高考数学总复习课时规范练31二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文新人教A版

高考数学总复习课时规范练31二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文新人教A版

课时规范练 31 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 基础巩固组 1.(2017 河北武邑中学一模,文 3)设实数 x,y 满足不等式组 若 z=x+2y,则 z 的最大 值为( ) A.-1 B.4 C. D. 2.(2017 全国Ⅲ,文 5)设 x,y 满足约束条件 则 z=x-y 的取值范围是( ) A.[-3,0] B.[-3,2] C.[0,2] D.[0,3] 3.(2017 山东,文 3)已知 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值是( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 4.给出平面区域如图所示,其中 A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的 最优解有无穷多个,则 a 的值是( ) A. B. C.2 D. 〚导学号 24190756〛 5.(2017 福建泉州一模,文 5)已知实数 x,y 满足 则 z=ax+y(a>0)的最小值为( ) A.0 B.a C.2a+1 D.-1 6.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( ) A.(1- ,2) B.(0,2) C.( -1,2) D.(0,1+ ) 7.(2017 河南新乡二模,文 4)已知实数 x,y 满足 的最大值为( ) A.3 B. C.2 D. 8.若 x,y 满足约束条件 则 z=3x-4y 的最小值为 . 9 已知实数 x,y 满足条件 若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其最大值 为 . 10.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组 所表示的平面区域上一动点,则|OM| 的最小值是 . 11.(2017 山东潍坊二模,文 9 改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产 1 吨甲种肥料和生 产 1 吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产 1 吨甲种肥料产生的利润 2 万元,生产 1 吨乙种肥料产生的利润为 3 万元,现有 A 种原料 20 吨,B 种原料 36 吨,C 种原料 32 吨,在此基础上 安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元. 原料 肥料 A B C 甲 2 4 2 乙 4 4 8 综合提升组 12.设变量 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为-6,则实数 a 等于 ( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 13.已知 x,y 满足约束条件 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值 为( ) A. 或-1 B.2 或 C.2 或 1 D.2 或-1 14.(2017 福建龙岩一模,文 9)设不等式组 表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-2 上存在 M 内的点,则实数 k 的取值范围是( ) A.[1,3] B.(-∞,1]∪[3,+∞) C.[2,5] D.(-∞,2]∪[5,+∞) 15.设 x,y 满足约束条件 若 z= 的最小值为 ,则 a 的值为 .〚 导学号 24190757〛 创新应用组 16.(2017 山西晋中一模,文 10)若 x,y 满足约束条件 则 z= 的最小值为( ) A.-2 B.- C.- D. 17.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车 皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示: 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 1 0 现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元.分别用 x,y 表示 计划生产甲、乙两种肥料的车皮数. (1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润. 答案： 1.C 如图,作出不等式对应的平面区域,由 z=x+2y,得 y=- x+ z 平移直线 y=- x+ ,由图象可知当 直线经过点 A 时,直线的截距最大,此时 z 最大. 由 即 A ,此时 z 的最大值为 z= +2× . 2.B 画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 A(0,3)处取得 最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B. 3.D 可行域为如图所示阴影部分(包括边界). 把 z=x+2y 变形为 y=- x+ z,作直线 l0:y=- x 并向上平移,当直线过点 A 时,z 取最大值,易求点 A 的坐标为(-1,2), 所以 zmax=-1+2×2=3. 4.B 直线 y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线 y=-ax 平移到直线 AC 位置时取得最大值的最优解有 无穷多个. ∵kAC=- , ∴-a=- ,即 a= . 5.D 由约束条件 作出可行域如图. 化目标函数 z=ax+y(a>0)为 y=-ax+z, 由图可知,当直线 y=-ax+z 过点 A(0,-1)时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为-1. 6.A 由顶点 C 在第一象限,且与点 A,B 构成正三角形可求得点 C 的坐标为(1+ ,2).将目标函数化 为斜截式为 y=x+z,结合图形可知当 y=x+z 过点 C 时 z 取到最小值,此时 zmin=1- ,当 y=x+z 过点 B 时 z 取到最大值,此时 zmax=2,综合可知 z 的取值范围为(1- ,2). 7.D 作出不等式组对应的平面区域如图, 的几何意义是区域内的点到定点 D(-1,-2)的斜率, 由图象知 BD 的斜率最大,由 即 B(1,3),此时 BD 的斜率 k= ,故选 D. 8.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点 A(1,1)处取得 最小值 z=3×1-4×1=-1. 9.10 画出 x,y 满足的可行域如下图,可得直线 x=2 与直线-2x+y+c=0 的交点 A 使目标函数 z=3x+y 取得最小值 5,故由 解得 代入 3x+y=5 得 6+4-c=5,即 c=5. 由 得 B(3,1). 当过点 B(3,1)时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10. 10. 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示. 由图可知|OM|的最小值即为点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin= . 11.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为 x,y 吨, 则 x,y 满足的条件关系式为 再设生产甲乙两种肥料的利润之和为 z,则 z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图: 联立 解得 A(8,1), 作出直线 2x+3y=0,平移至点 A 时,目标函数 z=2x+3y 有最大值为 19. ∴当生产甲种肥料 8 吨,乙种肥料 1 吨时,利润最大,最大利润为 19 万元. 12.D 变量 x,y 满足约束条件 的可行域如图. 由目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为-6,可知目标函数过点 B, 由 解得 B(-6,0),-6=a|-6|,解得 a=-1,故选 D. 13.D (方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示, 可知 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2), 则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2, 要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要 zA=zB>zC 或 zA=zC>zB 或 zB=zC>zA, 解得 a=-1 或 a=2. (方法二)目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0∥AB 或 l0∥AC 时符合题 意,故 a=-1 或 a=2. 14.C 作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示. 由于 y=kx-2 为过点 A(0,-2),且斜率为 k 的直线 l, 由图知,当直线 l 过点 B(1,3)时,k 取最大值 =5, 当直线 l 过点 C(2,2)时,k 取最小值 =2,故实数 k 的取值范围是[2,5]. 15.1 ∵ =1+ ,而 表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,易知 a>0,故作 出可行域如图阴影部分, 由题意知 的最小值是 ,即 ⇒a=1. 16.C 由约束条件 作出可行域如图, z= 的几何意义为可行域内的一个动点与定点 P(-3,2)连线的斜率. 设过点 P 的圆的切线的斜率为 k,则切线方程为 y-2=k(x+3),即 kx-y+3k+2=0. 由 =2,解得 k=0 或 k=- , ∴z= 的最小值为- .故选 C. 17.解 (1)由已知,x,y 满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分: 图 1 图 2 (2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y. 考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为- ,随 z 变化的一族平行直线, 为直线在 y 轴 上的截距,当 取最大值时,z 的值最大.又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=2x+3y 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大. 解方程组 得点 M 的坐标为(20,24). 所以 zmax=2×20+3×24=112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元.