上海市中考数学试题分类解析汇编专题10圆

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上海市中考数学试题分类解析汇编专题10圆

‎2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编 专题10:圆 锦元数学工作室 编辑 一、 选择题 ‎1.(上海市2002年3分)如果两个半径不相等的圆有公共点,那么这两个圆的公切线可能是【 】‎ ‎(A)1条; (B)2条; (C)3条; (D)4条 ‎【答案】A,B,C。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆与圆的五种位置关系,圆与圆有公共点时,可能是内切,外切,相交;然后根据三种情况的公切线条数,分别判断:两圆内切时只有1条公切线,两圆外切时,有3条公切线,两圆相交时有2条公切线,不可能有4条。故选A,B,C。‎ ‎2.(上海市2003年3分) 下列命题中正确的是【 】‎ ‎ (A)三点确定一个圆 (B)两个等圆不可能内切 ‎ ‎(C)一个三角形有且只有一个内切圆 (D)一个圆有且只有一个外切三角形 ‎ ‎【答案】B,C。‎ ‎【考点】确定圆的条件,圆与圆的位置关系,三角形的内切圆与内心。‎ ‎【分析】根据圆的相关知识分析每个选项,然后作出判断:‎ A、在同一直线上的三点不可以确定一个圆,故错误;‎ B、两个等圆内切,圆心距为零,故两个等圆不可能内切,正确;‎ C、一个三角形有且只有一个内切圆,正确;‎ D、一个外切圆有无数个外切三角形,故错误。‎ 故选B,C。‎ ‎3.(上海市2004年3分)下列命题中,不正确的是【 】‎ ‎ A. 一个点到圆心的距离大于这个圆的半径,这个点在圆外;‎ ‎ B. 一条直线垂直于圆的半径,这条直线一定是圆的切线;‎ ‎ C. 两个圆的圆心距等于它们的半径之和,这两个圆有三条公切线;‎ ‎ D. 圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径,这条直线与圆有两个交点。‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】命题与定理,圆的性质。‎ ‎【分析】根据圆的有关性质即可作出判断:‎ ‎∵半径等于圆心到圆的距离,如果这个点圆心的距离大于这个圆的半径,这个点在圆外,A正确;‎ 一条直线垂直于圆的半径,这条直线可能是圆的割线,B不正确;‎ 两个圆的圆心距等于它们的半径之和,这两个圆相切,有三条公切线,C正确;‎ ‎∵半径等于圆心到圆的距离,圆心到一条直线的距离小于这个圆的半径,则这条直线一定经过园内,与圆有两个交点,D正确。‎ 故选B。‎ ‎4.(上海市2007年4分)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是【 】‎ A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】确定圆的条件。‎ ‎【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第②块可确定半径的大小。第②块出现一段完整的弧,可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线,就交于了圆心,从而可得到半径的长。故选B。‎ ‎5.(上海市2008年Ⅰ组4分)如图,从圆外一点引圆的两条切线,切点分别为.如果,,那么弦的长是【 】‎ A.4 B.‎8 ‎ C. D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】切线的性质,等边三角形和判定和性质。‎ ‎【分析】∵是圆的两条切线,∴。‎ ‎ 又∵,∴是等边三角形。‎ ‎ 又∵,∴。故选B。‎ ‎6.(上海市2010年4分)已知圆O1、圆O2的半径不相等,圆O1的半径长为3,若圆O2上的点A满足AO1 ‎ ‎ = 3,则圆O1与圆O2的位置关系是【 】‎ A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆与圆的五种位置关系,分类讨论:当两圆外切时,切点A能满足AO1=3,当两圆相交时,交点A能满足AO1=3,当两圆内切时,切点A能满足AO1=3,所以,两圆相交或相切。故选A。