2019中考一元二次方程专题复习

2019中考一元二次方程专题复习

一 元 二 次 方 程 专 题 复 习 ‎【知识回顾】‎ 考点 1 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的概念 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次 方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0).‎ 一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、 法、‎ 公式法、 法等.‎ 考点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 根的判别式的定义 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 .‎ 判别式与根的关系 ‎(1)b2-4ac＞0 Û 一元二次方程 的实数根； (2)b2-4ac=0 Û 一元二次方程 的实数根；‎ ‎(3)b2-4ac＜0 Û 一元二次方程 实数根.‎ 根与系数的关系 ‎1.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x 、x ，则 x +x =- b ,x ·x = c .‎ ‎1 2 1 2 1 2‎ a a ‎（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0 这个条件，否则解题就会出错。）注意：‎ ‎① x 2 + x 2 = (x + x )2 - 2x x ② (x - x )2 = (x + x )2 - 4x × x ‎1 2 1 2 1 2‎ ‎1 2 1 2 1 2‎ ‎② x1 × x2 + x1 ×x2 = x1 × x2 (x1 + x2 ) ④ (x1 + a)(x 2 + a) = x1 × x 2 + a(x1 + x 2 )+ a ‎2 2 2‎ ‎1 1 x + x 1 1 x 2 + x 2 (x + x )2 - 2x x ‎⑤ + = 1 2 ⑥ + = 1 2 = 1 2 1 2 ‎ x x x × x x 2 x 2 x 2 × x 2 (x × x )2‎ ‎1 2 1 2 1 2 1 2 1 2‎ ‎⑦ x1 - x 2 = (x1 - x 2 ) = (x1 + x 2 ) - 4x1x 2‎ ‎2 2‎ ‎2．以 x1，x2 为根的一元二次方程可写成 x2－（x1+x2）x+x1x2=0．‎ ‎3．使用一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2－4ac 解题的前提是二次项系数 a≠0．‎ ‎4．若 x1，x2 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两根，则 ax 2+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若 ‎1‎ ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且 x1≠x2，则 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根．‎ ‎【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为 0 这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b2-4ac≥0.‎ 考点 3 一元二次方程的应用（传播类，树枝类、握手、单双循环、面积、增长率）‎ 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．‎ ‎【典型例题】‎ 例 1：（2014 年广东汕尾）已知关于 x 的方程 x2+ax+a﹣2=0‎ ‎（1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根；‎ ‎（2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．‎ 例 2: 关于 x 的方程 kx2 + (k + 2)x + k = 0 有两个不相等的实数根.‎ ‎4‎ ‎(1)求 k 的取值范围。‎ ‎(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由 ‎2‎ 例 3: (2014·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2‎ ‎(1)求实数 m 的最大整数值；‎ ‎x+m=0,有两个不相等的实数根.‎ ‎2 2‎ ‎(2)在(1)的条件下，方程的实数根是 x1，x2,求代数式 x1 +x2 -x1x2 的值.‎ 例 4: (2013·淄博)关于 x 的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0 有实根.‎ ‎(1)求 a 的最大整数值；‎ ‎(2)当 a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求 2x2-‎ ‎32x - 7‎ ‎ ‎ x2 - 8x +11‎ ‎‎ 的值.‎ 例 5: (2014·株洲)已知关于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 的三边的长.‎ ‎(1)如果 x=-1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；‎ ‎(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；‎ ‎(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.‎ 例 6:（2015•鄂州, 第20题8分）关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2+1=0 有两个不等实根 x1，x2．‎ ‎（1）求实数 k 的取值范围．‎ ‎（2）若方程两实根 x1，x2 满足|x1|+|x2|=x1•x2，求 k 的值．‎ ‎【基础训练】1．解下列方程 ‎（1）(2x＋3)2－25＝0.