【数学】2021届一轮复习人教版文61坐标系作业

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【数学】2021届一轮复习人教版文61坐标系作业

课时作业61 坐标系 ‎ [基础达标]‎ ‎1.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ,μ的值.‎ 解析:将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式得:‎ +=1即2x2+2y2=1,与x2+y2=1,‎ 比较系数得所以 ‎2.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-)2+(y+1)2=9,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线OP:θ=(ρ∈R)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.‎ 解析:(1)(x-)2+(y+1)2=9可化为 x2+y2-2x+2y-5=0,‎ 故其极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,‎ 所以ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,‎ 所以|MN|=|ρ1-ρ2|==2.‎ ‎3.[2020·烟台模拟]以平面直角坐标系为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρsin=,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos.‎ ‎(1)写出C1,C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)设M,N分别是曲线C1,C2上的两个动点,求|MN|的最小值.‎ 解析:(1)依题意ρsin=ρsin θ-ρcos θ=,‎ 所以曲线C1的普通方程为x-y+2=0,‎ 因为曲线C2的极坐标方程为:‎ ρ2=2ρcos=ρcos θ+ρsin θ,‎ 所以x2+y2-x-y=0‎ 即2+2=1.‎ ‎(2)由(1)知圆C2的圆心,所以圆心到直线x-y+2=0的距离:‎ d==,‎ 又半径r=1,所以|MN|min=d-r=-1.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1(0≤θ<2π),M、N分别为C与x轴、y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ 解析:(1)由ρcos=1得 ρ=1.‎ 从而C的直角坐标方程为x+y=1,‎ 即x+y=2.‎ 当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).‎ 当θ=时,ρ=,‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为,‎ 则P点的极坐标为,‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎5.[2018·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎6.[2020·安徽省考试试题]在直角坐标系xOy中,直线l1:x=0,圆C:(x-1)2+(y-1-)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线l1和圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设l1,l2与圆C 的公共点分别为A,B,求△OAB的面积.‎ 解析:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ ‎∴直线l1的极坐标方程为ρcos θ=0,即θ=(ρ∈R),‎ 圆C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0.‎ ‎(2)设A,B,将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,‎ 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ1=1+.‎ 将θ=代入ρ2-2ρcos θ-2(1+)ρsin θ+3+2=0,‎ 得ρ2-2(1+)ρ+3+2=0,解得ρ2=1+.‎ 故△OAB的面积为×(1+)2×sin=1+.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎7.[2019·长沙市统一模拟考试]在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为(φ为参数),过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A,B两点.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求l和M的极坐标方程;‎ ‎(2)当a∈时,求|OA|+|OB|的取值范围.‎ 解析:(1)由题意可得,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1,‎ 因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,‎ 所以M的极坐标方程为ρ2-2(cos θ+sin θ)ρ+1=0.‎ ‎(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),且ρ1,ρ2均为正数,‎ 将θ=α代入ρ2-2(cos θ+sin θ)ρ+1=0,‎ 得ρ2-2(cos α+sin α)ρ+1=0,‎ 当α∈时,Δ=4sin 2α>0,‎ 所以ρ1+ρ2=2(cos α+sin α),‎ 根据极坐标的几何意义,|OA|,|OB|分别是点A,B的极径.‎ 从而|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2(cos α+sin α)=2sin .‎ 当α∈时,α+∈,‎ 故|OA|+|OB|的取值范围是(2,2].‎
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