【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试21 平行四边形(培优提高)(教师版)

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【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试21 平行四边形(培优提高)(教师版)

专题 21 平行四边形(专题测试-提高) 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.(2019·江西中考模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E ,F 分别为 AD ,BC 的中点,P 为对角线 BD 上 的一个动点,则下列线段的长等于 AP EP 最小值的是( ) A. AB B. DE C. BD D. AF 【答案】D 【解析】 过点 E 作关于 BD 的对称点 E′,连接 AE′,交 BD 于点 P. ∴PA+PE 的最小值 AE′; ∵E 为 AD 的中点, ∴E′为 CD 的中点, ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=BC=CD=DA,∠ABF=∠AD E′=90°, ∴DE′=BF, ∴ΔABF≌ΔAD E′, ∴AE′=AF. 故选 D. 2.(2018·广西中考真题)如图,在菱形 ABCD 中,AC=6 2 ,BD=6,E 是 BC 边的中点,P,M 分别是 AC,AB 上的动点,连接 PE,PM,则 PE+PM 的最小值是( ) A.6 B.3 3 C.2 6 D.4.5 【答案】C 【详解】如图,作点 E 关于 AC 的对称点 E′,过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M,交 AC 于点 P, 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点, 则有 PE+PM=PE′+PM=E′M, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴点 E′在 CD 上, ∵AC=6 2 ,BD=6, ∴AB=  2 23 2 3 3 3  , 由 S 菱形 ABCD= 1 2 AC•BD=AB•E′M 得 1 2 ×6 2 ×6=3 3 •E′M, 解得:E′M=2 6 , 即 PE+PM 的最小值是 2 6 , 故选 C. 3.(2019·常州市第三中学中考模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 相交成的锐角 30  , 若 8AC  , 6BD  ,则平行四边形 ABCD 的面积是 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【详解】 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E, ∵在▱ABCD 中,AC=8,BD=6, ∴OD= 1 32 BD  , ∵∠α=30°, ∴DE=OD•sin∠α=3× 1 2 =1.5, ∴S△ACD= 1 2 AC•DE= 1 2 ×8×1.5=6, ∴S▱ABCD=2S△ACD=12. 故答案选:D. 4.(2018·四川中考真题)如图,在 ABCD 中,CD=2AD,BE⊥AD 于点 E,F 为 DC 的中点,连结 EF、 BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S 四边形 DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个 数共有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【解析】 如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G,取 AB 的中点 H 连接 FH. ∵CD=2AD,DF=FC, ∴CF=CB, ∴∠CFB=∠CBF, ∵CD∥AB, ∴∠CFB=∠FBH, ∴∠CBF=∠FBH, ∴∠ABC=2∠ABF.故①正确, ∵DE∥CG, ∴∠D=∠FCG, ∵DF=FC,∠DFE=∠CFG, ∴△DFE≌△FCG, ∴FE=FG, ∵BE⊥AD, ∴∠AEB=90°, ∵AD∥BC, ∴∠AEB=∠EBG=90°, ∴BF=EF=FG,故②正确, ∵S△DFE=S△CFG, ∴S 四边形 DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确, ∵AH=HB,DF=CF,AB=CD, ∴CF=BH,∵CF∥BH, ∴四边形 BCFH 是平行四边形, ∵CF=BC, ∴四边形 BCFH 是菱形, ∴∠BFC=∠BFH, ∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD, ∴FH⊥BE, ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF, ∴∠EFC=3∠DEF,故④正确, 故选 D. 5.(2018·湖北中考模拟)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,过点 C 作 AB 垂线交 AB 延长 线于点 E,连结 OE,若 AB=2 5 ,BD=4,则 OE 的长为( ) A.6 B.5 C.2 5 D.4 【答案】D 【详解】 四边形 ABCD 是菱形,  OA OC , BD AC ,  CE AB ,  OE OA OC  ,  4BD  ,  1 22OB BD  , 在 Rt AOB 中, 2 5AB  , 2OB  ,  2 2 4OA AB OB   ,  4OE OA  . 