高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（上海卷
2006 年普通高等学校招生全国统一考试
上海卷 数学（文史类）
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空
填对得 4 分，否则一律得零分。
1、已知 ，集合 ，若 ,则实数 。
2、已知两条直线 若 ，则 ____.
3、若函数 的反函数的图像过点 ，则 。
4、计算： 。
5、若复数 满足 （ 为虚数单位），其中 则 。
6、函数 的最小正周期是_________。
7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,且焦距与虚轴长之比为 ，
则双曲线的标准方程是____________________.
8、方程 的解是_______.
9、已知实数 满足 ，则 的最大值是_________.
10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通
安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。
11、若曲线 与直线 没有公共点，则 的取值范围是_________.
12、如图，平面中两条直线 和 相交于点 ，对
于平面上任意一点 ,若 分别是 到直线
和 的距离，则称有序非负实数对 是点
的“ 距离坐标”，根据上述定义，“ 距离坐标”
是（1 ，2 ）的点的个数是____________.
{ 1,3, }A m= − {3,4}B = B A⊆ ___m =
1 2: 3 3 0, : 4 6 1 0.l ax y l x y+ − = + − = 1 2//l l a =
( ) ( 0, 1)xf x a a a= > ≠且 (2, 1)− ___a =
2
3
( 1) ______6 1limn
n n
n→∞
+ =+
z ( 2) ( 1)z m m i= − + + i m R∈ ____z =
sin cosy x x=
(3,0) 5: 4
2
3 3log ( 10) 1 logx x− = +
,x y
3 0
2 5 0
0
0
x y
x y
x
y
+ − ≥
+ − ≤ ≥
≥
2y x−
2 1xy = + y b= b
1l 2l O
M ,p q M 1l
2l ( ),p q M
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D
的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的
圆括号内，选对得 4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆
括号内），一律得零分。
13、如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
14、如果 ，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共
点”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面
对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交
线面对”的个数是
（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步
骤。
17、（本题满分 12 分）
已知 是第一象限的角，且 ，求 的值。
ABCD
AB DC= AD AB AC+ =
AB AD BD− = 0AD CB+ =
0, 0a b< >
1 1
a b
< a b− <
2 2a b< | | | |a b>
α 5cos 13
α = ( )
sin 4
cos 2 4
πα
α π
+
+
18、（本题满分 12 分）如图，当甲船位于 A 处时获悉，在其正东方方向相距 20 海里
的 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南
偏西 ，相距 10 海里 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往
处救援（角度精确到 ）？
19、（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。
在直三棱柱 中， .
（1）求异面直线 与 所成的角的大小；
（2）若 与平面 S 所成角为 ，求三棱锥 的体积。
B
30 C B
1
ABC ABC− 90 , 1ABC AB BC∠ = = =
1 1B C AC
1AC ABC 45
1A ABC−
20、（本题满分 14）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分。
设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ， 。
（1）求数列 的通项公式
（2）设数列 的前 项和为 ,对数列 ，从第几项起 ？
21、本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6
分。
已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为 ,设点 .
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的
轨迹方程；
（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。
{ }na n nS n 4096n na S+ =
{ }na
2{log }na n nT { }nT 509nT < −
xOy
( 3,0)F − (2,0)D 11, 2A
P PA M
O ,B C ABC∆
22（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，
第 3 小题满分 6 分。
已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减
函数，在 上是增函数。
（1）如果函数 在 上是减函数，在 上是增函数，求 的
值。
（2）设常数 ，求函数 的最大值和最小值；
（3）当 是正整数时，研究函数 的单调性，并说明理由。
上海数学(文史类)参考答案
一、(第 1 题至笫 12 题)
1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.
8. 5 9. 0 10. 11.－1
(0, a
),a +∞
2 ( 0)
b
y x xx
= + > ( ]0,4 [ )4,+∞ b
[ ]1,4c∈ ( ) (1 2)cf x x xx
= + ≤ ≤
n ( ) ( 0)n
n
cg x x cx
= + >
2
1
6
1 1169
22
=− yx
33
14
{ 1,3, }A m= − {3,4}B = B A⊆ 4m =
1 2: 3 3 0, : 4 6 1 0.l ax y l x y+ − = + − = 1 2//l l 2
3 3
a− = − a =
)(xf xa a a
12 a−= a 2
1
2
3
( 1)
6 1limn
n n
n→∞
+ =+
2
3
11 1lim 1 66n
n
n
→∞
+
=
+
z ( 2) ( 1)z m m i= − + + i m R∈
3z =
6、函数 = sin2x，它的最小正周期是 π。
7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为 ,则焦点在 x 轴上，且 a=3，焦距与虚轴长
之比为 ，即 ，解得 ，则双曲线的标准方程是 .
8、方程 的解满足 ，解得 x=5.