‎ 二、填空题 ‎1. (上海市2002年2分)两个以点O为圆心的同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,如果AB的长为24,大圆的半径OA为13,那么小圆的半径为 ▲ .‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理。‎ ‎【分析】连接过切点的半径OC,根据切线的性质定理和垂径定理得半弦AC是12,再根据勾股定理得小圆的半径OC是5。‎ ‎2.(上海市2003年2分)已知圆O的弦AB=8,相应的弦心距OC=3,那么圆O的半径等于 ▲ 。‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】连接圆心和弦的一端,在构造的直角三角形中,通过解直角三角形即可求出⊙O的半径:‎ 如图,连接OA。‎ ‎∵OC⊥AB,∴AC=BC=4。‎ 在Rt△OAC中,OC=3,AC=4,由勾股定理得:,‎ 即⊙O的半径为5。‎ ‎3.(上海市2003年2分)矩形ABCD中,AB=5,BC=12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围是 ▲ 。‎ ‎【答案】18<r<25或1<r<8。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】当⊙A和⊙C内切时,圆心距等于两圆半径之差,则r的取值范围是18<r<25;‎ 当⊙A和⊙C外切时,圆心距等于两圆半径之和,则r的取值范围是1<r<8。‎ 所以半径r的取值范围是18<r<25或1<r<8。‎ ‎4.(上海市2005年3分)如果半径分别为2和3的两个圆外切,那么这两个圆的圆心距是 ▲ ‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的性质:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。‎ ‎∵这两圆的位置关系是外切,∴这两个圆的圆心距d=2+3=5。‎ ‎5.(上海市2006年3分)已知圆O的半径为1,点P到圆心O的距离为2,过点P引圆O的切线,那么切线长是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】切线的性质,勾股定理。‎ ‎【分析】由圆切线的性质可知OA⊥PA,再根据勾股定理即可求得PA的长:‎ ‎ 如图,∵PA是⊙O的切线,连接OA,‎ ‎ ∴OA⊥PA,‎ ‎ ∵OP=2,OA=1,‎ ‎ ∴。‎ ‎6.(上海市2007年3分)如果两个圆的一条外公切线长等于5,另一条外公切线长等于,那么 ‎ ▲ .‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据圆的轴对称性,知同一个圆的两条外公切线长相等,可列方程求解:‎ ‎ ∵两个圆的外公切线长相等,∴,解得。‎ ‎7.(上海市2008年4分)在中,,(如图).如果圆的半径为,且经过点,那么线段的长等于 ▲ .‎ ‎【答案】3或5。‎ ‎【考点】锐角三角函数,等腰三角形的性质,弦径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】如图,过点作交于点,根据锐角三角函数,等腰三角形的性质和弦径定理,由,得。由勾股定理,得。‎ ‎ 在中,,∴由勾股定理,得。‎ ‎ 当点在上方,线段;‎ ‎ 当点在下方,线段。‎ ‎8.(上海市2009年4分)在圆中,弦的长为6,它所对应的弦心距为4,那么半径 ▲ .‎ ‎【答案】5。‎ ‎【考点】垂径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】作出图象,先求出弦的一半的长,再利用勾股定理即可求出:‎ ‎ 作,垂足为,可得:=4,,‎ ‎ 根据勾股定理可得:。‎ ‎9.(上海市2011年4分)如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC ‎,垂足分别为M、N,如果 MN=3,那么BC= ▲ .‎ ‎【答案】6。‎ ‎【考点】垂径定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】由AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点,线段MN为△ABC的中位线,根据中位线定理可知BC=2MN=6。