高考求函数值域及最值得方法及例题训练题

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高考求函数值域及最值得方法及例题训练题

函数专题之值域与最值问题 一.观察法 ‎ 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。‎ ‎ 例1求函数y=3+√(2-3x) 的值域。‎ ‎ 点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x) 的值域。‎ ‎ 解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,‎ ‎ 故3+√(2-3x)≥3。‎ ‎ ∴函数的知域为 .‎ ‎ 点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。‎ ‎ 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。‎ ‎ 练习:求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案:值域为:{0,1,2,3,4,5})‎ ‎ 二.反函数法 ‎ 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。‎ ‎ 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。‎ ‎ 点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。‎ ‎ 解:显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R}。‎ ‎ 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。‎ ‎ 练习:求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案:函数的值域为{y∣y<-1或y>1})‎ ‎ 三.配方法 ‎ 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 ‎ 例3:求函数y=√(-x2+x+2)的值域。‎ ‎ 点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。‎ ‎ 解:由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1,2]。此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0,9/4]‎ ‎ ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]‎ ‎ 点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。‎ ‎ 练习:求函数y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})‎ ‎ 四.判别式法 ‎ 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。‎ ‎ 例4求函数y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。‎ ‎ 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。‎ ‎ 解:将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)‎ ‎ 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2<x≤10/3‎ ‎ 当y=2时,方程(*)无解。∴函数的值域为2<y≤10/3。‎ ‎ 点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。‎ ‎ 练习:求函数y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案:值域为y≤-8或y>0)。‎ ‎ 五.最值法 ‎ 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。‎ ‎ 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。‎ ‎ 点拨:根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。‎ ‎ 解:∵3x2+x+1>0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得-1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),‎ ‎ ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。‎ ‎ 当x=-1时,z=-5;当x=3/2时,z=15/4。‎ ‎ ∴函数z的值域为{z∣-5≤z≤15/4}。‎ ‎ 点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。‎ ‎ 练习:若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 ( )‎ ‎ A.(-∞,+∞) B.[-7,+∞] C.[0,+∞) D.[-5,+∞)‎ ‎ (答案:D)。‎ ‎ 六.图象法 ‎ 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。‎ ‎ 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。‎ ‎ 点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。‎ ‎ 解:原函数化为 -2x+1 (x≤1)‎ ‎ y= 3 (-12)‎ ‎ 它的图象如图所示。‎ ‎ 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,+∞]。‎ ‎ 点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。‎ ‎ 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。‎ ‎ 七.单调法 ‎ 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。‎ ‎ 例1求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。‎ ‎ 点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。‎ ‎ 解:设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x ‎ 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y≤4/3}。‎ ‎ 点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。‎ ‎ 练习:求函数y=3+√4-x 的值域。(答案:{y|y≥3})‎ ‎ 八.换元法 ‎ 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。‎ ‎ 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。‎ ‎ 点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。‎ ‎ 解:设t=√2x+1 (t≥0),则 ‎ x=1/2(t2-1)。‎ ‎ 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.‎ ‎ 所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。‎ ‎ 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。‎ ‎ 练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}‎ ‎ 九.构造法 ‎ 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。‎ ‎ 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。‎ ‎ 点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。