故选: D . 6.(2019·福建中考模拟)□ABCD 中,E、F 是对角线 BD 上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AF//CE D.∠BAE=∠DCF 【答案】B 【详解】A、如图,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形,故不符合题意; B、如图所示,AE=CF,不能得到四边形 AECF 是平行四边形,故符合题意; C、如图,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴OA=OC, ∵AF//CE,∴∠FAO=∠ECO, 又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE, ∴AF / / CE,∴四边形 AECF 是平行四边形,故不符合题意; D、如图,∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB=CD,AB//CD, ∴∠ABE=∠CDF, 又∵∠BAE=∠DCF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO, ∴AE//CF, ∴AE / / CF,∴四边形 AECF 是平行四边形,故不符合题意, 故选 B. 7.(2019·山东中考模拟)矩形 ABCD 与 CEFG,如图放置,点 B,C,E 共线,点 C,D,G 共线,连接 AF,取 AF 的中点 H,连接 GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则 GH=( ) A.1 B. 2 3 C. 2 2 D. 5 2 【答案】C 【解析】 如图,延长 GH 交 AD 于点 P, ∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形, ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1, ∴AD∥GF, ∴∠GFH=∠PAH, 又∵H 是 AF 的中点, ∴AH=FH, 在△APH 和△FGH 中, ∵ PAH GFH AH FH AHP FHG         , ∴△APH≌△FGH(ASA), ∴AP=GF=1,GH=PH= 1 2 PG, ∴PD=AD﹣AP=1, ∵CG=2、CD=1, ∴DG=1, 则 GH= 1 2 PG= 1 2 × 2 2PD DG = 2 2 , 故选:C. 8.(2014·广东中考模拟)如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1, S2,则 S1+S2 的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 【答案】B 【解析】 如图 设正方形 S2 的边长为 x, 根据等腰直角三角形的性质知,AC= BC,BC=CE= CD, ∴AC=2CD,CD= =2, ∴EC2=22+22,即 EC= ; ∴S2 的面积为 =8; ∵S1 的边长为 3,S1 的面积为 3×3=9, ∴S1+S2=8+9=17.故选 B. 9.(2018·浙江中考真题)用尺规在一个平行四边形内作菱形 ABCD ,下列作法中错误的是( ) A.(A) B.(B) C.(C) D.(D) 【答案】C 【解析】 由作图,可以证明 A、B、D 中四边形 ABCD 是菱形,C 中 ABCD 是平行四边形,即可得到结论. 详解:A.∵AC 是线段 BD 的垂直平分线,∴BO=OD,∴∠AOD=∠COB=90°. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴△AOD≌△COB,∴AO=OC,∴四边形 ABCD 是菱形.故 A 正确; B.由作图可知:AD=AB=BC. ∵AD∥BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵AD=AB,∴四边形 ABCD 是菱形.故 B 正确; C.由作图可知 AB、CD 是角平分线,可以得到 ABCD 是平行四边形,不能得到 ABCD 是菱形.故 C 错误; D.如图,∵AE=AF,AG=AG,EG=FG,∴△AEG≌△AFG,∴∠EAG=∠FAG. ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠FAG=∠ACB,∴AB=BC,同理∠DCA=∠BCA,∴∠BAC=∠DCA, ∴AB∥DC. ∵AD∥BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵AB=BC,∴四边形 ABCD 是菱形.故 D 正确. 故选 C. 10.(2018·陕西中考模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且 BC=2AD,分别 以 AB、BC、DC 为边向外作正方形,它们的面积分别为 S1、S2、S3.若 S2=48,S3=9,则 S1 的值为( ) A.18 B.12 C.9 D.3 【答案】D 【详解】 ∵S2=48,∴BC=4 3 ,过 A 作 AH∥CD 交 BC 于 H,则∠AHB=∠DCB. ∵AD∥BC,∴四边形 AHCD 是平行四边形,∴CH=BH=AD=2 3 ,AH=CD=3. ∵∠ABC+∠DCB=90°,∴∠AHB+∠ABC=90°,∴∠BAH=90°,∴AB2=BH2﹣AH2=3,∴S1=3. 故选 D. 11.