△ABC∽△AFE,EF=8,且△ABC与△AFE的相似比是3∶2,则BC等于________. 解析 ∵△ABC∽△AFE, ∴=. 又EF=8,∴BC=12. 答案 12 3. (2018·揭阳模拟)如图,BD⊥AE,∠C=90°,AB=4,BC=2,AD=3,则EC=________. 解析 在Rt△ADB中, DB==, 依题意得,△ADB∽△ACE, ∴=,可得EC==2. 答案 2 4.如图,∠C=90°,∠A=30°,E是AB中点,DE⊥AB于E,则△ADE与△ABC的相似比是________. 解析 ∵E为AB中点,∴=,即AE=AB,在Rt△ABC中,∠A=30°,AC=AB, 又∵Rt△AED∽Rt△ACB,∴相似比为=. 故△ADE与△ABC的相似比为1∶. 答案 1∶ 5. (2018·湛江模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BD的中点,AE交于BC于F,则=________. 解析 如图,过点D作DG∥AF,交BC于点G,易得FG=GC,又在△BDG中,BE=DE,即 EF为△BDG的中位线,故BF=FG,因此=. 答案 考点一 平行截割定理的应用 【例1】 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,则AB的长为________. 解析 由⇒===,又DF=1, 故可解得AF=2,∴AD=3, 又=,∴AB=. 答案 规律方法 利用平行截割定理解决问题,特别注意被平行线所截的直线,找准成比例的线段,得到相应的比例式,有时需要进行适当的变形,从而得到最终的结果. 【训练1】 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________. 解析 如图,延长AD,BC交于一点O,作OH⊥AB于点H. ∴=,得x=2h1,=,得h1=h2. ∴S梯形ABFE=×(3+4)×h2=h2, S梯形EFCD=×(2+3)×h1=h1, ∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD=7∶5. 答案 7∶5 考点二 相似三角形的判定及性质 【例2】 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点, ED、CB延长线交于一点F. 求证:FD2=FB·FC. 证明 ∵E是Rt△ACD斜边中点, ∴ED=EA,∴∠A=∠1, ∵∠1=∠2,∴∠2=∠A, ∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,∴∠FBD=∠FDC, ∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC, ∴=,∴FD2=FB·FC. 规律方法 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题. (2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等;可间接证明线段相等. 【训练2】 (2018·陕西卷)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=________. 解析 ∵PE∥BC,∴∠C=∠PED, 又∠C=∠A,则有∠A=∠PED,又∠为公共角, 所以△PDE∽△PEA, =,即PE2=PD·PA=2×3=6,故PE=. 答案 考点三 直角三角形射影定理及其应用 【例3】 如图所示,AD、BE是△ABC的两条高,DF⊥AB,垂足为F,直线FD交BE于点G,交AC的延长线于H,求证:DF2=GF·HF. 证明 ∵∠H+∠BAC=90°,∠GBF+∠BAC=90°, ∴∠H=∠GBF.∵∠AFH=∠GFB=90°, ∴△AFH∽△GFB.∴=, ∴AF·BF=GF·HF. 因为在Rt△ABD中,FD⊥AB,∴DF2=AF·BF, 所以DF2=GF·HF. 规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时,要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”. (2)证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法. 【训练3】 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, AD=4,sin∠ACD=,则CD=______,BC=______. 解析 在Rt△ADC中,AD=4,sin∠ACD==,得AC=5,CD==3, 又由射影定理AC2=AD·AB,得AB==. ∴BD=AB-AD=-4=, 由射影定理BC2=BD·AB=×,∴BC=. 答案 3 三角形相似与圆的交汇问题 【典例】 如图所示,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O于点E,证明: (1)AC·BD=AD·AB; (2)AC=AE. [审题视点] (1)根据待证等式可将各边回归到△ACB,△DAB中,再证两三角形相似;(2)本问可先证明△EAD∽△ABD,再结合第(1)问结论得证. 证明 (1)由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB, 同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. 从而=, 即AC·BD=AD·AB. (2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD.又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. 从而=,即AE·BD=AD·AB. 综合(1)的结论知,AC=AE. [反思感悟] 1.易失分点:(1)证明本题第(2)问时,想不到证明△EAD∽△ABD,从而无法解答. (2)证明本题第(2)问时,没有应用第(1)问的结论从而无法证明结论成立. 2.防范措施:(1)证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换或等比替换. (2)在有多个结论的题目中,如果结论带有普遍性,已经证明的结论,可作为证明下一个结论成立的条件使用. 【自主体验】 (2018·江苏卷)如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD 证明 连接OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因为∠A=∠A, 所以Rt△ADO ∽Rt△ACB. 