【数学】2020届一轮复习人教A版随机事件的概率作业

【数学】2020届一轮复习人教A版随机事件的概率作业

‎53　随机事件的概率 ‎1.若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P a‎2‎ a‎2‎‎2‎ 则X的数学期望E(X)等于 (　　)‎ A.2 　　　 B.2或‎1‎‎2‎　　　 C.‎1‎‎2‎　　　 D.1‎ ‎【解析】 选C.由题意，a‎2‎+a‎2‎‎2‎=1，a>0，所以a=1，所以E(X)=0×‎1‎‎2‎+1×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎.‎ ‎2.已知X的分布列为 X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎3‎ ‎1‎‎6‎ 则在下列式子中①E(X)=-‎1‎‎3‎；②D(X)=‎23‎‎27‎；③P(X=0)=‎1‎‎3‎，正确的个数是 (　　 )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解析】选C.由E(X)=(-1)×‎1‎‎2‎+0×‎1‎‎3‎+1×‎1‎‎6‎=-‎1‎‎3‎，知①正确；由D(X)=‎-1+‎‎1‎‎3‎‎2‎×‎1‎‎2‎+‎0+‎‎1‎‎3‎‎2‎×‎1‎‎3‎+‎1+‎‎1‎‎3‎‎2‎×‎1‎‎6‎=‎5‎‎9‎，知②不正确；由分布列知③正确.‎ ‎3.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ P ‎0.20‎ ‎0.35‎ ‎0.30‎ ‎0.15‎ 若购进这种鲜花500束，则利润的均值为 (　　)‎ A.706元 B.690元 C.754元 D.720元 ‎【解析】选A.由分布列可以得到 E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340，所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706元.‎ ‎4.已知X是离散型随机变量，P(X=1)=‎1‎‎4‎，P(X=a)=‎3‎‎4‎，E(X)=‎7‎‎4‎，则D(2X-1)‎ ‎= (　　)‎ A.‎2‎‎5‎ B.‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎5‎‎6‎ ‎【解析】选B.因为X是离散型随机变量，‎ P(X=1)=‎1‎‎4‎，P(X=a)=‎3‎‎4‎，E(X)=‎7‎‎4‎，‎ 所以由已知得1×‎1‎‎4‎+a×‎3‎‎4‎=‎7‎‎4‎，解得a=2，‎ 所以D(X)=1-‎7‎‎4‎2×‎1‎‎4‎+2-‎7‎‎4‎2×‎3‎‎4‎=‎3‎‎16‎，所以D(2X-1)=22D(X)=4×‎3‎‎16‎=‎3‎‎4‎.‎ ‎5.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)‎ A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8‎ 答案B 解析因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.‎ ‎6.下列命题:‎ ‎①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案A 解析根据对立事件与互斥事件的关系,得①正确;‎ ‎②不正确,当A,B是互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B);‎ ‎③不正确,P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1;‎ ‎④不正确,例如:袋中有除颜色外,其余均相同的红、黄、黑、绿4个球,从袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球或黑球},显然事件A与B不是对立事件,‎ 但P(A)+P(B)=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=1.‎ ‎7.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为‎3‎‎7‎,乙夺得冠军的概率为‎1‎‎4‎,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　　. ‎ 答案‎19‎‎28‎ 解析因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为‎3‎‎7‎‎+‎1‎‎4‎=‎‎19‎‎28‎.‎ ‎8.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:‎ 获奖人数/‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人 概　率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ x y ‎0.2‎ z ‎(1)若获奖人数不超过2的概率为0.56,求x的值;‎ ‎(2)若获奖人数最多为4的概率为0.96,最少为3的概率为0.44,求y,z的值.‎ 解记“在竞赛中,有k人获奖”为事件Ak(k∈N,k≤5),则事件Ak彼此互斥.‎ ‎(1)∵获奖人数不超过2的概率为0.56,‎ ‎∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.‎ 解得x=0.3.‎ ‎(2)由获奖人数最多为4的概率为0.96,‎ 得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.‎ 由获奖人数最少为3的概率为0.44,‎ 得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,‎ 即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2.‎ ‎9.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:‎ ‎(1)P(A),P(B),P(C);‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率;‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.‎ 解(1)由题意可知P(A)=‎1‎‎1000‎,‎ P(B)=‎10‎‎1000‎‎=‎‎1‎‎100‎,‎ P(C)=‎50‎‎1000‎‎=‎‎1‎‎20‎.‎ 故事件A,B,C的概率分别为‎1‎‎1000‎‎,‎1‎‎100‎,‎‎1‎‎20‎.‎ ‎(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.