高考数学汇编解析几何

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高考数学汇编解析几何

‎(安徽)双曲线的实轴长是(A)2 (B) (C) 4 (D) 4‎ ‎(福建)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足=4:3:2,则曲线r的离心率等于A. B.或‎2 C.2 D.‎ ‎(湖北)将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A. n=0 B. n=‎1 C. n=2 D. n 3‎ ‎(湖南)设双曲线的渐近线方程为,则的值为( )A.4 B.‎3 C.2 D.1答案:C 解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知。‎ ‎(江西)若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是 ( ) ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 答案:B 曲线表示以为圆心,以1为半径的圆,曲线表示过定点,与圆有两个交点,故也应该与圆有两个交点,由图可以知道,临界情况即是与圆相切的时候,经计算可得,两种相切分别对应,由图可知,m的取值范围应是 10. ‎(江西)如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 ‎ 向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这 ‎ 样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )‎ 答案:A 解析:根据小圆 与大圆半径1:2的关系,找上下左右四个点,根据这四个点的位置,小圆转半圈,刚好是大圆的四分之一,因此M点的轨迹是个大圆,而N点的轨迹是四条线,刚好是M产生的大圆的半径。‎ ‎(辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,,则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎ A. B.‎1 ‎ C. D.‎ ‎(全国新)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于 A,B两点,为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 ‎(A) (B) (C)2 (D)3‎ ‎(全国新)由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 ‎(A) (B)4 (C) (D)6‎ ‎(山东)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(天津)已知抛物线的参数方程为(为参数)若斜率为1的 直线经过抛物线的焦点,且与圆相切,‎ 则=________.‎ ‎(全国新)在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在 轴上,离心率为。过的直线 交于两点,且的周长为16,那么的方程为 。‎ ‎(辽宁)已知点(2,3)在双曲线C:上,C的焦距为4,则它的离心率为 .‎ ‎(全国2)曲线y=+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎【思路点拨】利用导数求出点(0,2)切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】选A.切线方程是:,在直角坐标系中作出示意图,即得。‎ ‎(全国2)已知抛物线C:的焦点为F,直线与C交于A,B两点.则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。‎ ‎【精讲精析】选D.‎ 联立,消y得,解得.‎ 不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),‎ 可求,利用余弦定理.‎ ‎(陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为,则抛物线的方程是 ( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎(陕西)设(,),(,),…,(,)是变量和的个样本点,直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是【D】‎ ‎(A)和的相关系数为直线的斜率 ‎(B)和的相关系数在0到1之间 ‎(C)当为偶数时,分布在两侧的样本点的个数一定相同 ‎(D)直线过点 ‎(四川)在抛物线上取横坐标为,的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切,则抛物线顶点的坐标为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(浙江)已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎(重庆)‎ ‎(重庆)设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内,则椭圆半径能取到的最大值为__________‎ ‎(浙江)设为实数,若则的最大值是 .。‎ ‎(浙江)设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 .‎ ‎(四川)双曲线P到左准线的距离是 . ‎ ‎(全国2)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点,点A∈C,点M的坐标为(2,0),AM为∠F1AF2的平分线.则|AF2| = .‎ ‎【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。‎ ‎【精讲精析】6.‎ 由角平分线定理得:,故.‎ ‎(江西)若椭圆的焦点在x轴上,过点作圆的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .‎ 答案: 解析:设过点(1,)的直线方程为:当斜率存在时,,‎ 根据直线与圆相切,圆心(0,0)到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标(),当斜率不存在时,直线方程为:x=1,根据两点A:(1,0),B:()可以得到直线:2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标(2,0),与x轴的交点即为焦点,根据公式,即椭圆方程为:‎ ‎(PS:此题可能算是填空题,比较纠结的一道,因为要理清思路,计算有些繁琐。但是,是不是就做不出来呢,不是的,在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型,也就在理科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此,你们还怕什么?)‎ ‎(江苏)在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________‎ ‎(江苏)在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________‎ ‎(重庆)如题(20)图,椭圆的中心为原点,离心率,一条准线的方程为.‎ ‎ (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ) 设动点满足:,其中是椭圆上的点,直线与的斜率之积为,问:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(上海)设为常数,若点是双曲线的一个焦点,则 。‎ ‎(浙江)已知抛物线:=,圆:的圆心为点M ‎(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;‎ ‎(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂直于AB,求直线的方程 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎ (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: ‎ 所以圆心M(0,4)到准线的距离是 ‎(II)解:设,则题意得,‎ 设过点P的圆C2的切线方程为,‎ 即 ①‎ 则即,‎ 设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以 将①代入由于是此方程的根,故,所以 由,得,解得即点P的坐标为 ‎,所以直线的方程为 ‎(天津)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹方程.‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.满分13分.‎ ‎ (I)解:设 由题意,可得即 整理得(舍),或所以 ‎(II)解:由(I)知可得椭圆方程为直线PF2方程为 A,B两点的坐标满足方程组消去y并整理,得解得 ‎ 得方程组的解不妨设 设点M的坐标为,‎ 由于是由即,化简得 将所以 因此,点M的轨迹方程是 ‎(四川)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎ (I)当|CD | = 时,求直线l的方程;‎ ‎ (II)当点P异于A、B两点时,求证:OP·OQ 为定值。