(2015·河北中考模拟)如图,四边形 ABCD,AEFG 都是正方形,点 E,G 分别在 AB,AD 上,连接 FC,过点 E 作 EH∥FC 交 BC 于点 H.若 AB=4,AE=1,则 BH 的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 试题分析:∵AB=4,AE=1, ∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3, ∵四边形 ABCD,AEFG 都是正方形, ∴AD∥EF∥BC, 又∵EH∥FC, ∴四边形 EFCH 平行四边形, ∴EF=CH, ∵四边形 ABCD,AEFG 都是正方形, ∴AB=BC,AE=EF, ∴AB﹣AE=BC﹣CH, ∴BE=BH=3. 故选 C. 12.(2018·陕西中考真题)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点, 连接 EF、FG、GH 和 HE.若 EH=2EF,则下列结论正确的是( ) A.AB= 2 EF B.AB=2EF C.AB= 3 EF D.AB= 5 EF 【答案】D 【详解】连接 AC、BD 交于点 O, ∵四边形 ABCD 是菱形,∴OA= 1 2 AC,OB= 1 2 BD,AC⊥BD, ∵E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点, ∴EH= 1 2 BD,EF= 1 2 AC, ∵EH=2EF, ∴OA=EF,OB=2OA=2EF, 在 Rt△AOB 中,AB= 2 2OA OB = 5 EF, 故选 D. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 13.(2019·山东中考模拟)如图,四边形 ABCD 为矩形纸片,把纸片 ABCD 折叠,使点 B 恰好落在 CD 边 的中点 E 处, 折痕为 AF,若 CD=6,则 AF 等于__________. 【答案】4 3 【解析】 由折叠的性质得 BF=EF,AE=AB, ∵CD=6,E 为 CD 中点, ∴ED=3, 在 Rt△ADE 中, ∵AE=AB=CD=6, ∴DE= 1 2 AE, ∴∠EAD=30°, ∴∠FAE= 1 2 (90°−30°)=30°, 在 Rt△AFE 中, 设 FE=x,则 AF=2x, ,根据勾股定理得, 2 2 2AF AE EF  , 即(2x)2=62+x2, 解得,,x1=2 3 ,x2=−2 3 (舍去). ∴AF=2x=4 3 . 故答案为:4 3 . 14.(2017·湖北中考真题)如图,在▱ABCD 中,∠D=100°,∠DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E,连接 BE.若 AE=AB, 则∠EBC 的度数为__________. 【答案】30°. 【解析】 试题解析:∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥DC,∠ABC=∠D ∴∠DAB+∠D=180°, ∵∠D=100°, ∴∠DAB=80°, ∠ABC=100° 又∵∠DAB 的平分线交 DC 于点 E ∴∠EAD=∠EAB=40° ∵AE=AB ∴∠ABE= (180°-40°)=70° ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°. 15.(2018·天津中考模拟)在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 a,b,c,正放置的四个正方形的面积依次是 S1,S2,S3,S4,则 S1+S2+S3+S4=_____. 【答案】a+c 【详解】 解: ∵∠ACB+∠DCE=90°,∠BAC+∠ACB=90°, ∴∠DCE=∠BAC, ∵AC=CE,∠ABC=∠CDE ∴△ABC≌△CDE, ∴BC=DE, 在直角△ABC 中,AB2+BC2=AC2, 即,AB2+DE2=AC2, ∵S3=AB2,S4=DE2 ∴S3+S4=c 同理 S1+S2=a 故可得 S1+S2+S3+S4=a+c, 故答案是: a+c. 16.(2016·新疆中考真题)如图,在平行四边形 ABCD 中,P 是 CD 边上一点,且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA,若 AD=5,AP=8,则△APB 的周长是 . 【答案】24. 【解析】 试题分析: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥CB,AB∥CD,∴∠DAB+∠CBA=180°,又∵AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA,∴∠PAB= ∠DAB,∠PBA= ∠ABC,∴∠PAB+∠PBA= (∠DAB+∠CBA) =90°,∴∠APB=180°﹣(∠PAB+∠PBA)=90°;∵AB∥CD,∴∠PAB=∠DPA,∴∠DAP=∠DPA,∴AD=DP=5, 同理:PC=CB=5, 即 AB=DC=DP+PC=10,在 Rt△APB 中,AB=10,AP=8,∴BP= =6,∴△APB 的周长 =6+8+10=24. 17.(2018·吉林中考真题)如图,在▱ABCD 中,AD=7,AB=2 3 ,∠B=60°.E 是边 BC 上任意一点,沿 AE 剪开,将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置,得到四边形 AEFD,则四边形 AEFD 周长的最小值为 _____. 