上海市中考数学试题分类解析汇编专题10圆

上海市中考数学试题分类解析汇编专题10圆

‎2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编 专题10：圆 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1.（上海市2002年3分）如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是【 】‎ ‎（A）1条； （B）2条； （C）3条； （D）4条 ‎【答案】A，B，C。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆与圆的五种位置关系，圆与圆有公共点时，可能是内切，外切，相交；然后根据三种情况的公切线条数，分别判断：两圆内切时只有1条公切线，两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时有2条公切线，不可能有4条。故选A，B，C。‎ ‎2.（上海市2003年3分） 下列命题中正确的是【 】‎ ‎ （A）三点确定一个圆 （B）两个等圆不可能内切 ‎ ‎（C）一个三角形有且只有一个内切圆 （D）一个圆有且只有一个外切三角形 ‎ ‎【答案】B，C。‎ ‎【考点】确定圆的条件，圆与圆的位置关系，三角形的内切圆与内心。‎ ‎【分析】根据圆的相关知识分析每个选项，然后作出判断：‎ A、在同一直线上的三点不可以确定一个圆，故错误；‎ B、两个等圆内切，圆心距为零，故两个等圆不可能内切，正确；‎ C、一个三角形有且只有一个内切圆，正确；‎ D、一个外切圆有无数个外切三角形，故错误。‎ 故选B，C。‎ ‎3.（上海市2004年3分）下列命题中，不正确的是【 】‎ ‎ A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外；‎ ‎ B. 一条直线垂直于圆的半径，这条直线一定是圆的切线；‎ ‎ C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆有三条公切线；‎ ‎ D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，这条直线与圆有两个交点。‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】命题与定理，圆的性质。‎ ‎【分析】根据圆的有关性质即可作出判断：‎ ‎∵半径等于圆心到圆的距离，如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径，这个点在圆外，A正确；‎ 一条直线垂直于圆的半径，这条直线可能是圆的割线，B不正确；‎ 两个圆的圆心距等于它们的半径之和，这两个圆相切，有三条公切线，C正确；‎ ‎∵半径等于圆心到圆的距离，圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径，则这条直线一定经过园内，与圆有两个交点，D正确。‎ 故选B。‎ ‎4.（上海市2007年4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是【 】‎ A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】确定圆的条件。‎ ‎【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，从而可得到半径的长。故选B。‎ ‎5.（上海市2008年Ⅰ组4分）如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是【 】‎ A．4 B．‎8 ‎ C． D．‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】切线的性质，等边三角形和判定和性质。‎ ‎【分析】∵是圆的两条切线，∴。‎ ‎ 又∵，∴是等边三角形。‎ ‎ 又∵，∴。故选B。‎ ‎6.（上海市2010年4分）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 ‎ ‎ = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是【 】‎ A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆与圆的五种位置关系，分类讨论：当两圆外切时，切点A能满足AO1=3，当两圆相交时，交点A能满足AO1=3，当两圆内切时，切点A能满足AO1=3，所以，两圆相交或相切。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. （上海市2002年2分）两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理。‎ ‎【分析】连接过切点的半径OC，根据切线的性质定理和垂径定理得半弦AC是12，再根据勾股定理得小圆的半径OC是5。‎ ‎2.（上海市2003年2分）已知圆O的弦AB＝8，相应的弦心距OC＝3，那么圆O的半径等于 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】连接圆心和弦的一端，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形即可求出⊙O的半径：‎ 如图，连接OA。‎ ‎∵OC⊥AB，∴AC=BC=4。‎ 在Rt△OAC中，OC=3，AC=4，由勾股定理得：，‎ 即⊙O的半径为5。‎ ‎3.（上海市2003年2分）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 ▲ 。‎ ‎【答案】18＜r＜25或1＜r＜8。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】当⊙A和⊙C内切时，圆心距等于两圆半径之差，则r的取值范围是18＜r＜25；‎ 当⊙A和⊙C外切时，圆心距等于两圆半径之和，则r的取值范围是1＜r＜8。