‎ ‎ ‎ ‎(陕西)如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的摄影,M为PD上一点,且 ‎(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程 ‎(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度 解:(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)‎ 由已知 xp=x ‎ ‎ ‎∵  P在圆上, ∴   ,即C的方程为 ‎(Ⅱ)过点(3,0)且斜率为的直线方程为,‎ 设直线与C的交点为 将直线方程代入C的方程,得 ‎ 即 ‎ ∴    ‎ ‎  ∴   线段AB的长度为 ‎ 注:求AB长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得分。‎ ‎(陕西)如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,QI;P2,Q2…Pn,Qn,记点的坐标为(,0)(k=1,2,…,n)。‎ ‎(Ⅰ)试求与的关系(2≤k≤n);‎ ‎( Ⅱ)求 解(Ⅰ)设,由得点处切线方程为 由得。‎ ‎( Ⅱ),得,‎ ‎(山东)已知直线l与椭圆C: 交于P.Q两不同点,且△OPQ的面积S=‎ ‎,其中Q为坐标原点。‎ ‎(Ⅰ)证明X12+X22和Y12+Y22均为定值 ‎(Ⅱ)设线段PQ的中点为M,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G,使得S△ODE=S△ODG=S△OEG若存在,判断△DEG的形状;若不存在,请说明理由。‎ ‎(全国新)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y = -3上,M点满足MB//OA, MA•AB = MB•BA,M点的轨迹为曲线C。‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。‎ 解:‎ ‎ (Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知(+)• =0,即(-x,-4-2y)• (x,-2)=0.‎ 所以曲线C的方程式为y=x-2.‎ ‎(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C:y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x 因此直线的方程为,即。‎ 则O点到的距离.又,所以 当=0时取等号,所以O点到距离的最小值为2.‎ ‎(北京)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F¬2(1,0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论:‎ ‎ ① 曲线C过坐标原点;‎ ‎ ② 曲线C关于坐标原点对称;‎ ‎ ③若点P在曲线C上,则△FPF的面积大于a。‎ 其中,所有正确结论的序号是 ‎ ‎(辽宁)已知O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为的直线与C交与A、B两点,点P满足 ‎(Ⅰ)证明:点P在C上;‎ ‎(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把用坐标表示后求出P点的坐标,然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路:思路一:关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式。‎ 思路二:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N,然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.‎ ‎【精讲精析】 (I)设 直线,与联立得 由得 ‎,‎ 所以点P在C上。‎ ‎(II)法一:‎ 同理 所以互补,‎ 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ 法二:由和题设知,,PQ的垂直平分线的方程为…①‎ 设AB的中点为M,则,AB的垂直平分线的方程为…②‎ 由①②得、的交点为 ‎,‎ ‎,,‎ 故.‎ 所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.‎ ‎(辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.‎ ‎ (I)设,求与的比值;‎ ‎ (II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由.‎ 解:(I)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设 设直线,分别与C1,C2的方程联立,求得 ‎ ………………4分 当表示A,B的纵坐标,可知 ‎ ………………6分 ‎ (II)t=0时的l不符合题意.时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即 解得 因为 所以当时,不存在直线l,使得BO//AN;‎ 当时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 ‎(江西)是双曲线:上一点,分别是双曲线的左、右定点,直线的斜率之积为.‎ (1) 求双曲线的离心率;‎ (2) 过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于两点,为坐标原点,为双曲线上的一点,满足,求的值.‎ 解:(1)已知双曲线E:,在双曲线上,M,N分别为双曲线E的左右顶点,所以,,直线PM,PN斜率之积为 而,比较得 ‎(2)设过右焦点且斜率为1的直线L:,交双曲线E于A,B两点,则不妨设,又,点C在双曲线E上:‎ ‎*(1)‎ 又 联立直线L和双曲线E方程消去y得:‎ 由韦达定理得:,代入(1)式得:‎ ‎(江苏)、如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k N M P A x y B C ‎(1)当直线PA平分线段MN,求k的值;‎ ‎(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;‎ ‎(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB ‎(湖南)如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎(Ⅰ)求,的方程;‎ ‎(Ⅱ)设与轴的交点为M,过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎(i)证明:;‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问:是否存在直线,使得=?‎ 请说明理由。‎ 解析:(I)由题意知,从而,又,解得。‎ 故,的方程分别为。‎ ‎(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.‎ 由得,‎ 设,则是上述方程的两个实根,于是。‎ 又点的坐标为,所以 故,即。‎ ‎(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为 又直线的斜率为 ,同理可得点B的坐标为.‎ 于是 由得,‎ 解得或,则点的坐标为;‎ 又直线的斜率为,同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知,解得 或。‎ 又由点的坐标可知,,所以 故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和。‎ ‎(湖北)如图,直角坐标系所在平面为,直角坐标系(其中与轴重合)所在的平面为,。‎ ‎(Ⅰ)已知平面内有一点,则点在平面内的射影的坐标为 ;‎ ‎(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是,则曲线在平面内的射影的方程是 。‎ ‎(湖北)平面内与两定点,连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程,并讨论的形状与值得关系;‎ ‎(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。试问:在撒谎个,是否存在点,使得△的面积。若存在,求的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎(广东)设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切.‎ ‎(1)求C的圆心轨迹L的方程.‎ ‎(2)已知点且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.‎ ‎(福建)已知直线l:y=x+m,m∈R。‎ ‎(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程;‎ ‎(II)若直线l关于x轴对称的直线为,问直线与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由。‎ ‎(安徽)设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足,求点的轨迹方程。‎ ‎(北京)已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A,B两点.‎ ‎ (I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;‎ ‎ (II)将表示为m的函数,并求的最大值.‎ 解:(Ⅰ)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 ‎(Ⅱ)由题意知,.‎ 当时,切线l的方程,点A、B的坐标分别为 此时 当m=-1时,同理可得 当时,设切线l的方程为 由 设A、B两点的坐标分别为,则 又由l与圆 所以 由于当时,‎ 所以.‎ 因为 且当时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2.‎
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