9、已知实数 满足 ，在坐标系中画出可行域，得
三个交点为 A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则 的最大值是 0.
10、在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学，从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志
愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 .
11、曲线 得|y|>1，∴ y>1 或 y<－1，曲线与直线 没有公共点，则 的取值范
围是[－1，1].
12、如图，平面中两条直线 和 相交于点 ，对于平面
上任意一点 ,若 分别是 到直线 和 的距离，则
称有序非负实数对 是点 的“距离坐标”，根据上述
定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成
的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是 4
个.
二、选择题：
13. C 14. A 15. A 16. D
13 ． 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 根 据 向 量 的 减 法 法 则 知
，所以下列结论中错误的是 C．
14、如果 ，那么 ，∴ ，选 A.
15、若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这
两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面
直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选 A.
sin cosy x x=
2
1
(3,0)
5: 4 : 5: 4c b = 5, 4c b= =
2 2
19 16
x y− =
2
3 3log ( 10) 1 logx x− = +
2
2
10 0
10 3
x
x x
− >
− =
,x y
3 0
2 5 0
0
0
x y
x y
x
y
+ − ≥
+ − ≤ ≥
≥
2y x−
2
8
2
12
CP C
= =
33
14
2 1xy = + y b= b
1l 2l O
M ,p q M 1l 2l
( ),p q M
AB AD DB− =
0, 0a b< > 1 10, 0a b
< > 1 1
a b
<
A B
CD
16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正
方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：①
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 2×12=24 个；②
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 12
个；所以正方体中“正交线面对”共有 36 个．选 D.
三、(第 17 题至笫 22 题)
17.解： =
由已知可得 sin ,
∴原式= .
18.解：连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10 .
∵ , ∴sin∠ACB= ,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援.
19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB 为异面直线 B1C1 与 AC 所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°.
(2) ∵AA1⊥平面 ABC,
∠ACA1 是 A1C 与平面 ABC 所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= ,
∴AA1= .
∴三棱锥 A1-ABC 的体积 V= S△ABC×AA1= .
20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当 n≥2 时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴ = an=2048( )n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048( )n－1]=12－n,
)42cos(
)4sin(
πα
πα
+
+
αααα
αα
α
αα
sincos
1
2
2
sincos
)sin(cos2
2
2cos
)sin(cos2
2
22 −⋅=−
+
=
+
13
12=α
14
213
13
12
13
5
1
2
2 −=
−
×
7
710
120sin
20
sin °=ACB
7
3
2
2
3
1
2
6
1−n
n
a
a
2
1
2
1
2
1
∴Tn= (－n2+23n).
由 Tn<－509,解待 n> ,而 n 是正整数,于是,n≥46.
∴从第 46 项起 Tn<－509.
21.解(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= ,则半短轴 b=1.
又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),
x= x0=2x－1
由
y=
得
y0=2y－
由,点 P 在椭圆上,得 ,
∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 .
(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1.
当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 ,
解得 B( , ),C(－ ,－ ),
则 ,又点 A 到直线 BC 的距离 d= ,
∴△ABC 的面积 S△ABC=
于是 S△ABC=
由 ≥－1,得 S△ABC≤ ,其中,当 k=－ 时,等号成立.
∴S△ABC 的最大值是 .
2
1
2
460123 +
3
14
2
2
=+ yx
2
10 +x
2
2
1
0 +y
2
1
1)2
12(4
)12( 2
2
=−+−
yx
1)4
1(4)2
1( 22 =−+− yx
14
2
2
=+ yx
14
2
2 +k 14
2
2 +k
k
14
2
2 +k 14
2
2 +k
k
2
2
41
14
k
kBC +
+=
21
2
1
k
k
+
−
241
12
2
1
k
kdAB +
−=⋅
14
4114
144
22
2
+−=+
+−
k
k
k
kk
14
4
2 +k
k 2 2
1
2
22.解(1) 由已知得 =4, ∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2],
于是,当 x= 时, 函数 f(x)=x+ 取得最小值 2 .
f(1)－f(2)= ,
当 1≤c≤2 时, 函数 f(x)的最大值是 f(2)=2+ ；
当 2≤c≤4 时, 函数 f(x)的最大值是 f(1)=1+c.
(3)设 0g(x1), 函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数；
当 0g(x1), 函数 g(x)在(0, ]上是减函数.
当 n 是奇数时,g(x)是奇函数,
函数 g(x) 在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数.
当 n 是偶数时, g(x)是偶函数,
函数 g(x)在(－∞,－ )上是减函数, 在[－ ,0]上是增函数.
b2
c
c x
c c
2
2−c
2
c
)1)((
21
12
1
1
2
2 nn
nn
n
n
n
n
xx
cxxx
cxx
cx −−=−−+
n c2 n c2
n c2 n c2
n a2 n a2
n a2 n a2