（直接开平方法） （2）‎ ‎‎ ‎2x2 - 7x - 2 = 0 （配方法）‎ ‎（3） (x + 2)2 = 3(x + 2)（因式分解法） （4） 2x2 + x - 6 = 0 （公式法）‎ ‎2.用配方法解方程 x2 - 4x + 2 = 0 ，下列配方正确的是（ ）‎ A． (x - 2)2 = 2‎ ‎B． (x + 2)2 = 2‎ ‎C． (x - 2)2 = -2‎ ‎D． (x - 2)2 = 6‎ ‎3.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）‎ Ａ． x2 + 4 = 0‎ ‎Ｂ． 4x2 - 4x +1 = 0‎ ‎Ｃ． x2 + x + 3 = 0‎ ‎Ｄ． x2 + 2x -1 = 0‎ ‎4．一元二次方程 x2 - 4x + 4 = 0 的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 ‎5、已知 b＜0，关于 x 的一元二次方程（x﹣1）2=b 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．没有实数根 D．有两个实数根 ‎6、若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） A．k＜1 B．k＞1 C．k=1 D．k≥0‎ ‎7、若关于 x 的方程 x2-4x+m=0 没有实数根，则实数 m 的取值范围是( ) Ａ.ｍ＜-4 Ｂ.m＞-4 Ｃ.m＜4 Ｄ.m＞4‎ ‎8、已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+b﹣1=0 有两个相等的实数根，则 b 的值是 ‎ ‎9、若关于 x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）‎ A. k > -1‎ ‎B. k < 1 且k ¹ 0‎ ‎C. k ³ -1 且k ¹ 0‎ x2 + x1‎ ‎D. k > -1 且k ¹ 0‎ ‎10、设 x1 , x2 是方程 x2 + 3x - 3 = 0 的两个实数根，则 x1 x2 的值为（ ）‎ A.5 B.-5 C.1 D.-1‎ ‎11．（2014•湖北黄冈）若 α、β 是一元二次方程 x2+2x﹣6=0 的两根，则 α2+β2=（ ）‎ A．‎ ‎﹣8‎ B．‎ ‎32‎ C．‎ ‎16‎ D．‎ ‎40‎ ‎12.（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则 a 的值为（ ）‎ A．‎ ‎﹣10‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎10‎ ‎13.（2014•菏泽）已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根﹣b，则 a﹣b 的值为（ ）‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎﹣2‎ ‎14.(2014·荆门)已知α是一元二次方程 x2-x-1＝0 较大的根，则下面对α的估计正确的是( ) A.0＜α＜1 B.1＜α＜1.5‎ C.1.5＜α＜2 D.2＜α＜3‎ ‎15.（2015•四川攀枝花第 9 题 3 分）关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2﹣0 有两个不相等的正实数根，则 m 的取值范围是（ ）‎ A．m＞ B． 且 m≠2 ＜m＜2 ＜m＜2‎ ‎16.关于 x 的一元二次方程 x2 - mx + 2m = 0 的一个根为 1，则 m= ，方程的另一根为 。‎ ‎17. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长为方程 y2﹣7y+10=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ）‎ A． 8 B． 20 C． 8 或 20 D． 10‎ ‎18.已知整数 k ＜5， 若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2 - 3 k x + 8 = 0 ，则△ABC 的周长 是 。‎ ‎2‎ ‎19.设 x1，x2 是方程 x ﹣x﹣2013=0 的两实数根，= ．‎ ‎20.已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则 a 的值为（ ）‎ A．‎ ‎﹣10‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎10‎ ‎21.已知a ， b 是一元二次方程 x 2 - 5x - 2 = 0 的两个实数根，则a 2 + ab + b 2 的值为（ ） A．-1 B. 9 C. 23 D. 27‎ ‎22.如果方程 ax2－bx－6=0 与方程 ax2+2bx－15=0 有一个公共根是 3，求 a，b 的值， 并求方程的另一个根．‎ ‎23.若 0 是关于 x 的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0 的解，求实数 m 的值，并讨论此方程解的情况．‎ ‎24（.‎ ‎2015•四川凉ft州第 25 题）已知实数 m，n 满足 3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且 m≠n，则 n + m = ．‎ m n ‎25.已知关于 x 的方程(m - 2)x2 - 2(m -1)x + m +1 = 0 ，当 m 为何非负整数时：（ ）‎ ‎(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.‎ ‎26.（2010 湖北孝感）已知关于 x 的方程 x2－2（k－1）x+k2=0 有两个实数根 x ，x .‎ ‎1 2‎ ‎（1）求 k 的取值范围；‎ ‎（2）若 x1 + x2 = x1x2 -1 ，求 k 的值.‎ ‎27. 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x-a=0.