所以=. 又BC=2OC=2OD, 故AC=2AD. 第2讲 直线与圆 [最新考纲] 1.理解圆周角定理及其推论;掌握圆的切线的判定定理及性质定理;理解弦切角定理及其推论. 2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理;理解圆内接四边形的性质定理与判定定理. 知 识 梳 理 1.圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ②推论:(i)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. (ii)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 2.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 3.圆的切线的性质及判定定理 (1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论: ①推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ②推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 4.与圆有关的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交 弦定 理 弦AB、CD相交于圆内点P (1)PA·PB= PC·PD (2)△ACP∽△BDP (1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一 (2)求弦长及角 割线 定理 PAB、PCD是⊙O的割 线 (1)PA·PB= PC·PD (2)△PAC∽△PDB (1)求线段PA、PB、PC、PD (2)应用相似求AC、BD 切割 线定 理 PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割 线 (1)PA2=PB·PC (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一 (2)求解AB、AC 切线 长定 理 PA、PB是⊙O的切线 (1)PA=PB (2)∠OPA=∠OPB (1)证线段相等,已知PA求PB (2)求角 5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理1:圆内接四边形的对角互补. ②定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 诊 断 自 测 1.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为________. 解析 连接CP.由推论2知∠CPA=90°,即CP⊥AB,由射影定理知,AC2=AP·AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4. 答案 6.4 2.如图,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧上的点,已知∠BAC=80°, 那么∠BDC=______. 解析 连接OB、OC,则OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180°-∠BAC=100°, ∴∠BDC=∠BOC=50°. 答案 50° 3.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交 于点P.若PB=1,PD=3,则的值为________. 解析 ∵ABCD为圆内接四边形,∴∠PBC=∠ADP,又∠P=∠P,∴△BCP∽△DAP,∴==. 答案 4. (2018·广州调研)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径,MN与⊙O相切,切点为A,∠MAB=35°,则∠D=________. 解析 连接BD,由题意知,∠ADB=∠MAB=35°,∠BDC=90°,故∠ADC=∠ADB+∠BDC=125°. 答案 125° 5.如图所示,过点P的直线与⊙O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O的半径r=________. 解析 设⊙O的半径为r(r>0), ∵PA=1,AB=2,∴PB=PA+AB=3. 延长PO交⊙O于点C, 则PC=PO+r=3+r. 设PO交⊙O于点D,则PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA·PB=PD·PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),则r=. 答案 考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题 【例1】 如图所示,⊙O的直径为6,AB为⊙O的直径,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于D、E. (1)求∠DAC的度数; (2)求线段AE的长. 解 (1)由已知△ADC是直角三角形,易知∠CAB=30°, 由于直线l与⊙O相切,由弦切角定理知∠BCF=30°, 由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°,又∠ACB=90°, 知∠DCA=60°,故在Rt△ADC中,∠DAC=30°. (1) (2)法一 连接BE,如图(1)所示,∠EAB=60°=∠CBA, 则Rt△ABE≌Rt△BAC,所以AE=BC=3. 法二 连接EC,OC,如图(2)所示,则由弦切角定理知,∠DCE=∠CAE=30°,又∠DCA=60°,故∠ECA=30°, (2) 又因为∠CAB=30°,故∠ECA=∠CAB,从而EC∥AO, 由OC⊥l,AD⊥l,可得OC∥AE,故四边形AOCE是平行四边形, 又因为OA=OC,故四边形AOCE是菱形,故AE=AO=3. 规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小. (2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角. 【训练1】 如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小. (1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角. 