2021届重庆市巴蜀中学高三（上）适应性数学试题（二）及答案解析

2021届重庆市巴蜀中学高三（上）适应性数学试题（二）及答案解析

2021 届重庆市巴蜀中学高三（上）适应性数学试题（二） 一、单选题 1．10．(2x－y)5 的展开式中，x2y3 的系数为________． 2．一质点受到平面上的三个力 1F  ， 2F  ， 3F  （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知 1F  ， 2F  成 60角，且 1F  ， 2F  的大小分别为 2 和 4，则 3F  的大小为（ ） A．6 B．2 C．8 D． 2 7 3．4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答， 选甲题答对得 100 分，答错得－100 分；选乙题答对得 90 分，答错得－90 分.若 4 位同学的总分为 0，则这 4 位同学不同得分情况的种数是（ ） A．48 B．36 C．24 D．18 4．已知函数 2 3( 2) 2 xf x x    ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处切线的斜率为（ ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 5．在 ABC 中， 4B  ， BC 边上的高等于 2 3 BC ,则sinA  （ ） A． 3 10 10 B． 5 5 C． 10 10 D． 3 10 6．已知函数    2 22 02 4 xf x sin xsin sin x         ＞ 在区间 3 4 4      ， 上是增函数，且在 区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A．[ 1 2 2 3 ， ） B．[ 1 2 3 3 ， ] C．[ 1 2 3 3 ， ） D．[ 1 2 2 3 ， ] 7．若复数 1 a iz i   为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A．2 B．1 C． 1 D． 2 8．已知 sin 5 1π-12 4      ,则 cos π 26     =( ) A．- 7 8 B．- 15 16 C．- 1 2 D． 7 8 9．已知集合 {1,2,3,4}A  ， { | ln 1}B x x  ，则 A B 中的元素个数为 A．1 B． 2 C．3 D． 4 10．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左,右焦点分别为 1 2,F F ,若双曲线上存在点 P ,使 1 2 2 1 sin sin PF F a PF F c   ,则该双曲线的离心率 e 范围为( ) A．（1,1 2+ ） B．（1,1 3 ） C．（1,1 2+ ] D．（1,1 3 ] 11．已知 a R ，“幂函数   1af x x  在 0,  上为增函数”是“指数函数    2 3 xg x a  为增函 数”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……，这样一个细胞分裂__________ 次以后，得到的细胞个数是 128 个.() A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 13．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＞0；③abc ＞0；④b＝2a，其中正确结论是______．(填序号) 14．已知函数 f（a，x）= 4 a sinx+ 4 1 a cosx 随着 a，x 在定义域内变化时，该函数的最大值为 ______ 15．假设一个随机数发生器一次只能从 1，2，3，…，9 这九个数学中等可能地选一个数，则该随 机数发生器完成了 ( 1)n n  次选择后，选出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率为________（用含 n 的代数式示）. 16．已知向量    1,2 , ,1 ,a b x  若 ,a b  则 x ________ 三、解答题 17．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的离心率为 3 2 ，直线 y x 交椭圆C 于 A 、B 两点， 椭圆C 左焦点为 F ，已知 4FA FB  ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 y kx m  （ 0k  ， 0m  ）与椭圆C 交于不同两点 M 、 N ，且定点 10, 2Q     满 足 MQ NQ  ，求实数 m 的取值范围． 18．已知函数   2 ln xf x x  . （1）求  f x 的单调区间； （2）若函数    g x f x a  在 1 23e ,e       上只有一个零点，求 a 的取值范围. 19．已知角 、 2  的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与 x 轴正半轴重合，且角 的终边 与单位圆（圆心在原点，半径为 1 的圆）的交点 A 位于第二象限，角 2  的终边和单位圆的交 点 B 位于第三象限，若点 A 的横坐标为 3 5Ax   ，点 B 的纵坐标为 5 13By   . （1）求sin 2 、 cos2 的值； （2）若 0    ，求  的值.