【答案】20 【详解】当 AE⊥BC 时,四边形 AEFD 的周长最小, ∵AE⊥BC,AB=2 3 ,∠B=60°, ∴AE=3,BE= 3 , ∵△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置, ∴EF=BC=AD=7, ∴四边形 AEFD 周长的最小值为:14+6=20, 故答案为:20. 三、解答题(共 4 小题,每小题 8 分,共 32 分) 18.(2019·山东中考模拟)如图,在平行四边形 ABCD 中,AE 是 BC 边上的高,点 F 是 DE 的中点,AB 与 AG 关于 AE 对称,AE 与 AF 关于 AG 对称. (1)求证:△AEF 是等边三角形; (2)若 AB=2,求△AFD 的面积. 【答案】(1)证明见解析;(2)S△ADF= 3 3 4 . 【详解】(1)∵AB 与 AG 关于 AE 对称, ∴AE⊥BC, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴AE⊥AD,即∠DAE=90°, ∵点 F 是 DE 的中点,即 AF 是 Rt△ADE 的中线, ∴AF=EF=DF, ∵AE 与 AF 关于 AG 对称, ∴AE=AF, 则 AE=AF=EF, ∴△AEF 是等边三角形; (2)记 AG、EF 交点为 H, ∵△AEF 是等边三角形,且 AE 与 AF 关于 AG 对称, ∴∠EAG=30°,AG⊥EF, ∵AB 与 AG 关于 AE 对称, ∴∠BAE=∠GAE=30°,∠AEB=90°, ∵AB=2, ∴BE=1、DF=AF=AE= 3 , 则 EH= 1 2 AE= 3 2 、AH= 3 2 , ∴S△ADF= 1 2 × 3 3 33 2 4   . 19.(2019·江苏中考模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别 为 E、F. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若 AC 与 BD 交于点 O,求证:AO=CO. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 (1)∵BE=DF, ∴BE-EF=DF-EF, 即 BF=DE, ∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AED=∠CFB=90°, 在 Rt△ADE 与 Rt△CBF 中, ∵AD=BC, DE=BF, ∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL); (2)如图,连接 AC 交 BD 于 O, ∵Rt△ADE≌Rt△CBF, ∴∠ADE=∠CBF, ∴AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AO=CO. 20.(2018·广东正德中学中考模拟)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 F 处,FC 交 AD 于 E. (1)求证:△AFE≌△CDF; (2)若 AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)证明见解析;(2)10. 【解析】 (1)∵四边形 ABCD 是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°, ∵将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折,点 B 落在点 E 处, ∴∠E=∠B,AB=AE,∴AE=CD,∠E=∠D, 在△AEF 与△CDF 中, ∵∠E=∠D,∠AFE=∠CFD,AE=CD, ∴△AEF≌△CDF; (2)∵AB=4,BC=8, ∴CE=AD=8,AE=CD=AB=4, ∵△AEF≌△CDF, ∴AF=CF,EF=DF, ∴DF2+CD2=CF2,即 DF2+42=(8﹣DF)2, ∴DF=3,∴EF=3, ∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF= 1 2 ×4×8﹣ 1 2 ×4×3=10. 21.(2018·广西中考模拟)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,过点 C 的直线 MN∥AB,D 为 AB 边上 一点,过点 D 作 DE⊥BC,交直线 MN 于 E,垂足为 F,连接 CD、BE. (1)求证:CE=AD; (2)当 D 在 AB 中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由; (3)若 D 为 AB 中点,则当∠A 的大小满足什么条件时,四边形 BECD 是正方形?请说明你的理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)四边形 BECD 是菱形.理由见解析;(3)当∠A=45°时,四边形 BECD 是正方 形,理由:见解析. 【详解】 (1)证明:∵MN∥AB, ∴EC∥AD. 又∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC. 又∵DE⊥BC, ∴DE∥AC. ∵EC∥AD,DE∥AC, ∴四边形 ADEC 是平行四边形. ∴CE=AD. (2)当点 D 是 AB 中点时,四边形 BECD 是菱形. 证明:∵ D 是 AB 中点, ∴DB=DA 又∵MN∥AB,CE=AD ∴DB= CE,DB ∥ CE ∴四边形 BDCE 是平行四边形 又∵DE⊥BC ∴四边形 BECD 是菱形 (3)当∠A 的大小是 45°时,四边形 BECD 是正方形.
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