‎ 所以半径r的取值范围是18＜r＜25或1＜r＜8。‎ ‎4.（上海市2005年3分）如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是 ▲ ‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的性质：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。‎ ‎∵这两圆的位置关系是外切，∴这两个圆的圆心距d=2+3=5。‎ ‎5.（上海市2006年3分）已知圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P引圆O的切线，那么切线长是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】切线的性质，勾股定理。‎ ‎【分析】由圆切线的性质可知OA⊥PA，再根据勾股定理即可求得PA的长：‎ ‎ 如图，∵PA是⊙O的切线，连接OA，‎ ‎ ∴OA⊥PA，‎ ‎ ∵OP=2，OA=1，‎ ‎ ∴。‎ ‎6.（上海市2007年3分）如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于，那么 ‎ ▲ ．‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆的轴对称性，知同一个圆的两条外公切线长相等，可列方程求解：‎ ‎ ∵两个圆的外公切线长相等，∴，解得。‎ ‎7.（上海市2008年4分）在中，，（如图）．如果圆的半径为，且经过点，那么线段的长等于 ▲ ．‎ ‎【答案】3或5。‎ ‎【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质，弦径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】如图，过点作交于点，根据锐角三角函数，等腰三角形的性质和弦径定理，由，得。由勾股定理，得。‎ ‎ 在中，，∴由勾股定理，得。‎ ‎ 当点在上方，线段；‎ ‎ 当点在下方，线段。‎ ‎8.（上海市2009年4分）在圆中，弦的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径 ▲ ．‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】作出图象，先求出弦的一半的长，再利用勾股定理即可求出：‎ ‎ 作，垂足为，可得：=4，，‎ ‎ 根据勾股定理可得：。‎ ‎9.（上海市2011年4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC ‎，垂足分别为M、N，如果 MN＝3，那么BC＝ ▲ ．‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】垂径定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】由AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段MN为△ABC的中位线，根据中位线定理可知BC＝2MN＝6。‎ 三、解答题 ‎1.（上海市2002年10分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．‎ ‎　　（1）求证：MO＝NO；‎ ‎　　（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．‎ ‎【答案】证明：连结OC、OD。‎ ‎（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC。‎ ‎　　 ∵CD∥AB，∴∠OCD＝∠COM，∠ODC＝∠DON。‎ ‎∴∠COM＝∠DON。　‎ ‎∵CM、DN分别切半圆O于点C、D，∴∠OCM＝∠ODN＝90°。‎ ‎∴△OCM≌△ODN（ASA）。　∴OM＝ON。‎ ‎（2）由（1）△OCM≌△ODN可得∠M＝∠N。　‎ ‎∵∠M＝30°，∴∠N＝30°。‎ ‎　　 ∴OM＝2OC，ON＝2OD，∠COM＝∠DON＝60°。‎ ‎　　 ∴∠COD＝60°。　‎ ‎　　 ∴△COD是等边三角形，即CD＝OC＝OD。‎ ‎　　 ∴MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD。‎ ‎【考点】圆周角定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】（1）连接CO、DO，则有OC=OD，且OC⊥CM，OD⊥DN，易证△MCO≌△NDO，故MO=NO。‎ ‎（2）先证△OCD为等边三角形，CD=OC，Rt△MCO中，OC=OA，∠M=30°，故MA=AO=OC ‎，同理可得NB=OB=OC，故MN=4CD。‎ ‎2.（上海市2004年10分）在△ABC中，，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设，△AOC的面积为。‎ ‎ （1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎ （2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积。‎ ‎【答案】解：（1）∵在，∴。‎ ‎ ∵，∴，且边上的高为2。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴关于的函数解析式为。‎ ‎ （2）如图，过点A作AD⊥BC于点D，当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在中，。‎ ‎ ∵圆A的半径为1，圆O的半径为，‎ ‎ ∴①当圆A与圆O外切时，，解得：。‎ ‎ 此时△AOC的面积。‎ ‎ ②当圆A与圆O内切时，，解得。‎ ‎ 此时△AOC的面积。‎ ‎ ∴当圆A与圆O相切时，△AOC的面积为或。‎ ‎【考点】勾股定理，建立函数关系式，两圆相切的性质。