高中数学第2章常用逻辑用语章末综合测评含解析苏教版必修第一册

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高中数学第2章常用逻辑用语章末综合测评含解析苏教版必修第一册

章末综合测评(二) 常用逻辑用语 ‎(满分:150分 时间:120分钟)‎ 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题“∀x>0,都有x2-x≤‎0”‎的否定是(  )‎ A.∃x>0,使得x2-x≤0 B.∃x>0,使得x2-x>0‎ C.∀x>0,都有x2-x>0 D.∀x≤0,都有x2-x>0‎ B [全称量词命题的否定为存在量词命题,命题“∀x>0,都有x2-x≤‎0”‎的否定是∃x>0,使得x2-x>0.故选B.]‎ ‎2.已知p:A=∅,q:A∩B=∅,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ A [由已知A=∅⇒A∩B=∅,反之不成立,得p是q的充分不必要条件,所以选A.]‎ ‎3.“∃x∈R,x+|x|<‎0”‎的否定是(  )‎ A.∃x∈R,x+|x|≥0 B.∀x∈R,x+|x|≥0‎ C.∀x∈R,x+|x|<0 D.∃x∈R,x+|x|≤0‎ B [因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以“∃x∈R,x+|x|<‎0”‎的否定是“∀x∈R,x+|x|≥‎0”‎故选B.]‎ ‎4.命题“∃x∈R,x3-x2+1≤‎0”‎的否定是(  )‎ A.∃x∈R,x3-x2+1<0  ‎ B.∃x∈R,x3-x2+1≥0‎ C.∀x∈R,x3-x2+1>0 ‎ D.∀x∈R,x3-x2+1≤0‎ C [由存在量词命题的否定可得,所给命题的否定为“∀x∈R,x3-x2+1>‎0”‎.故选C.]‎ ‎5.“a=-‎1”‎是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的 (  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B [当a=-1时,函数y=ax2+2x-1=-x2+2x-1与x轴只有一个交点;但若函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点,则a=-1或a=0,所以“a=-‎1”‎是“函数y=ax2+2x-1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件.]‎ ‎6.一元二次方程ax2+4x+3=0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(  )‎ - 6 -‎ A.a<0 B.a>0 ‎ C.a<-1 D.a>1‎ C [方程有一个正根和一个负根时,根据根与系数的关系知<0,即a<0,a<-1可以推出a<0,但a<0不一定推出a<-1,故选C.]‎ ‎7.设a,b∈R,那么“>‎1”‎是“a>b>‎0”‎的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [由不等式的性质,a>b>0,可推出>1,而当>1,时,例如取a=-2,b=-1,显然不能推出a>b>0.故>1是a>b>0的必要不充分条件.故选B.]‎ ‎8.满足“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是(  )‎ A    B    C    D C [由题图A,闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,不一定非要闭合开关K1,因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充分不必要条件.由题图B,闭合开关K1而不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,若要使灯泡R亮,则开关K1必须闭合.因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的必要不充分条件.由题图C,闭合开关K1可使灯泡R亮;反之,若要使灯泡R亮,开关K1一定是闭合的.因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的充要条件.由题图D,闭合开关K1但不闭合开关K2,灯泡R不亮;反之,灯泡R亮也可不闭合开关K1,只要闭合开关K2即可.因此“闭合开关K‎1”‎是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件.]‎ 二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)‎ ‎9.a2>b2的一个充分条件是(  )‎ A.a>|b| B.a<b C.a=b D.a0且p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .(本题第一空2分,第二空3分)‎ ‎ (2,3)  [由|x-‎2a|0,得-ab”是“a2>b‎2”‎的充分条件;‎ ‎③“a<5”是“a<3”的必要条件;‎ ‎④“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.‎ 其中真命题的序号为 .‎ ‎③④ [对于①,因为“a=b”时ac=bc成立,ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故①错;对于②,a=-1,b=-2, a>b时,a2b2时,ab”是“a2>b‎2”‎的既不充分也不必要条件,故②错;对于③,因为“a<‎3 ”‎时一定有“a<5”成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,③正确;对于④“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,④正确,故答案为③④.]‎ 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并写出它们的否定:‎ ‎(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立;‎ ‎(2)p:∃x∈R,x2+2x+5>0.‎ ‎[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称量词命题;‎ 又由于“任意”的否定为“存在一个”,‎ 因此,p:存在一个x∈R,使x2+x+1≠0成立,‎ 即“∃x∈R,使x2+x+1≠0成立”.‎ ‎(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x,即命题中含有存在量词“存在一个”,因而是存在量词命题;‎ 又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,‎ 因此,p:对任意一个x∈R,都有x2+2x+5≤0,即“∀x∈R,x2+2x+5≤‎0”‎.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知命题p:x∈[1,3],命题q:x∈{x|a≤x≤a+1},若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ ‎[解] 根据题意,p是q的必要不充分条件,‎ ‎{x|a≤x≤a+1}⊆[1,3],则a≥1且a+1≤3,得1≤a≤2.‎ 当a=1时,{x|a≤x≤a+1}[1,3],满足题意;‎ - 6 -‎ 当a=2时,{x|a≤x≤a+1}[1,3],满足题意.‎ 所以,实数a的取值范围是1≤a≤2.‎ ‎19.(本小题满分12分)写出下列命题的否定,并判断真假.‎ ‎(1)p:正数的对数都是正数;‎ ‎(2)p:存在x∈R,x2-x+1≤0;‎ ‎(3)p:所有的一次函数都是单调函数;‎ ‎(4)p:有的三角形是等边三角形;‎ ‎(5)p:任意x∈Z,x2的个位数字不等于3;‎ ‎(6)p:有一个素数含三个正因数.‎ ‎[解] (1) p:存在一个正数,它的对数不是正数.真命题.‎ ‎(2) p:任意x∈R,x2-x+1>0.真命题.‎ ‎(3) p:有些一次函数不是单调函数.假命题.‎ ‎(4) p:所有的三角形都不是等边三角形.假命题.‎ ‎(5) p:存在x0∈Z,使x的个位数字等于3.假命题.‎ ‎(6) p:所有的素数都不含三个正因数.真命题.‎ ‎20.(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件.‎ ‎(1)条件p:a,b∈R,a+b>0,结论q:ab>0;‎ ‎(2)条件p:AB,结论q:A∪B=B.‎ ‎[解] (1)因为a,b∈R,a+b>0,‎ 所以a,b至少有一个大于0,所以pq.‎ 反之,若ab>0,可推出a,b同号.‎ 但推不出a+b>0,即qp.‎ 综上所述,p既不是q的充分条件,也不是必要条件.‎ ‎(2)因为AB⇒A∪B=B,所以p⇒q.‎ 而当A∪B=B时,A⊆B,即qp,‎ 所以p为q的充分不必要条件.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<‎3a}且B≠∅.‎ ‎(1)若x∈A是x∈B的充分条件,求a的取值范围;‎ ‎(2)若A∩B=∅,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件,‎ ‎∴A⊆B.‎ ‎∴ 解得a的取值范围为≤a≤2.‎ - 6 -‎ ‎(2)由B={x|a<x<‎3a}且B≠∅,‎ ‎∴a>0.‎ 若A∩B=∅,∴a≥4或‎3a≤2,‎ 所以a的取值范围为0<a≤或a≥4.‎ ‎22.(本小题满分12分)已知x,y都是非零实数,且x>y,求证:<的充要条件是xy>0.‎ ‎[证明] 法一:充分性:由xy>0及x>y,得>,‎ 即<.‎ 必要性:由<,得-<0,即<0.‎ 因为x>y,所以y-x<0,所以xy>0.‎ 所以<的充要条件是xy>0.‎ 法二:<⇔-<0⇔<0.‎ 由条件x>y⇔y-x<0,故由<0⇔xy>0.‎ 所以<⇔xy>0,‎ 即<的充要条件是xy>0.‎ - 6 -‎
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