‎ ‎(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围；‎ ‎1 1‎ ‎(2)如果此方程的两个实数根为 x1，x2，且满足 +‎ x1 x2‎ ‎2‎ ‎=- ，求 a 的值.‎ ‎3‎ ‎28.(2014·白银)用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米.若设它的一条边长为 x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( )‎ A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6‎ ‎29.(2013·哈尔滨)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 ‎ ‎30.(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感.‎ ‎(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？‎ ‎31.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ‎91，每个支干长出多少小分支？‎ ‎32.学校举行乒乓友谊赛，采用单循环赛形式（即每两个队要比赛一场），计算下来共要比赛 66 场，问共有多少个队报名参赛？‎ ‎33．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛 90 场，共有多少队参加？‎ ‎34.（2008，南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内沿前侧内墙保留 ‎3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是 288m2？‎ ‎35.(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是 120 m2，如果它的长减少 2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m.‎ ‎36.(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道的宽应设计成多少 m？设通道的宽为 x m，由题意列得方程 .‎ ‎37.（2015•湖北, 第21题6分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m2？‎ ‎38（. 2015•毕节市）一个容器盛满纯药液 40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，‎ 这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是 L．‎ ‎【能力提高】‎ ‎1.(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为 4 万，可变成本逐年 增长.已知该养殖户第 1 年的可变成本为 2.6 万元.设可变成本平均每年增长的百分率为 x.‎ ‎(1)用含 x 的代数式表示第 3 年的可变成本为 万元；‎ ‎(2)如果该养殖户第 3 年的养殖成本为 7.146 万元，求可变成本平均每年增长的百分率 x.‎ ‎2.（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知 2013 年投 资 1000 万元，预计 2015 年投资 1210 万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．‎ ‎（1）求平均每年投资增长的百分率；‎ ‎（2）已知河道治污每平方需投入 400 元，园林绿化每平方米需投入 200 元，若要求 2015 年河道治污及园林绿 化总面积不少于 35000 平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的 4 倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？‎ ‎3.（2015•毕节市）某商场有 A，B 两种商品，若买 2 件 A 商品和 1 件 B 商品，共需 80 元；若买 3 件 A 商品和 ‎2 件 B 商品，共需 135 元．‎ ‎（1）设 A，B 两种商品每件售价分别为 a 元、b 元，求 a、b 的值；‎ ‎（2）B 商品每件的成本是 20 元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售 B 商品 100 件；‎ 若销售单价每上涨 1 元，B 商品每天的销售量就减少 5 件．‎ ‎①求每天 B 商品的销售利润 y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？‎ ‎②求销售单价为多少元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？‎ ‎4.某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为 10 元/千克，月销售量为 1000 千克，经市场调查， 若将该水果价格调低至 x 元/千克，则本月份销售量 y（千克）与 x（元/千克）之间符合一次函数关系式 y = kx + b ，当 x=7 时，y=2000；当 x=5 时，y=4000；‎ ‎（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；‎ ‎（2）已知该种水果上月份的成本价为 5 元/千克，本月份的成本价为 4 元/千克，要使本月份销售该种水果所获得利润比上月份增加 20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（利润=售价 ‎-成本价）‎ ‎5. 在某大学的勤工俭学活动中，小马用 300 元购进某种文具进行销售，由于销售状况良好，小马又拿出 900 元资金购进该种文具，但这次的进价比第一次的进价提高了 20%，购进文具数量是第一次的 2 倍还多 30 件，如果小马按每件文具 9 元的价格出售，当大部分文具售出后，余下的 60 件按售价的 8 折售完．‎ ‎（1）该种文具的第一次进价是每件多少元？‎ ‎（2）在本次勤工俭学活动中，小马销售这种文具共盈利多少元？‎