高二数学人教A版选修4-5教案：2-3反证法与放缩法x

高二数学人教A版选修4-5教案：2-3反证法与放缩法x

‎2.3反证法与放缩法 一、教学目标 ‎1．掌握用反证法证明不等式的方法．‎ ‎2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 掌握用反证法证明不等式的方法．‎ 四、教学难点 了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立．‎ ‎【证明】　假设<2和<2都不成立，‎ 则有≥2和≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，‎ 两式相加，‎ 得2＋x＋y≥2x＋2y，‎ 所以x＋y≤2，‎ 这与已知条件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一个成立．‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　反证法 先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．‎ 教材整理2　放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题 例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：‎ ‎(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；‎ ‎(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ ‎【精彩点拨】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．‎ ‎(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．‎ ‎【自主解答】　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q，‎ ‎∴f(1)＋f(3)－2f(2)‎ ‎＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.‎ ‎(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)‎ 又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|‎ ‎≥f(1)＋f(3)－2f(2)‎ ‎＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，‎ ‎∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，∴假设不成立．‎ 故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ 规律总结：‎ ‎1．在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明．在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．‎ ‎2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．‎ ‎【证明】　a，b，c，d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负数，故有假设a，b，c，d都是非负数．‎ 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，‎ 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd.‎ 这与已知中ac＋bd＞1矛盾，‎ ‎∴原假设错误，‎ 故a，b，c，d中至少有一个是负数．‎ 即a，b，c，d中至多有三个是非负数.‎ 题型二、利用放缩法证明不等式 例2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.‎ ‎【精彩点拨】　针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．‎ ‎【自主解答】　∵当n≥2时，an＝2n2＞2n(n－1)，‎ ‎∴＝＜＝·‎ ‎＝，‎ ‎∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋‎ ‎＝1＋ ‎＝1＋＝－＜，‎ 即＋＋…＋＜.‎ 规律总结：‎ ‎1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．‎ ‎2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．‎ ‎【证明】　∵k2＞k(k－1)，‎ ‎∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)．‎ 分别令k＝2,3，…，n得 ＜＝1－，＜＝－，…，‎ ＜＝－.‎ 因此1＋＋＋…＋ ‎＜1＋＋＋…＋ ‎＝1＋1－＝2－.‎ 故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．‎ 题型三、利用反证法证明不等式 例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.‎ ‎【精彩点拨】　本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．‎ ‎【自主解答】　∵a，b，c的倒数成等差数列，∴＝＋.假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，‎ ‎∴b＞a＞0，b＞c＞0，‎ ‎∴＜，＜，∴＜＋，‎ 这与＝＋相矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故∠B＜90°成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．本题中从否定结论进行推理，即把结论的反面“∠B≥90°”作为条件进行推证是关键．要注意否定方法，“＞”否定为“≤”，“＜”否定为“≥”等．‎ ‎2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.‎ ‎【证明】　法一　假设a＋b>2，‎ a2－ab＋b2＝＋b2≥0，‎ 故取等号的条件为a＝b＝0，显然不成立，‎ ‎∴a2－ab＋b2>0.‎ 则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，‎ 而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1，‎ ‎∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，从而ab<1，‎ ‎∴a2＋b2<1＋ab<2，‎ ‎∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4，‎ ‎∴a＋b<2.‎ 这与假设矛盾，故a＋b≤2.‎ 法二　假设a＋b>2，则a>2－b，‎ 故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，‎ 即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，‎ 这显然不成立，从而a＋b≤2.‎ 法三　假设a＋b>2，则(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8.‎ 由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2.‎ 又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，‎ ‎∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)，‎ ‎∴a2－ab＋b2

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