‎ 设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.‎ ‎∵A,B,C两两互斥,‎ ‎∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎=‎1+10+50‎‎1000‎‎=‎‎61‎‎1000‎.‎ 故1张奖券的中奖概率为‎61‎‎1000‎.‎ ‎(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,‎ 故P(N)=1-P(A∪B)=1-‎1‎‎1000‎‎+‎‎1‎‎100‎‎=‎‎989‎‎1000‎,‎ 即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为‎989‎‎1000‎.‎ ‎10.有一个容量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:‎ ‎[11.5,15.5)　2;[15.5,19.5)　4;[19.5,23.5)　9;‎ ‎[23.5,27.5)　18;[27.5,31.5)　11;[31.5,35.5)　12;‎ ‎[35.5,39.5)　7;[39.5,43.5)　3.‎ 根据样本的频率分布估计数据在[31.5,43.5)的概率约是(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎ 答案B 解析根据所给的数据的分组及各组的频数得,满足题意的数据有12+7+3=22(个),‎ 总的数据有66个,则数据在[31.5,43.5)的频率为‎22‎‎66‎‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 由频率估计概率,得所求概率P=‎1‎‎3‎.‎ ‎11.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图:‎ ‎(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;‎ ‎(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.‎ 解(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为‎5+20‎‎100‎‎=‎‎1‎‎4‎,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为‎1‎‎4‎.‎ ‎(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是‎75‎‎145‎‎=‎‎15‎‎29‎.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为‎15‎‎29‎.‎ ‎12.袋中有除颜色外其他均相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是‎1‎‎3‎,得到黑球或黄球的概率是‎5‎‎12‎,得到黄球或绿球的概率也是‎5‎‎12‎,分别求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少.‎ 解(方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,‎ 则P(A)=‎1‎‎3‎,P(B∪C)=P(B)+P(C)=‎5‎‎12‎,‎ P(C∪D)=P(C)+P(D)=‎5‎‎12‎,‎ P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)‎ ‎=1-P(A)=1-‎1‎‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎,‎ 解得P(B)=‎1‎‎4‎,P(C)=‎1‎‎6‎,P(D)=‎1‎‎4‎,‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是‎1‎‎4‎‎,‎1‎‎6‎,‎‎1‎‎4‎.‎ ‎(方法二)设红球有n个,则n‎12‎‎=‎‎1‎‎3‎,即n=4,即红球有4个.‎ 又得到黑球或黄球的概率是‎5‎‎12‎,所以黑球和黄球共有5个.‎ 又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3个.‎ 又得到黄球或绿球的概率也是‎5‎‎12‎,所以黄球和绿球共有5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2个.所以黑球有12-4-3-2=3个.‎ 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是‎3‎‎12‎‎=‎1‎‎4‎,‎2‎‎12‎=‎1‎‎6‎,‎3‎‎12‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎13.(2018北京,文17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;‎ ‎(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)‎ 解(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为‎50‎‎2000‎=0.025.‎ ‎(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.‎ 没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).‎ 由古典概型概率公式得P(B)=‎1628‎‎2000‎=0.814.‎ ‎(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.‎ 三、高考预测 ‎14.‎ 某企业为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;‎ ‎(3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.‎ 解(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,‎ 所以a=0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知,50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,‎ 所以该企业的职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;‎ 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),记为B1,B2.‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为‎1‎‎10‎.‎