山东春季高考数学试题及详解答案

山东春季高考数学试题及详解答案

山东省2015年普通高校招生（春季）考试 数学试题 注意事项:‎ ‎１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ ‎２.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）‎ ‎1．若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3}，则 A ∩B等于（ ）‎ ‎（A）{1，2，3} （B）{1，3} （C） {1，2} （D）{2}‎ ‎2．|x－1|＜5的解集是（ ）‎ ‎（A）(－6，4) （B）（－4，6）‎ ‎（C） (－∞, －6)∪(4, ＋∞) （D）(－∞, －4 )∪（6，＋∞)‎ ‎3．函数y＝+的定义域为（ ）‎ ‎（A）{x| x≥－1且x≠0} （B）{x|x≥－1}‎ ‎（C）{x x＞－1且x≠0} （D）{x|x＞－1}‎ ‎4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎5．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于（ ）‎ ‎（A）-5 （B）5 （C）-9 （D）9‎ B O M A ‎6.如图所示，M是线段OB的中点，设向量＝，＝，则可以表示为（ ）‎ ‎（A） + （B） － + ‎ ‎（C） － （D）－ － ‎ ‎7．终边在y轴的正半轴上的角的集合是（ ）‎ ‎（A）{x|x＝＋2kp，kÎZ } （B）{x|x＝＋kp}‎ ‎（C）{x|x＝－＋2kp，kÎZ } （D）{x|x＝－＋kp，kÎZ }‎ ‎8．关于函数y＝－x2+2x，下列叙述错误的是（ ）‎ ‎（A）函数的最大值是1 （B）函数图象的对称轴是直线x=1‎ ‎（C）函数的单调递减区间是[－1，＋∞) （D）函数图象过点（2，0）‎ ‎9．某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ）‎ ‎（A）10 （B）20 （C）60 （D）100‎ ‎10．如图所示，直线l的方程是（ ）‎ ‎（A）x－y－＝0 （B）x－2y－＝0 ‎ ‎（C）x－3y－1＝0 （D）x－y－1＝0‎ ‎11．对于命题p，q，若p∧q为假命题”，且p∨q为真命题，则（ ）‎ ‎（A）p，q都是真命题 （B）p，q都是假命题 ‎ ‎（C）p，q一个是真命题一个是假命题 （D）无法判断 ‎12．已知函数f (x)是奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2＋2，则f (－1)的值是（ ）‎ ‎（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3‎ ‎13．已知点P（m，－2）在函数y＝log x的图象上，点A的坐标是（4，3），则︱︱的值是（ ）‎ ‎（A） （B）2 （C）6 （D）5 ‎14．关于x,y的方程x2+m y2＝1，给出下列命题：‎ ‎①当m＜0时，方程表示双曲线；②当m＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m＜1时，方程表示椭圆；④当m＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m＞1时，方程表示椭圆。‎ 其中，真命题的个数是（ ）‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）5‎ ‎15．(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）‎ ‎（A）0 （B）－1 （C）－32 （D）32‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ x ‎1‎ y O ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ y O ‎3‎ ‎3‎ x ‎1‎ y O ‎3‎ ‎3‎ x ‎1‎ y O ‎3‎ ‎3‎ ‎16．不等式组表示的区域（阴影部分）是（ ）‎ ‎17．甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎18．已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，则·等于（ ）‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）0‎ ‎19．已知a，b表示平面， m，n表示直线，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎（A）若m^a， m^n，则n// a （B）若 mÌa ， nÌb, a//b，则 m//n ‎（C）若a//b ，mÌa，则m//b （D）若mÌa ， nÌa，m//b，n//b ，则a//b ‎20．已知F1是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P在双曲线上，直线P F1与x轴垂直，且︱P F1︱＝a，则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共60分）‎ 二、填空题（本大题共5个题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡上相应题号的横线上）‎ ‎21.直棱柱的底面是边长为a的菱形，侧棱长为h，则直棱柱的侧面积是________．‎ ‎22．在△ABC中，∠A＝105°，∠C＝45°，AB＝2， BC等于________．‎ ‎23．计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是________．‎ ‎24．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆x2+m y2－6 m－7＝0的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于________． ‎ ‎25．集合M，N，S都 是非空集合，现规定如下运算：‎ M⊙N⊙S＝{x|xÎ(M∩N)∪(N∩S)∪(S∩M)，且xÏ M∩N∩S }．‎ 若集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d} ，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：‎ ‎（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b－a＝d－c＝f－e；（3）b＋a＜d＋c＜f＋e．‎ 计算A⊙B⊙C＝_____________________________________．‎ 三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出解答过程）‎ ‎26．（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名 ，求第一排应安排多少名演员。‎ x O y ‎1‎ ‎27. （本小题8分）已知函数y ＝2sin(2x+φ)，xÎR, 0＜φ＜，函数的部分图象如图所示，求 ‎（1）函数的最小正周期T及φ的值；‎ ‎（2）函数的单调递增区间。‎ ‎28．（本小题8分）已知函数f (x)＝a（a＞0且a≠1）在区间[－2，4]上的最大值是16，‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g (x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是R，求满足不等式log2(1－2t)≤1的实数t的取值范围．‎ ‎29．