对一道中考数学压轴题的探究及推广

对一道中考数学压轴题的探究及推广

对一道中考数学压轴题的探究和推广 ‎【摘 要】:广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心,着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容,体现了中考数学压轴题的选拔功能.笔者对2016年广州市中考数学压轴题进行多解分析与加强推广,以期解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.‎ ‎【关键词】: 中考数学 压轴题 探究推广 广州市2016中考数学压轴题以等腰直角三角形及其外接圆上一动点为载体,以探究其中三条线段平方之间的等量关系为核心,着重考查了与圆相关的几何知识、构造三角形全等、旋转和勾股定理等初中数学的重点与难点内容.要求考生具备良好的空间想像能力和较强的逻辑推理能力才能圆满解答,较好地体现了中考数学压轴题的选拔功能.故此,笔者以下特分享对2016年广州市中考数学压轴题的多解分析与加强推广,以期更好地解剖和领悟中考压轴题的评价功能和考查重点,促进在新课改背景下的探究性学习和研究性学习的开展.‎ 一、相关试题的描述 图1‎ 试题:如图,点为外接圆上的一动点(点不在上,且不与点,重合),.‎ (1) 求证:是该外接圆的直径;‎ (2) 连接,求证:;‎ (3) 若关于直线的对称图形为,连接,试探究,,三者之间满足的等量关系,并证明你的结论. ‎ 二、相关试题的剖析 ‎（一）.第一问的证明方法 证明:因为,所以,又, 所以,则在中,,所以是外接圆的直径.‎ ‎【评析】:第一问考查了圆的相关知识,特别是学生比较熟悉的“的圆周角所对弦是直径”的性质定理,让大部分考生能心平气和地顺利解决,‎ 为下面更好地展开第二问和第三问做了良好的铺垫,体现了试题由浅入深,逐步递进的命题特色,符合学生认知发展的规律.‎ 图2‎ ‎（二）第二问的几种证法 证法1:(将绕点顺时针旋转)‎ 如图2,因为,所以,,将绕点顺时针旋转得到,所以, ,,,又四边形的顶点在同一圆上,所以,则,即,,在同一直线上,则中,,即,所以,又,所以.‎ 证法2:(延长并构造与全等的三角形)‎ 图3‎ 如图2,延长线段到点,并截取,连接,因为,所以,又四边形的顶点在同一圆上,所以,又,所以,则≌,所以,又,则,即,则在中,,即,所以,又,所以.‎ 证法3:(分别过,作的垂线段,构造等腰直角三角形) ‎ 如图3,作,垂足为点,因为,所以,则,因为在中,, 即,所以;作,垂足为点,因为,所以,则,所以,因为在中,,即,所以;又,即,又,所以,又 ‎,所以≌,则,所以,则 ,即,所以.‎ ‎【评析】:第二问的证法1与证法2分别通过三角形旋转和构造全等三角形,将线段与拼接在同一直线上,再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系得到所求证的结论;而证法3则是过,作线段的垂线段,将线段拆分成和两部分,再利用等腰直角三角形直角边与斜边的关系和全等三角形的转换得到所求证的结论.显然相对于第一问,第二问在思维层次上做了一个适当的提升,对部分中等偏下的考生设置了障碍.事实上,无论是用“拼接”还是“拆分”的方法,都要求考生具备一定的几何构造能力和比较扎实的数学基础才能圆满解答,逐步体现中考数学压轴题的选拔性特点.‎ ‎（三）.第三问的探究结论是,以下分享四种相关证法 证法1:(延长交外接圆于点,构造)‎ 图4‎ 如图4,延长交外接圆于点,连接,,因为,所以,又与关于直线对称,所以,则,所以,,则在中,,即;又,所以,则,又,则,所以,又,所以,则,又,所以,因为是外接圆的直径,所以,则在中,,所以.