‎ 三、解答题 ‎1.(上海市2002年10分)已知:如图,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,直线CM、DN分别切半圆于点C、D,且分别和直线AB相交于点M、N.‎ ‎  (1)求证:MO=NO;‎ ‎  (2)设∠M=30°,求证:NM=4CD.‎ ‎【答案】证明:连结OC、OD。‎ ‎(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC。‎ ‎   ∵CD∥AB,∴∠OCD=∠COM,∠ODC=∠DON。‎ ‎∴∠COM=∠DON。 ‎ ‎∵CM、DN分别切半圆O于点C、D,∴∠OCM=∠ODN=90°。‎ ‎∴△OCM≌△ODN(ASA)。 ∴OM=ON。‎ ‎(2)由(1)△OCM≌△ODN可得∠M=∠N。 ‎ ‎∵∠M=30°,∴∠N=30°。‎ ‎   ∴OM=2OC,ON=2OD,∠COM=∠DON=60°。‎ ‎   ∴∠COD=60°。 ‎ ‎   ∴△COD是等边三角形,即CD=OC=OD。‎ ‎   ∴MN=OM+ON=2OC+2OD=4CD。‎ ‎【考点】圆周角定理,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,含30度角直角三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)连接CO、DO,则有OC=OD,且OC⊥CM,OD⊥DN,易证△MCO≌△NDO,故MO=NO。‎ ‎(2)先证△OCD为等边三角形,CD=OC,Rt△MCO中,OC=OA,∠M=30°,故MA=AO=OC ‎,同理可得NB=OB=OC,故MN=4CD。‎ ‎2.(上海市2004年10分)在△ABC中,,圆A的半径为1,如图所示,若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设,△AOC的面积为。‎ ‎ (1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;‎ ‎ (2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当圆O与圆A相切时,△AOC的面积。‎ ‎【答案】解:(1)∵在,∴。‎ ‎ ∵,∴,且边上的高为2。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴关于的函数解析式为。‎ ‎ (2)如图,过点A作AD⊥BC于点D,当点O与点D重合时,圆O与圆A相交,不合题意;当点O与点D不重合时,在中,。‎ ‎ ∵圆A的半径为1,圆O的半径为,‎ ‎ ∴①当圆A与圆O外切时,,解得:。‎ ‎ 此时△AOC的面积。‎ ‎ ②当圆A与圆O内切时,,解得。‎ ‎ 此时△AOC的面积。‎ ‎ ∴当圆A与圆O相切时,△AOC的面积为或。‎ ‎【考点】勾股定理,建立函数关系式,两圆相切的性质。‎ ‎【分析】(1)用表示出,即可建立关于的函数解析式。‎ ‎(2)根据两圆相切的性质,分两圆外切和内切即可。‎ ‎3.(上海市2006年10分)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取,,三根木柱,使得,之间的距离与,之间的距离相等,并测得长为米,到的距离为米,如图所示.请你帮他们求出滴水湖的半径。‎ ‎【答案】解:设圆心为点,连结,,交线段于点.‎ ‎    ∵,∴。∴,且。‎ ‎    由题意,,设米, ‎ ‎    在中,,即,‎ ‎    ∴。‎ ‎    答:滴水湖的半径为米。‎ ‎【考点】弦径定理,勾股定理。‎ ‎【分析】由已知条件,根据弦径定理和勾股定理即可求出滴水湖的半径。‎ ‎4.(上海市2006年14分)已知点在线段上,点在线段延长线上.以点为圆心,为半径作圆,点是圆上的一点.‎ ‎(1)如图,如果,.求证:(4分);‎ ‎(2)如果(是常数,且),,是,的比例中项.当点在圆上运动时,求的值(结果用含的式子表示)(7分);‎ ‎(3)在(2)的条件下,讨论以为半径的圆和以为半径的圆的位置关系,并写出相应的取值范围(3分)。‎ ‎【答案】解:(1)证明:∵,∴。