‎ ‎ 解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22‎ ‎ 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,‎ KC=√(x+2)2+1 。‎ ‎ 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共 线时取等号。‎ ‎ ∴原函数的知域为{y|y≥5}。‎ ‎ 点评:对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。‎ ‎ 练习:求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})‎ ‎ 十.比例法 ‎ 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。‎ ‎ 例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。‎ ‎ 点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。‎ ‎ 解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)‎ ‎ ∴x=3+4k,y=1+3k,‎ ‎ ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。‎ ‎ 当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。‎ ‎ 函数的值域为{z|z≥1}.‎ ‎ 点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。‎ ‎ 练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})‎ ‎ 十一.利用多项式的除法 ‎ 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。‎ ‎ 点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。‎ ‎ 解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。‎ ‎ ∵1/(x+1)≠0,故y≠3。‎ ‎ ∴函数y的值域为y≠3的一切实数。‎ ‎ 点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。‎ ‎ 练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)‎ ‎ 十二.不等式法 ‎ 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。‎ ‎ 点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。‎ ‎ 解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],‎ ‎ 由对数函数的定义知 x/(1-x)>0‎ ‎ 1-x≠0‎ ‎ 解得,0<x<1。‎ ‎ ∴函数的值域(0,1)。‎ ‎ 点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。‎ 以下供练习选用:求下列函数的值域 ‎1.Y=√(15-4x)+2x-5;({y|y≤3})‎ 2. Y=2x/(2x-1)。 (y>1或y<0) ‎ 训练例题 例1.求下列函数的值域 ‎(1)(2)(3)(4) ‎ 例2.已知,求的最值。‎ 例3.求下列函数的值域 ‎(1)(2)(3)‎ 例4.如何求函数的最值?呢?‎ 例5.求下列函数的值域 ‎(1)(2)(3)(4) ‎ 课后练习题 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 答案 ‎1. 已知函数=,则[()]的值是 A.9 B. C. -9 D. -‎ ‎2. 若集合,,则等于 A.{0}    B.      C.S    D.T ‎3. 下列函数中值域是(0,+∞)的函数是 A. B. C. D. ‎ ‎4. 定义在R上的函数的值域为[,b],则的值域为 A.[,b] B.[+1,b+1] C.[-1,b-1] D.无法确定 ‎5. 函数y =的定义域是(-,1)[2,5],则其值域是 ‎ A.(-,0)[,2] B.(-,2) C.(-,)[2,+] D.(0,+)‎ ‎6. 函数的值域为R,则实数k的取值范围是 ‎  A.  B.或 C.  D.或 ‎7. 已知函数的最小值是 A.2 B. C. D.‎ ‎8. 函数 A.最小值为0,最大值为4 B.最小值为-4,最大值为0‎ C.最小值为-4,最大值为4 D.没有最大值,也没有最小值 ‎9. 已知的最大值为2,的最大值为,则的取值范围是 A. B. C. D.以上三种均有可能 ‎10.已知、b的等差中项是的最小值是 ‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11. 已知,,则(=‎ A.15 B.1 C.3 D.30‎ ‎12. 设函数,则的值为 A. B. b C.、b中较小的数 D.、b中较大的数 ‎13.函数的最小值为 A.190     B.171     C.90     D.45‎ 二、填空题:‎ ‎14. 定义在R上的函数满足关系式:,则 的值等于________‎ ‎15. 已知函数对一切实数,均满足,且.则 ‎ ‎16. 设(>0)的值域为[-1,4],则,b的值为_________‎ 17. 函数 的最大值是 ‎ ‎18.已知a,b为常数,若则 ‎ 三、解答题:‎ ‎19. 求下列函数的值域 ‎(1); ‎ ‎(2); ‎ ‎(3)‎ ‎20. 已知函数的值域为[1,3],求实数b、c的值。‎ ‎21.设函数,‎ ‎(1)若定义域为[0,3],求的值域;‎ ‎(2)若定义域为时,的值域为,求的值.‎ ‎22. 已知函数:‎ ‎ (1)证明:对定义域内的所有都成立.‎ ‎ (2)当的定义域为 时,求证:的值域为;‎ ‎ *(3)设函数, 求的最小值 .‎ 函数的值域与最值参考答案 ‎(三)例题讲评 例1.‎ 例2.‎ ‎,最大值18;最小值 例3.;;;‎ 例4.,当且仅当 时取等号;即时,y的最小值是2。没有最大值。‎ 另外方法同上,即时,y的最大值是。没有最小值。‎ 说明:本题不能用判别式法。因为。若用判别式法得,当时,‎ 求得,不合。‎ 例5.;‎ ‎(以上各小题考虑了各种方法的顺序,有的方法给出2个小题,有的题目可以多种方法导数法暂不考虑。)‎ ‎(四)练习题 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 答案 B C B A A B D C C C A C C ‎9.提示:令,实际是将原函数图象的点的横坐标缩短变为原来的二分之一,纵坐标不变。故最值不变。‎ ‎10. 提示:由,‎ 二、填空题 ‎14.7; 15.4012; 16. =4, b=3; 17. 4; 18.2。‎ ‎15.提示:用赋值法或令 ‎ 三、解答题 ‎19. [解析]先确定函数的定义域,正确选择方法,并作出相应的数式变换.‎ ‎(1)函数的定义域为,‎ 令,‎ 即或,‎ ‎∴函数的值域为;‎ ‎(注)这里运用了不等式性质:;‎ ‎[解法二]原函数等价于,‎ 当时,得-4=0,矛盾,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得函数的值域为.‎ ‎(2)函数的定义域为.作换元,令,‎ 上为增函数,‎ ‎,∴函数的值域为;‎ ‎[解法二]令,∴原函数,‎ ‎∵在定义域内都是减函数,‎ ‎∴原函数在定义域是减函数,,‎ 而当时,,∴函数的值域为.‎ ‎(3)函数的定义域为,‎ ‎,‎ 由二次函数性质知函数的值域为[0,1];‎ ‎[解法二]令, ,‎ ‎,‎ 即函数的值域为[0,1]‎ ‎20.由y= 得 (2-y)x2+bx+c-y=0,(*)‎ 当y-2≠0,由x∈R,有Δ=b2-4(2-y)·(c-y)≥0‎ 即4y2-4(2+c)y+8c-b2≤0,由已知得2+c=1+3且=1×3‎ ‎∴b=±2,c=2又b<0,∴b=-2,c=2, 而y-2=0,b=-2,c=2代入(*)式得x=0 ‎ ‎∴b=-2,c=2为所求 ‎ ‎21.解:,∴对称轴为,‎ ‎ (1),∴的值域为,即;‎ ‎ (2)对称轴,‎ ‎,‎ ‎∵区间的中点为,‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ 不合);‎ ‎②当时,,‎ 不合);‎ 综上,.‎ ‎22.(1)证明:‎ ‎∴结论成立 ‎ ‎(2)证明:‎ 当 ‎ 即 ‎ ‎(3)解: ‎ ‎①当 如果 即时,则函数在上单调递增 ‎ ,‎ 如果 而当时,在处无定义,故最小值不存在 ‎②当 ‎ 如果 如果 当 综合得:‎ 当时 g(x)最小值是 当时 g(x)最小值是 当时 g(x)最小值为 当时 g(x)最小值不存
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