‎ 证法2:(过点作的垂线交延长线于点,构造)‎ 图5‎ 如图5,过点作的垂线交延长线于点 ‎,连接,,因为,所以,又,则,所以,则在中,,即;又与关于直线对称,所以,,则,又, ,所以,即,又,所以≌,则,因为是外接圆的直径,所以,则在中,,即,所以.‎ 证法3:(将绕点顺时针旋转,构造)‎ 图6‎ 如图6,因为,,所以将绕点顺时针旋转得到,连接,,则,,,所以,则在中,,即;又与关于直线对称,所以,则,即,则在中,,所以.‎ 证法4:(作垂直且相等于,构造)‎ 图7‎ 如图7,作且,连接,,则是等腰直角三角形,所以,,又由(1)知也是等腰直角三角形,所以,,则,,所以,即,所以∽,则,,即;又 与关于直线对称,所以,则,即,又,所以,则,所以在中,,即,所以.‎ ‎【评析】:第三问的四种证法分别通过延长线段引出垂直、三角形旋转和作线段垂直且相等的方法来构造直角三角形,再将,,构造在同一直角三角形中,最后根据勾股定理解决问题.事实上,无论用哪种方法和思路,都要求考生具备较强的空间想像能力,跨知识点的运用、分析和逻辑推理能力和稳定的心理素质才能圆满解答,充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以学生发展为本的考试目标,为部分优等生提供了一个充分展现其数学思维和能力的平台,让真正优秀的学生脱颖而出,达到通过压轴题增加试卷区分度的目的.‎ 三、关于试题的拓展延伸 笔者在试题解答的过程中,发现还有两个重要问题值得进一步拓展延伸。一是作关于直线的轴对称图形,其中,,之间是否也有类似的结论?二是点在外接圆上运动的过程中,线段的长度也随之发生变化,则线段长度的最大值和最小值分别是多少?以下笔者将对这两个问题作出解答,以期更好地剖析试题的内涵,挖掘它的亮点.‎ 图8‎ 拓展延伸1:作关于直线的对称图形,连接,试探究,, 三者之间满足的等量关系,并证明探究的结论.‎ 解:,,满足的等量关系为:.理由如下:如图8,因为,,所以将绕点逆时针旋转得到,连接,,则,,,所以,则在中,,即;因为与关于直线对称,所以,又 ‎,则,所以,则,即,则在中,,所以.‎ 拓展延伸2:在(3)的条件下,设,试求点在外接圆上运动的过程中,线段长度的最大值和最小值？‎ 图9‎ 解:如图9,由(1)知是外接圆的直径,则作中点,即是外接圆圆心,连接,,因为,所以,又,所以,则,作关于直线的对称图形,连接,则,,又与关于直线对称,所以,,则,即,又,所以≌,则,即,所以点在以为圆心,为半径的圆上运动,连接,因为,即,所以,因为在中,,所以当,,共线时,取得最大值()为;当,,共线时,取得最小值()为.‎ 四、相关试题的推广 ‎“从特殊到一般,再从一般到特殊”是数学探究的常用方法.随着对这道中考压轴题研究的逐步深入,以下笔者把试题的问题和结论推广到一般情况.‎ 图10‎ 题设:如图10,在中,,,(),是的外接圆,点在 上运动,连接,,,作关于直线的对称图形,连接.‎ 推论1:当点不在上,且不与点,重合时,‎ ‎;‎ 推论2:当点不在劣弧上,且不与点,重合时,‎ ‎;‎ 推论3:点在上运动的过程中,‎ 的最大值为,的最小值为.‎ 以上对试题推广结论的证明,有兴趣的读者可以参照本文自行完成,这里不再赘述.‎ 通过对广州市2016中考数学压轴题的多解分析与加强推广,笔者发现此题可作为研究性教学的素材,对本题进行研究性教学时,学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点,研究试题的解法以优化解题策略和方法,研究试题的加强与推广以培养探究意识和创新精神.总之,初中数学的主要任务不仅是学知识,也要增强数学素质,优化思维结构,注意思想方法和能力的提升.‎ ‎【参考文献】: ‎ ‎[1]梁文威. 对2013年广东高考数列题的探究及推广[J]. 广东教育,2013,(9):36-37.‎ ‎[2]‎ ‎[3]唐潇妮 教育的真谛[J]. 广东教育,2016,(11):72.‎