（结果用反三角函数值表示） 20．如图，A 地到火车站共有两条路径，据统计两条路径所用的时间互不影响，所用时间在各时间 段内的的频率如下表： 时间（分钟） 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 40 ~ 50 50 ~ 60 1L 的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.3 2L 的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 现甲、乙两人分别有 40 分钟和50分钟时间用于赶往火车站. （1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求 X 的 分布列和数学期望. 21．函数   2sin( 0,0 )2f x      的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与 y 轴交于点  0, 2F ,与 x 轴交于点 B,C, 且 MBC 的面积为 ． (Ⅰ)求函数  f x 的解析式； (Ⅱ)若 2 5 4 5f      ,求 cos2 的值. 22．如图，在以 A ， B ，C ， D ， E ， F 为顶点的五面体中， D 在平面 ABEF 上的射影为 EF 的 中点 ADF 是边长为 2 的正三角形，直线 AD 与平面 ABEF 所成角为 4  . （I）求证： EF AD ； （Ⅱ）若 2 2EF CD AB  ，且 / /AB EF ，求该五面体的体积. 【答案与解析】 1．－40 ：x2y3 的系数为 C35×22×(－1)3＝－40. 2．D 根据向量的合成法则以及向量的模长公式，进行计算即可. 根据题意，得 3 21    F F F 2 2 1 2 1 22       F F F F 2 22 4 2 2 4 cos60       2 7 ， 3 F 的大小为 2 7 . 故选：D. 本题考查了平面向量的应用问题，平面向量的合成法则与向量的模长公式，考查了理解辨析能力和 数学运算能力，属于基础题. 3．B 4 位同学的总分为 0，有以下三种情况： 若 4 人都选择答甲题，则有 2 人答对，2 人答错，有 2 4C 种可能； 若 4 人都选择答乙题，则也有 2 人答对，2 人答错，有 2 4C 种可能； 若甲乙两题都有人选择答，要保证 4 人得分不同，则有 2 人答甲题且 1 人对 1 人错，有 2 人答乙题 有 1 人对有 1 人错，有 2 42 2 C  种可能． 综上可得，总共有 种可能，故选 B 4．A 将 x+2 看做整体，求得 f（x）的解析式，进而求其导数，由导数的几何意义，计算可得所求切线的 斜率． 解：函数   2 32 2 xf x x    ， 即为    2 2 12 2 xf x x     ， 则   12f x x   ， 导数为   2 1f x x   ， 可得曲线  y f x 在点   1, 1f 处切线的斜率为 1． 故选：A． 本题考查 f（x）的解析式求法，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题． 5．A 画出图形，可知 4BAD   ，设 DAC  ，分别求出sin CD AC   和 cos AD AC   ，利用两角 和的正弦公式即可求解． 由题意画出图形， ABD 是等腰直角三角形， AD 为 BC 边上的高， 4BAD   且 2 3AD BD BC  ，设  0AD x x  ，则 3 2BC x ， 3 1 2 2CD BC BD x x x     ，则 2 2 1 5 2 2AC x x x      ， 设 DAC  ，则 1 52sin 55 2 xCD AC x     ， 2 5cos 55 2 AD x AC x     ，则 2 2 2 5 2 5 3 10sin sin sin cos4 2 2 2 5 5 10A                     . 故答案为 A. 本题考查了解三角形知识，构造直角三角形是解决本题的一个方法，也可以通过正、余弦定理解决 本题． 6．D 化简可得 ( ) sinf x x ，由 ,2 2         是函数含原点的递增区间，又因为函数在 3,4 4      上 递增， 3, ,2 2 4 4                    ，可列出不等式组 3,2 4 4 2       „ „ ，求解得到 2 3 „ ， 又函数在区间[0, ] 上恰好取得一次最大值，可得到不等式 0 2    ，由此求出 1 2   ，综上 即可得到结果. 2( ) 2sin sin 2 4 xf x x         2sin x 2 1 cos 22sin sin2 x x x           2sin (1 sin ) sinx x x      sin x ， 即 ( ) sinf x x ， ,2 2          是函数含原点的递增区间， 又因为函数在 3,4 4      上递增， 3, ,2 2 4 4                    ， 得不等式组： 3,2 4 4 2       „ „ ， 又 20, 0 3     „ ， 又函数在区间[0, ] 上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知 2 ,2x k k Z    ，即 函数在 2 2 kx      处取得最大值， 可得 0 2    ， 1 2   ，综上，可得 1 2,2 3       . 