所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解 因为△ABE∽△ADC,所以=,即AB·AC=AD·AE 又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE, 故AB·ACsin∠BAC=AD·AE, 则sin∠BAC=1.又∠BAC为△ABC的内角, 所以∠BAC=90°. 考点二 与圆有关的比例线段 【例2】 如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于点B,C,∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E,求证: (1)AD=AE; (2)AD2=DB·EC. 证明 (1)∠AED=∠EPC+∠C, ∠ADE=∠APD+∠PAB. 因PE是∠APC的角平分线,故∠EPC=∠APD. 又PA是⊙O的切线,故∠C=∠PAB. 所以∠AED=∠ADE.故AD=AE. (2)⇒△PCE∽△PAD⇒=; ⇒△PAE∽△PBD⇒=. 又PA是切线,PBC是割线⇒PA2=PB·PC⇒=. 故=,又AD=AE,故AD2=DB·EC. 规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理. 【训练2】 (2018·天津卷)如图,△ABC为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF的长为________. 解析 由切割线定理得AE2=EB·ED,解得EB=4. 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠ADB. 由弦切角定理得∠EAB=∠EDA,所以∠EAB=∠ABC,则AE∥BC, 因为AC∥BD,所以四边形AEBC是平行四边形. 所以AE=BC=6,AC=EB=4,又由题意可得△CAF∽△CBA,所以=,CF==. 答案 考点三 圆内接四边形的判定及应用 【例3】 (2018·银川一中月考)如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B、C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点. (1)证明:A、P、O、M四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM的大小. (1)证明 连接OP,OM,因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC, 于是∠OPA+∠OMA=180°. 由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形APOM的对角互补, 所以A、P、O、M四点共圆. (2)解 由(1)得A、P、O、M四点共圆, 所以∠OAM=∠OPM, 由(1)得OP⊥AP,因为圆心O在∠PAC的内部, 所以∠OPM+∠APM=90°,所以∠OAM+∠APM=90°. 规律方法 (1)如果四点与一定点距离相等,那么这四点共圆;(2)如果四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 【训练3】 如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于点H,∠ABC=60°,F在AC上,且AE=AF. 求证:(1)B、D、H、E四点共圆; (2)CE平分∠DEF. 证明 (1)在△ABC中,∵∠ABC=60°, ∴∠BAC+∠BCA=120°. ∵AD,CE分别是△ABC的角平分线, ∴∠HAC+∠HCA=60°, ∴∠AHC=120°. ∴∠EHD=∠AHC=120°. ∴∠EBD+∠EHD=180°. ∴B,D,H,E四点共圆. (2)连接BH,则BH为∠ABC的平分线, ∴∠EBH=∠HBD=30°. 由(1)知B,D,H,E四点共圆, ∴∠CED=∠HBD=30°, ∠HDE=∠EBH=30°. ∴∠HED=∠HDE=30°. ∵AE=AF,AD平分∠BAC,∴EF⊥AD. 又∠EHA=∠HDE+∠CED=60°, ∴∠CEF=30°.∴CE平分∠DEF. 关于圆的综合应用 【典例】 如图所示,已知⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1,⊙O2于点D,E,DE与AC相交于点P. (1)求证:AD∥EC; (2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长. [审题视点] (1)连接AB,在⊙O1中使用弦切角定理,在⊙O2中使用圆周角定理,即可证明∠D=∠E;(2)根据切割线定理,只要求出BE的长度即可,在⊙O2中根据相交弦定理可得BP·PE,根据(1)中△ADP∽△CEP,又可得BP,PE的一个方程,解方程组求出BP,PE的长度即可. (1)证明 连接AB,如图所示. ∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E.∴∠D=∠E.∴AD∥EC. (2)解 设BP=x,PE=y, ∵PA=6,PC=2,∴xy=12.① ∵根据(1),可得△ADP∽△CEP, ∴=,即=,② 由①②,可得或(负值舍去) ∴DE=9+x+y=16. ∵AD是⊙O2的切线,∴AD2=DB·DE=9×16. ∴AD=12. [反思感悟] 在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段,产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似,本题中使用三角形的相似把⊙O2中两条待求的线段联系起来,发挥了相似三角形的桥梁作用.在涉及两圆的公共弦时,通常是作出两圆的公共弦,如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理,在两个圆内实现角的等量代换,这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向. 【自主体验】 如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F. (1)求证:AB2=AE·BC; (2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的长. (1)证明 ∵BE切⊙O于B, ∴∠ABE=∠ACB. 又AD∥BC,∴∠EAB=∠ABC, ∴△EAB∽△ABC, ∴=. ∴AB2=AE·BC. (2)解 由(1)△EAB∽△ABC,∴=. 又AE∥BC,∴=,∴=. 又AD∥BC,∴,∴AB=CD, ∴=,∴=, ∴EF==.查看更多