（本小题9分）如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥‎ 平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.‎ ‎（1）求SA与BC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求证：AB⊥SD．‎ B AA C D SSSS ‎30．（本小题9分）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是 ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若直线l经过点M（3，1），与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．‎ 答案 ‎1.【考查内容】集合的交集 ‎【答案】B ‎2.【考查内容】绝对值不等式的解法 ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎3.【考查内容】函数的定义域 ‎【答案】A ‎【解析】且得该函数的定义域是.‎ ‎4.【考查内容】充分、必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，“直线与圆相切” “圆心到直线的距离等于圆的半径”.‎ ‎5.【考查内容】等比数列的性质 ‎【答案】D ‎【解析】，.‎ ‎ 6. 【考查内容】向量的线性运算 ‎【答案】B ‎【解析】.‎ ‎7.【考查内容】终边相同的角的集合 ‎【答案】A ‎【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是 ‎8.【考查内容】二次函数的图象和性质 ‎【答案】C ‎【解析】，最大值是1，对称轴是直线，单调递减区间是，（2,0）在函数图象上.‎ ‎9.【考查内容】组合数的应用 ‎【答案】A ‎【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）‎ ‎10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 ‎【答案】D ‎【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率，直线l与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l：，即.‎ ‎ 11. 【考查内容】逻辑联结词 ‎【答案】C ‎【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题，由是真命题可知p,q至少有一个真命题，∴p,q一个是真命题一个是假命题 ‎12.【考查内容】奇函数的性质 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 ‎【答案】D ‎【解析】∵点在函数的图象上，∴，∴P点坐标为，.‎ ‎14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念 ‎【答案】B ‎【解析】当时，方程表示双曲线；当时，方程表示两条垂直于x轴的直线；当时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；当时，方程表示圆；当时，方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.‎ ‎15.【考查内容】二项式定理 ‎【答案】D ‎【解析】所有项的二项式系数之和为 ‎16【考查内容】不等式组表示的区域 ‎【答案】C ‎【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：，，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.‎ ‎17.【考查内容】古典概率 ‎【答案】D ‎【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为 ‎18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系 ‎【答案】C ‎【解析】A. 若，，则或n在内；B. 若，，，则或m与n异面；D. 若，，，，且m、n相交才能判定；根据两平面平行的性质可知C正确.‎ ‎20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 ‎【答案】A ‎【解析】的坐标为，设P点坐标为，，解得，由可得，则，该双曲线为等轴双曲线，离心率为.‎ ‎21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 ‎【答案】4ah ‎22.【考查内容】正弦定理 ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可知，,‎ ‎23.【考查内容】系统抽样 ‎【答案】42‎ ‎【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是 ‎24.【考查内容】椭圆的简单几何性质 ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即，，则短轴长为 ‎25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴；∵，∴；∴，；同理可得，∴.由①③可得.则，，..‎ ‎26. 【考查内容】等差数列的实际应用 ‎【解】由题意知各排人数构成等差数列，设第一排人数是，则公差，前5项和,因为，所以，解得.‎ 答：第一排应安排18名演员 ‎27.【考查内容】正弦型函数的图象和性质 ‎【解】（1）函数的最小正周期,因为函数的图象过点（0,1），所以，即，又因为，所以.‎ ‎ (2)因为函数的单调递增区间是.‎ 所以，解得，‎ 所以函数的单调递增区间是 ‎28.【考查内容】指数函数的单调性 ‎【解】（1）当时，函数在区间上是减函数，‎ 所以当时，函数取得最大值16，即，所以.‎ 当时，函数在区间上是增函数，‎ 所以当时，函数取得最大值16，即，所以.‎ ‎（2）因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式，即，解得，又因为或，所以.代入不等式得，即，解得，所以实数t的取值范围是.‎ ‎29.【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 ‎【解】（1）因为,所以即为SA与BC所成的角，在△SAD中，，‎ 又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.‎ ‎(2)因为平面平面ABCD，平面平面ABCD,在正方形ABCD中，,‎ 所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.‎ ‎30.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 ‎【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为，因为点Q到焦点F的距离是1，‎ 所以点Q到准线的距离是1，又因为点Q到y轴的距离是，所以，解得，‎ 所以抛物线方程是.‎ ‎（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与联立，可解得交点A、B的坐标分别为，易得，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l的斜率存在.‎ 设直线l的斜率为k，‎ 则方程为，整理得，‎ 设联立直线l与抛物线的方程得 ,‎ 消去y，并整理得，‎ 于是.‎ 由①式变形得，代入②式并整理得，‎ 于是，又因为，所以，即，‎ ‎，解得或.‎ 当时，直线l的方程是，不满足，舍去.‎ 当时，直线l的方程是，即，所以直线l的方程是. ‎