故选：D. 本题考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换化简，根据题中条件列出不等式组是解本题的关 键，属难题. 7．C 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解． ( )(1 ) 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 a i a i i a az ii i i           为纯虚数，  1 0{1 0 a a     ，即 1a   ． 故选:C 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8．A 先根据诱导公式得 cos π 12     ，再根据二倍角余弦公式求结果. 由 sin 5 1π-12 4      ,可得 cos π 12     =sin 5π 1-12 4      ,所以 cos π 26     =2cos2 π 12     -1=2· 21 4      -1=- 7 8 . 选 A 本题考查二倍角余弦公式、诱导公式，考查基本求解能力. 9．B 集合  1,2,3,4A  ，    ln 1B x x x x e  ，所以  3,4A B  ，即 A B 中的元素个数为 2 , 故选 B. 10．A 由题意，点 P 不是双曲线的顶点，否则 1 2 2 1 a c sin PF F sin PF F   无意义，在 1 2PF F 中， 由正弦定理得 1 2 2 1 1 2 PF PF sin PF F sin PF F   ，又 1 1 2 2 1 2 , PFa c c sin PF F sin PF F PF a    ，即 1 2·cPF PFa  ， P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得 1 2 2 22 , · 2cPF PF a PF PF aa      ，即 2 2 2aPF c a   ，由双曲线的几何性质，知 2 2 2, aPF c a c ac a      ，即 2 22 0c ac a   ， 2 2 1 0e e    ，解得 2 1 2 1e     ，又 1e  ，所以双曲线离心率的范围是 1, 2 1  ，故选 A. 【方法点晴】本题主要考查正弦定理以及利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范 围，属于难题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形， 思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量 时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有 关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于 e 的不等式，从而求出 e 的范 围.焦半径构造出关于 e 的不等式，最后解出 e 的范围. 11．B 分别计算两个函数为增函数的参数 a 满足的条件，然后根据充分条件、必要条件的概念可得结果. 由题可知：幂函数   1af x x  在 0,  上为增函数，则 1 0 1a a    指数函数    2 3 xg x a  为增函数，则 2 3 1 2   a a 所以 1a  不能得到 2a  ，但 2a  能得到 1a  所以“幂函数   1af x x  在 0,  上为增函数”是 “指数函数    2 3 xg x a  为增函数”成立的必要不充分条件 故选：B 本题主要考查充分条件、必要条件的概念，熟知概念，审清题意，细心计算，属基础题. 12．C 由题意， n 次分裂后，共有 2n 个，故可得方程，从而得解． 由题意， n 次分裂后，共有 2n 个，所以有 2 128n  ， ∴ 7n  ，故选 C. 本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题． 13．①②③④ 根据图象利用 1, 0, 1, 0x y x y   以及与 y 轴交点的纵坐标为正，对称轴在 y 轴左侧即可得到结 果. 当 1x  时， 0y a b c    ，故①正确，当 1x   时， 0y a b c    ，故②正确，当 0x  时， 0y c  ，对称轴 02 bx a    ，所以 0ab  ， 0abc  ，故③正确，又对称轴 12 bx a     ， 所以 2b a ，故④正确，综上正确的结论是①②③④. 本题主要考查了二次函数图象，及数形结合的思想，属于中档题. 14． 1 42 运用辅助角公式和正弦函数的值域可得 f（a，x）≤ 1a a  ，再由柯西不等式，计算可得 所求最大值． 解：函数 f（a，x）= 4 a sinx+ 4 1 a cosx = 1a a  sin（x+θ）（θ为辅助角）， 即有 f（a，x）≤ 1a a  （sin（x+θ）=1 取得等号）， 由柯西不等式可得（ 1a a  ）2≤（1+1）（a+1-a）=2， 当且仅当 a= 时，取得等号， 即有 1a a  ≤ 2 ， 即 f（a，x）的最大值为 1 42 ． 故答案为 1 42 ． 本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能 力，属于中档题． 15． 