2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第四节　二次函数与幂函数

2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第四节　二次函数与幂函数

www.ks5u.com 第四节　二次函数与幂函数 最新考纲 考情分析 ‎1.了解幂函数的概念．‎ ‎2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．‎ ‎3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．‎ ‎4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.‎ ‎1.幂函数一般不单独命题，而常与指数函数，对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，主要考查幂函数的图象和性质．‎ ‎2．对二次函数相关性质的考查是命题热点，大多以选择题、填空题出现．‎ ‎3．试题难度以中、低档题为主，个别试题难度较大.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　　　二次函数的图象和性质 ‎1.二次函数解析式的三种形式：‎ ‎(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；‎ ‎(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎2．一元二次不等式恒成立的条件：‎ ‎(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<‎0”‎；‎ ‎(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<‎0”‎．‎ 知识点二　　　　　　幂函数 ‎1．定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎2．常见的五种幂函数的图象和性质比较 ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝是幂函数．(　×　)‎ ‎(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　√　)‎ ‎(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　×　)‎ ‎(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　×　)‎ 解析：(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝不是幂函数，(1)错．‎ ‎(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错．‎ ‎(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错．‎ ‎2．小题热身 ‎(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　C　)‎ A.　　　　B．‎1 C.　　　　D．2‎ 解析：因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.‎ ‎(2)(2020·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是(　A　)‎ A．f(x)＝x2－2x＋1 B．f(x)＝x2－1‎ C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1‎ 解析：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝≠0.只有选项A中，f(x)＝x2－2x＋1关于x＝1对称．‎ ‎(3)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是(－∞，－8]∪[16，＋∞)．‎ 解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝，所以要使f(x)在[－1,2]上是单调函数，则有≤－1或≥2，即k≤－8或k≥16.‎ ‎(4)幂函数f(x)＝(m2－‎4m＋4)·xm2－‎6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为1.‎ 解析：由题意知解得m＝1.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　幂函数的图象与性质 ‎【例1】　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ ‎(2)若，则下列正确的是(　　)‎ A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a ‎(3)已知幂函数f(x)＝ (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．‎ ‎【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，‎ 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，‎ 所以2＝4α，解得α＝.‎ 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，‎ 当01}，则函数y＝f(－x)的图象可以为(　　)‎ ‎(2)若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a 的取值范围是________．‎ ‎【解析】　(1)由f(x)<0的解集为{x|x<－3或x>1}知a<0，y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－3,0)，(1,0)，所以y＝f(－x)的图象开口向下，且与x轴的交点为(3,0)，(－1，0)．故选B.‎ ‎(2)y＝x2－|x|＋a是偶函数，图象如图所示．由图可知，若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，需满足a－<10时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝‎8a＋1＝4，解得a＝；‎ ‎③当a<0时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，最大值为f(1)＝‎3a＋1＝4，解得a＝1，不符合题意，舍去．‎ 综上可知，a的值为.‎ ‎【答案】　(1)D　(2) 命题方向3　　　　二次函数的恒成立问题 ‎【例5】　已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】　f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，‎ 即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，‎ 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，‎ 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.‎ 由－m－1>0，得m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎【答案】　(－∞，－1)‎ 方法技巧 ‎1.二次函数的图象问题,从开口方向、对称轴、三个“二次”间关系入手.‎ ‎2.二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型：‎ (1)定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系.‎ (2)定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系.‎ 注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，决不无原则地分类讨论.‎ ‎3.由不等式恒成立求参数的取值范围的两种思路 (1)数形结合法.ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[x1，x2)恒成立其中f(x)＝ax2＋bx＋c.‎ (2)分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ ‎1．(方向1)(2020·辽宁联考)函数y＝1－|x－x2|的图象大致是(　C　)‎ 解析：由题意知，当x＝－1时，y＝1－|－1－1|＝－1，所以舍去A，D，当x＝2时，y＝1－|2－4|＝－1，所以舍去B，故选C.‎ ‎2．(方向2)若二次函数y＝kx2－4x ‎＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为(　A　)‎ A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(－∞，2)‎ 解析：二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2.当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎3．(方向2)(2020·四川绵阳模拟)已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为(　B　)‎ A．[0,1] B．[1,2]‎ C．(1,2] D．(1,2)‎ 解析：如图，作出函数y＝x2－2x＋3的图象，由图象可知m的取值范围是[1,2]．故选B.‎ ‎4．(方向3)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为.‎ 解析：2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3<0，成立；‎ 当x≠0时，a<2－，‎ 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 当x＝1时，右边取最小值，所以a<.‎ 综上，实数a的取值范围是.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一元二次方程根的分布 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的实根分布 ‎【典例】　已知方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0.‎ ‎(1)当该方程有两个负根时，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数a的取值范围．‎ ‎【解】　由题意知，Δ＝4(a＋2)2－4(a2－1)＝‎16a＋20.‎ ‎(1)∵方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0有两个负根，‎ ‎∴ 解得 即a>1或－≤a<－1.‎ ‎∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)∵方程x2＋2(a＋2)x＋a2－1＝0有一个正根和一个负根，‎ ‎∴f(0)＝a2－1<0，解得－1

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