‎ ‎【分析】（1）用表示出，即可建立关于的函数解析式。‎ ‎（2）根据两圆相切的性质，分两圆外切和内切即可。‎ ‎3.（上海市2006年10分）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取，，三根木柱，使得，之间的距离与，之间的距离相等，并测得长为米，到的距离为米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径。‎ ‎【答案】解：设圆心为点，连结，，交线段于点．‎ ‎　　　　∵，∴。∴，且。‎ ‎　　　　由题意，，设米，　‎ ‎　　　　在中，，即，‎ ‎　　　　∴。‎ ‎　　　　答：滴水湖的半径为米。‎ ‎【考点】弦径定理，勾股定理。‎ ‎【分析】由已知条件，根据弦径定理和勾股定理即可求出滴水湖的半径。‎ ‎4.（上海市2006年14分）已知点在线段上，点在线段延长线上．以点为圆心，为半径作圆，点是圆上的一点．‎ ‎（1）如图，如果，．求证：（4分）；‎ ‎（2）如果（是常数，且），，是，的比例中项．当点在圆上运动时，求的值（结果用含的式子表示）（7分）；‎ ‎（3）在（2）的条件下，讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系，并写出相应的取值范围（3分）。‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵，∴。∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ （2）设，则，。‎ ‎ ∵是，的比例中项，‎ ‎ ∴，得，即。 ∴。‎ ‎ ∵是，的比例中项，即，‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ 设圆与线段的延长线相交于点，当点与点，点不重合时，‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ∴ 即，‎ ‎ 当点与点或点重合时，可得。‎ ‎ ∴当点在圆上运动时，。‎ ‎ （3）由（2）得，，且，，圆和圆的圆心距。‎ ‎ 显然，∴圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含。‎ ‎ ①当圆与圆相交时，，得，‎ ‎ ∵，∴。‎ ‎ ②当圆与圆内切时，，得。‎ ‎ ③当圆与圆内含时，，得。‎ ‎【考点】圆的性质，相似三角形的判定和性质，比例中项的性质，两圆的位置关系。‎ ‎【分析】（1）由已知，可得且，根据三角形的判定定理得证。 ‎ ‎ （2）由是，的比例中项，可求出且，从而 ‎，从而。‎ ‎ （3）根据两圆的位置关系的判定，分别求出圆与圆相交、内切或内含的情况。‎ ‎5.（上海市2009年12分）在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示）．点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结．‎ ‎（1）求的值和点的坐标；‎ ‎（2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径．‎ ‎【答案】解：（1）∵点的坐标为，点与点关于原点对称，∴点（—1，0）。‎ ‎ ∵ 点在直线上，∴将点（—1，0），代入得到。‎ ‎ ∴直线：。‎ ‎ 将代入，得 。∴ 点（3，4）。‎ ‎ （2）∵点（3，4），∴。‎ ‎ ∵点在轴的正半轴上，是等腰三角形，‎ ‎ ∴是等腰三角形的情况有、和。‎ ‎ 情况1：，则点（5，0）。‎ ‎ 情况2： ，由点（3，4）得， 则点（6，0）。‎ ‎ 情况 3： ， 设，由 D（3，4）‎ ‎ 根据勾股定理得 ，解得 。‎ ‎ 则点。‎ ‎ 综上所述，若是等腰三角形，点的坐标为（5，0），（6，0），。‎ ‎ （3）设圆的半径为，‎ ‎ 情况1：时，由两点坐标得，。‎ ‎ ∵以为半径的圆与圆外切，∴圆心距。∴。‎ ‎ 情况2：时，由两点坐标得，。‎ ‎ ∵以为半径的圆与圆外切，∴圆心距。∴。‎ ‎ 情况3：时，不存在圆，使以为半径的圆与圆外切。‎ ‎【考点】关于原点对称的点的性质，直线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，两圆外切的性质。‎ ‎【分析】（1）由关于原点对称的点的性质求出点的坐标，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系求出的值和点的坐标。‎ ‎ （2）根据等腰三角形的性质，分、和三种情况讨论即可。‎ ‎ （3）根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和的性质，结合（2）的三种情况分别讨论即可。‎ ‎6.（上海市2011年10分）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．‎ ‎（1）求线段OD的长；‎ ‎（2）若，求弦MN的长． ‎ ‎【答案】解：（1）∵CD∥AB， ∴△OAB∽△OCD。∴。‎ 又∵OA=OB=3，AC=2，∴ ，∴OD=5。 ‎ ‎（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=MN，‎ ‎∵tan∠C= ，∴设OE=，则CE=2。‎ 在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=2+（2）2，解得= 。‎ 在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（ ）2+ME2，解得ME=2。‎ ‎∴MN=4。‎ ‎【考点】平行的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长。‎ ‎（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME= MN，再根据tan∠C= 可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，从而求出答案。‎