8 5 41 9 n n n n   由题意 n 个数中，至少有一次选择了 5，至少有一次选择了偶数 2、4、6、8 之一，设事件 A 表示 没有一次选择了 5，事件 B 表示没有一次选择了偶数，则所求概率是1 ( )P A B  ，再利用加法公 式 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B     计算即可. 为使选出的 n 个数的乘积能被 10 整除，其中至少有一次选择了 5，并且至少有一次选择了 偶数 2、4、6、8 之一，设事件 A 表示没有一次选择了 5，事件 B 表示没有一次选择了偶数， 则所求概率是1 ( )P A B  ，从而1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B      8 5 41 ( ) ( ) ( )9 9 9 n n n     8 5 41 9 n n n n   . 故答案为： 8 5 41 9 n n n n   本题考查古典概型的概率计算以及概率的加法公式，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 16．-2. 分析：利用向量垂直的条件，结合题中所给的向量坐标，列出方程求解即可. 详解：根据题意，由 a b  ，可得 2 0x   ，解得 2x   ，故答案是 2 . 点睛：该题考查的是有关利用向量垂直，求其坐标所满足的条件，对应的知识点是向量垂直，向量 的数量积等于零，应用向量数量积坐标公式求得结果. 17．（1） 2 2 14 x y  ；（2） 1 ,66      . （1）由椭圆对称性得 2 4FA FB FA AD a     ，可得 a 的值，在根据离心率和椭圆的性 质即可求出b 的值，进而求出椭圆方程； （2）直线与椭圆方程联立得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     ，由于直线与椭圆有两个交点，可 得 2 24 1k m  ；由于 MQ NQ  ，设 MN 中点为 D ，可得 DQ MN ，根据垂直斜率的关系， 由此可推导出 m 的取值范围． （1）∵设椭圆右焦点为 D ，由椭圆对称性得 2 4FA FB FA AD a     ， ∴ 2a  ． 又 3 2 c a  ，∴ 3c  ， ∴ 2 2 2 1b a c   ， ∴椭圆C 的方程为 2 2 14 x y  ． （2）由 2 2 14 y kx m x y     消去 y 整理得： 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m     ， ∵直线与椭圆交于不同的两点 M ， N ， ∴   2 2 2 264 4 4 1 4 4 0k m k m      ， 整理得 2 24 1k m  ． 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ， 则 1 2 2 8 4 1 kmx x k    ， 又设 MN 中点 D 的坐标为 ,D Dx y ， ∴ 1 1 4 4 2 4 1D x x kmx k     ， 2 2 2 4 4 1 4 1D D k m my kx m mk k       ． ∵ MQ NQ  ， ∴ DQ MN ，即 1 12D D y x k    ， ∴ 26 1 4m k  ， ∴ 2 6 1 0 6 1 1 m m m       ，解得 1 66 m  ， ∴实数 m 的取值范围 1 ,66      ． 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． 18．（1）  f x 的单调递减区间为  0,1 ， 1, e ，单调递增区间为 ,e  （2）   2 4 33 22 ee e       （1）先求函数  f x 的定义域,然后对函数求导,令导等于 0 ,得出 x e ,判断导在区间内的正负, 即可得出函数的单调性. （2）令   0g x  ,得  f x a .根据函数在 1 23e ,e       上只有一个零点,得 3 1 2 3 3f e e       ,   4 2 2 ef e  , 且 24 332 e e , 又   2f e e ,即可得 a 的取值范围为. 解：（1）  f x 的定义域为   0,1 1, ,     2 2ln 1 ln x xf x x   , 令 ( ) 0f x¢ = ,则 x e , 在   0,1 1, e 上, ( ) 0f x¢ < ；在 ,e  上, ( ) 0f x¢ > . 所以  f x 的单调递减区间为( )0,1 , 1, e , 单调递增区间为  ,e  . （2）由   0g x  ,得  f x a . 因为 3 1 2 3 3f e e       ,   4 2 2 ef e  ,且 24 332 e e , 又   2f e e , 所以 a 的取值范围为   2 4 33 22 ee e       . 本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题. 19．