新课标中考数学分类专题复习试题：阅读型试题

新课标中考数学分类专题复习试题：阅读型试题

新课标中考数学分类专题复习试题：阅读型试题 近几年中考试题中，阅读理解型试题题型新颖，形式多样，知识覆盖面较大，它可以是总计课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法、思想，然后把握本质，理解实质的基础上作出回答 例1、（台州）我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。用现代式子表示即为：‎ ‎……①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）。‎ 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：‎ ‎……②（其中）。‎ ‎(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积。‎ ‎(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。‎ 分析：‎ 这是一道阅读理解题，它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式，第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力，第（2）题是考查学生是创新能力。‎ 练习 ‎1．（贵州市）阅读下面操作过程，回答后面问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A、C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（），小刚过AB、AC的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（）；‎ ‎（） （） （）‎ ‎（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：，；‎ ‎（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条，请在图（）的平行四边形中画出一种；‎ ‎（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？‎ ‎（4）经过平行四边形对称中心的任意直线，都可以把平行四边形分成满足条件的图形；‎ ‎2．（资阳市）阅读以下短文，然后解决下列问题：‎ 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个 .‎ ‎(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；‎ ‎(2) 如图8②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图8②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；‎ ‎(3) 若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图8③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.‎ ‎3．（玉林）阅读下列材料，并解决后面的问题．‎ ‎ 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．‎ ‎ 同理有，．‎ ‎ 所以………(*)‎ ‎ 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．‎ ‎ (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：‎ ‎ 第一步：由条件a、b、∠A ∠B；‎ ‎ 第二步：由条件 ∠A、∠B．∠C；‎ ‎ 第三步：由条件．c．‎ ‎(2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．‎ ‎4、（佛山）“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：‎ ‎（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．‎ ‎（2）分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．‎ ‎（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．‎ ‎5、（福州）已知：如图8，AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D。则△CDQ是等腰三角形。‎ 对上述命题证明如下：‎ 证明：连结OC ‎∵OA＝OC ‎∴∠A＝∠1‎ ‎∵CD切O于C点 ‎∴∠OCD＝90°‎ ‎∴∠1＋∠2＝90°‎ ‎∴∠A＋∠2＝90°‎ 在RtQPA中，QPA＝90°‎ ‎∴∠A＋∠Q＝90°‎ ‎∴∠2＝∠Q　　　‎ ‎∴DQ＝DC 即CDQ是等腰三角形。‎ 问题：对上述命题，当点P在BA的延长线上时，其他条件不变，如图9所示，结论“△CDQ是等腰三角形”还成立吗？若成立，误给予证明；若不成立，请说明理由。‎ 能力训练 ‎1、（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：‎ ‎1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…＝？‎ 观察下面三个特殊的等式:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝.‎ 读完这段材料，请你思考后回答：‎ ‎⑴.‎ ‎⑵.‎ ‎⑶.‎ ‎（只需写出结果，不必写中间的过程）‎ ‎2、（陕西）阅读：我们知道，在数轴上，x＝1表示一个点，而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象，它也是一条直线，如图①.‎ ‎ 观察图①可以得出：直线＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③。‎ P(1,3)‎ O x y ‎3‎ ‎7-2题图①‎ l x=1‎ y=2x+1‎ O x y ‎7－2题图②‎ l x=1‎ O x y ‎7－2题图③‎ l y=2x+1‎ 回答下列问题：‎ ‎(1)在直角坐标系（图④）中，用作图象的方法求出方程组的解；‎ ‎(2)用阴影表示，所围成的区域。‎ 答案：‎ 练习 ‎1．（1），；‎ ‎（2）无数，图略；‎ ‎2．(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.‎ ‎(2) 此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.‎ 易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，‎ ‎∴△ABC的“友好矩形”的面积相等. ‎ ‎(3) 此时共有3个友好矩形，‎ 如图的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小 . ‎ 证明如下：‎ 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1，L2，L3，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则 L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c .‎ ‎∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)，‎ 而 ab>S，a>b，‎ ‎∴ L1- L2>0，即L1> L2 .‎ 同理可得，L2> L3 .‎ ‎∴ L3最小，即矩形ABHK的周长最小. ‎ ‎3．解：(1) , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C，‎ 或 ‎(2)依题意，可求得∠ABC=65°，‎ ‎∠A=40°,BC=14．2,AB≈21．3．‎ ‎ 答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分)‎ ‎4、解：（1）设直线OM的函数关系式为． ‎ 则∴． ‎ ‎∴直线OM的函数关系式为． ‎ ‎（2）∵的坐标满足，∴点在直线OM上．‎ ‎∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．‎ ‎∴∠SQR=∠SRQ． ‎ ‎∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO． ‎ ‎∵∠PSQ是△SQR的一个外角，‎ ‎∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR． ‎ ‎∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR． ‎ ‎∴∠POS=2∠SOB． ‎ ‎∴∠SOB=∠AOB． ‎ ‎（3）以下方法只要回答一种即可．‎ 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．‎ 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．‎ 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角． ‎ ‎5、答：结论“△CDQ是等腰三角形”还成立 证明：略 能力训练：‎ ‎1、⑴343400(或 ‎⑵‎ ‎⑶‎ ‎2. 解：（1）如图所示，‎ 在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，‎ 这两条直线的交点是P（－2，6）。‎ x y O y=－2x+2‎ x=－2‎ P l 则是方程组的解。‎ （1） 如阴影所示。‎