∴。‎ ‎ ∵,∴。‎ ‎ ∵,∴。‎ ‎ (2)设,则,。‎ ‎ ∵是,的比例中项,‎ ‎ ∴,得,即。 ∴。‎ ‎ ∵是,的比例中项,即,‎ ‎ ∵,∴。‎ ‎ 设圆与线段的延长线相交于点,当点与点,点不重合时,‎ ‎ ∵,∴。‎ ‎ ∴ 即,‎ ‎ 当点与点或点重合时,可得。‎ ‎ ∴当点在圆上运动时,。‎ ‎ (3)由(2)得,,且,,圆和圆的圆心距。‎ ‎ 显然,∴圆和圆的位置关系只可能相交、内切或内含。‎ ‎ ①当圆与圆相交时,,得,‎ ‎ ∵,∴。‎ ‎ ②当圆与圆内切时,,得。‎ ‎ ③当圆与圆内含时,,得。‎ ‎【考点】圆的性质,相似三角形的判定和性质,比例中项的性质,两圆的位置关系。‎ ‎【分析】(1)由已知,可得且,根据三角形的判定定理得证。 ‎ ‎ (2)由是,的比例中项,可求出且,从而 ‎,从而。‎ ‎ (3)根据两圆的位置关系的判定,分别求出圆与圆相交、内切或内含的情况。‎ ‎5.(上海市2009年12分)在直角坐标平面内,为原点,点的坐标为,点的坐标为,直线轴(如图所示).点与点关于原点对称,直线(为常数)经过点,且与直线相交于点,联结.‎ ‎(1)求的值和点的坐标;‎ ‎(2)设点在轴的正半轴上,若是等腰三角形,求点的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,如果以为半径的圆与圆外切,求圆的半径.‎ ‎【答案】解:(1)∵点的坐标为,点与点关于原点对称,∴点(—1,0)。‎ ‎ ∵ 点在直线上,∴将点(—1,0),代入得到。‎ ‎ ∴直线:。‎ ‎ 将代入,得 。∴ 点(3,4)。‎ ‎ (2)∵点(3,4),∴。‎ ‎ ∵点在轴的正半轴上,是等腰三角形,‎ ‎ ∴是等腰三角形的情况有、和。‎ ‎ 情况1:,则点(5,0)。‎ ‎ 情况2: ,由点(3,4)得, 则点(6,0)。‎ ‎ 情况 3: , 设,由 D(3,4)‎ ‎ 根据勾股定理得 ,解得 。‎ ‎ 则点。‎ ‎ 综上所述,若是等腰三角形,点的坐标为(5,0),(6,0),。‎ ‎ (3)设圆的半径为,‎ ‎ 情况1:时,由两点坐标得,。‎ ‎ ∵以为半径的圆与圆外切,∴圆心距。∴。‎ ‎ 情况2:时,由两点坐标得,。‎ ‎ ∵以为半径的圆与圆外切,∴圆心距。∴。‎ ‎ 情况3:时,不存在圆,使以为半径的圆与圆外切。‎ ‎【考点】关于原点对称的点的性质,直线上点的坐标与方程的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,两圆外切的性质。‎ ‎【分析】(1)由关于原点对称的点的性质求出点的坐标,根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系求出的值和点的坐标。‎ ‎ (2)根据等腰三角形的性质,分、和三种情况讨论即可。‎ ‎ (3)根据两圆外切,圆心距等于两圆半径之和的性质,结合(2)的三种情况分别讨论即可。‎ ‎6.(上海市2011年10分)如图,点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD平行于AB,并与弧AB相交于点M、N.‎ ‎(1)求线段OD的长;‎ ‎(2)若,求弦MN的长. ‎ ‎【答案】解:(1)∵CD∥AB, ∴△OAB∽△OCD。∴。‎ 又∵OA=OB=3,AC=2,∴ ,∴OD=5。 ‎ ‎(2)过O作OE⊥CD,连接OM,则ME=MN,‎ ‎∵tan∠C= ,∴设OE=,则CE=2。‎ 在Rt△OEC中,OC2=OE2+CE2,即52=2+(2)2,解得= 。‎ 在Rt△OME中,OM2=OE2+ME2,即32=( )2+ME2,解得ME=2。‎ ‎∴MN=4。‎ ‎【考点】平行的性质,相似三角形的判定和性质,垂径定理,锐角三角函数定义,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)根据CD∥AB可知,△OAB∽△OCD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长。‎ ‎(2)过O作OE⊥CD,连接OM,由垂径定理可知ME= MN,再根据tan∠C= 可求出OE的长,利用勾股定理即可求出ME的长,从而求出答案。‎
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