（1） 24 25  ； 7 25  （2） 204cos 325arc  （1）可根据单位圆定义求出sin ,cos  ，再由二倍角正弦公式即可求解； （2）先求出  sin 2 ,   cos 2 ,  由  cos cos 2 2        可求得 cos  ，结合反三角函 数即可求得  （1）由题可知： 3cos 5    ， 23 4sin 1 5 5         ， 4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25              ， 2 2 3 7cos2 2cos 1 2 15 25              ； （2）由    5 12sin 2 cos 213 13           ，  cos cos 2 2             7 12 24 5 204cos2 cos 2 sin2 sin 2 25 13 25 13 325                                       ， 又 0    ， 204cos 325arc  本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题 20．（1）甲应选择路径 1L ，乙应选择路径 2L ；（2）分布列见解析，   1.5E X  . （1）用 iA 表示事件“甲选择路径 iL 时，40 分钟内赶到火车站”， iB 表示事件“乙选择路径 iL 时， 50分钟内赶到火车站”， 1i  、2 ，计算出  1P A 、  2P A 、  1P B 、  2P B ，并比较  1P A 、  2P A 的大小，  1P B 、  2P B 的大小，由此可得出结论； （2）用 A 、B 分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站，由（1）知  P A 0.6 ，   0.9P B  ，可知随机变量 X 的可能取值有 0 、1、2 ，计算出随机变量 X 在不同取值下的概率， 可得出随机变量 X 的分布列，进而可求得 X 的数学期望. （1）用 iA 表示事件“甲选择路径 iL 时，40 分钟内赶到火车站”， iB 表示事件“乙选择路径 iL 时， 50分钟内赶到火车站”， 用频率估计相应的概率，则有：  1P A 0.1 0.2 0.3 0.6    ，  2 0.1 0.4 0.5P A    ，    1 2P A P A ，所以甲应选择路径 1L ；  1P B 0.1 0.2 0.3 0.2 0.8     ，  2 0.1 0.4 0.4 0.9P B     ，    1 2P B P B ，所以乙应选择路径 2L ； （2）用 A 、 B 分别表示针对（1）的选择方案，甲，乙在各自的时间内搞到火车站， 由（1）知  P A 0.6 ，   0.9P B  ，且 A 、 B 相互独立. 由题意可知，随机变量 X 的取值是 0 、1、 2 ，    0 0.1 04 0.04P X P AB     ，    1 0.4 0.9 0.6 0.1 0.42P X P AB AB        ，    2 0.9 0.6 0.54P X P AB     . 所以 X 的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 所以，随机变量 X 的数学期望为   0 0.04 1 0.42 2 0.54 1.5E X        . 本题考查利用频率来计算概率，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的求解，考查计算能力， 属于中等题. 21．( Ⅰ)   2sin 4f x x      ；(Ⅱ) 3 5 . 试题分析： (Ⅰ)本题考查通过三角函数    sinf x A x   的图象求函数解析式，最高点的纵坐标为函数 的最大值 2，由 MBC 面积可求得 BC 长度，它是周期的一半，从而可得 ，再由 F 点坐标代入 可求得 ；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 sin4f       ，利用余弦的二倍角公式可得结论. 试题解析： ( Ⅰ)因为 , 所以周期 ， ， 由 ,得 , 因为 ,所以 , 所以 ； (Ⅱ)由 ,得 , 所以 . 22．(I)见证明；(Ⅱ) 2 3 （I）记 EF 的中点为 O，连接 OD ， OA ，先证明 EF  平面 OAD，再证 EF AD ；（Ⅱ） 先证明棱柱 OAD EBC 为直棱柱. 再求 F OAD OAD EBCV V  , 即得该五面体的体积. 证明：（I）记 EF 的中点为 O，连接 OD ， OA ， 由 D 在平面 ABEF 上的射影为 EF 中点，得OD  平面 ABEF ， ∴ OD OF ， OD OA ，又 DF DA ， OD OD ， ∴ ODF ODA  ，∴ OF OA . 由直线 AD 与平面 ABEF 所成角为 4  ，易得 OAD 4   ， 又由 DF DA 2  ，得 OD OA OF 1   ，又 AF 2 ， 得 OF OA . 由 OF OD ， OF OA ， OD OA O  ， 得 EF  平面 OAD， AD  平面 OAD， ∴ EF AD . （Ⅱ）由（I）， EF  平面 OAD， ∵ AB/ /EF， AB  平面 EFDC ， EF  平面 EFDC ， ∴ AB / / 平面 EFDC ，平面 ABCD 平面 EFDC CD ， ∴ AB/ /CD ， CD / /OE ，由题意 OF OE CD AB 1    ， ∴棱柱 OAD EBC 为直棱柱. ∵ 1 1 11 1 13 2 6F OADV           ， 1 11 1 12 2OAD EBCV          ， ∴该五面体的体积为： 1 1 2 6 2 3F OAD OAD EBCV V     . 本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平和分析推理能力.