【数学】2019一轮复习苏教版回归教材纠错例析帮你减少高考失分点1学案
1.集合与常用逻辑用语
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的
互异性．
[问题 1] 已知集合 A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若 1∈A，则实数 a＝________.
答案 0
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝
f(x)}——函数的定义域；{y|y＝f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点
集．
[ 问 题 2] 已 知 集 合 M ＝ {y|y ＝ x2 ＋ 1 ， x∈R} ， N ＝ {y|y ＝ x ＋ 1 ， x∈R} ， 则 M∩N ＝
__________.
答案 {y|y≥1}
3．在解决集合间的关系和集合的运算时，不能忽略空集的情况．
[问题 3] 已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1
”的否定是“≤”，“都”的否定是“不都”．
[问题 7] 命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是________．(填序号)
①∀n∈N*，f(n)∉N*且 f(n)＞n；
②∀n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)＞n；
③∃n∈N*，f(n)∉N*且 f(n)＞n；
④∃n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)＞n.
答案 ④
8．求参数范围时，要根据条件进行等价转化，注意范围的临界值能否取到，也可与补集思想
联合使用．
[问题 8] 已知命题 p：∃x∈R，ax 2＋x＋1
2≤0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是
________．
答案 (1
2，＋∞)
解析 因为命题 p 是假命题，所以綈 p 为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋1
2>0 恒成立．当 a＝0
时，x>－1
2，不满足题意；当 a≠0 时，要使不等式恒成立，则有Error!
即Error!解得Error!所以 a>1
2，
即实数 a 的取值范围是(1
2，＋∞).
易错点 1 忽视空集
例 1 已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合 B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若 B⊆A，求实数 p 的
取值范围．
易错分析 忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论，即 B＝∅时，符合题设．
解决有关 A∩B＝∅，A∪B＝∅，A⊆B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解．
解 集合 A＝{x|－2≤x≤5}，
①当 B≠∅时，即 p＋1≤2p－1⇒p≥2.
由 B⊆A 得－2≤p＋1 且 2p－1≤5.
由－3≤p≤3，∴2≤p≤3.
②当 B＝∅时，即 p＋1>2p－1⇒p<2.
由①②得 p≤3.
易错点 2 忽视区间端点的取舍
例 2 记 f(x)＝ 2－x＋3
x＋1的定义域为 A，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a＜1)的定义域为 B.
若 B⊆A，求实数 a 的取值范围．
易错分析 在求解含参数的集合间的包含关系时，忽视对区间端点的检验，导致参数范围扩
大或缩小．
解 ∵2－x＋3
x＋1≥0，∴x－1
x＋1≥0.
∴x＜－1 或 x≥1，即 A＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)．
由(x－a－1)(2a－x)＞0，
得(x－a－1)(x－2a)＜0.
∵a＜1，∴a＋1＞2a，∴B＝(2a，a＋1)．
∵B⊆A，∴2a≥1 或 a＋1≤－1，
即 a≥1
2或 a≤－2，而 a＜1，
∴1
2≤a＜1 或 a≤－2.
故当 B⊆A 时，实数 a 的取值范围是
(－∞，－2]∪[1
2，1 ).
易错点 3 混淆充分条件和必要条件
例 3 已知 a，b∈R，下列四个条件中，使 a>b 成立的必要不充分的条件是__________．(填
序号)
①a>b－1；②a>b＋1；③|a|>|b|；④2a>2b.
易错分析 在本题中，选项是条件，而“a>b”是结论．在本题的求解中，常误认为由选项
推出“a>b”，而由“a>b”推不出选项是必要不充分条件．
解析 由 a>b 可得 a>b－1，但由 a>b－1 不能得出 a>b，∴a>b－1 是 a>b 成立的必要不充分
条件；由 a>b＋1 可得 a>b，但由 a>b 不能得出 a>b＋1，∴a>b＋1 是 a>b 成立的充分不必要
条件；易知 a>b 是|a|>|b|的既不充分又不必要条件；a>b 是 2a>2b 成立的充要条件．
答案 ①
易错点 4 对命题否定不当
例 4 已知 M 是不等式ax＋10
ax－25≤0 的解集且 5∉M，则 a 的取值范围是________________．
易错分析 题中 5∉M 并不能转化为5a＋10
5a－25>0，题意中还有分式无意义的情形，本题可从集合
的角度用补集思想来解．
解析 方法一 ∵5∉M，原不等式不成立，
∴5a＋10
5a－25>0 或 5a－25＝0，
∴a<－2 或 a>5 或 a＝5，故 a≥5 或 a<－2.
方法二 若 5∈M，则5a＋10
5a－25≤0，
∴(a＋2)(a－5)≤0 且 a≠5，∴－2≤a<5，
∴当 5∉M 时，a<－2 或 a≥5.
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
1．(2017·江苏江阴中学月考)已知集合 A＝{x|x≤0}，B＝{－1,0,1,2}，则 A∩B＝________.
答案 {－1,0}
解析 ∵A＝{x|x≤0}，B＝{－1,0,1,2}，
∴A∩B＝{－1,0}．
2 ． 设 全 集 U ＝ R ， A ＝ Error! ， B ＝ {x|2x ＜ 2} ， 则 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为
______________．
答案 {x|1≤x＜2}
解析 A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，由题图可知阴影部分表示的集合为(∁UB)∩A＝{x|1≤x＜
2}．
3．(2017·江苏常州竹箦中学摸底)已知集合 A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且 A⊆B，则 a＝
________.
答案 －2
解析 ∵集合 A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且 A⊆B，
∴a＋3＝1，解得 a＝－2.
4．已知集合 A＝Error!，B＝{x∈R|(x－2a)·(x－a2－1)＜0}，若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范
围是____________．
答案 {1}∪[2，＋∞)
解析 由x－4
x＋1≤0，得 A＝{x∈R|－1＜x≤4}，B＝{x∈R|(x－2a)(x－a2－1)＜0}＝{x∈R|2a＜x
＜a2＋1}．若 B≠∅，则在数轴上可以看出 2a≥4，所以 a≥2；若 B＝∅，只能 a＝1.
5．已知命题 p： |2x－3|>0，命题 q：x2－3x<0，则 p 是 q 的________________条件．(填
“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 不等式 |2x－3|>0⇔0<|2x－3|<1⇔
－1<2x－3<0 或 0<2x－3<1⇔10 的解集为 A＝(1，3
2 )∪(3
2，2 ).
而不等式 x2－3x<0 的解集为 B＝(0,3)，因此 AB.
从而可知 p 是 q 的充分不必要条件．
6．已知 p：关于 x 的函数 y＝x2－3ax＋4 在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x 为减函数，
若 p 且 q 为真命题，则 a 的取值范围是____________．
答案 (1
2，2
3 ]
解析 p⇔a∈(－∞，2
3]，q⇔a∈(1
2，1 )，
∴a∈(1
2，2
3 ].
7．已知集合 A＝{x|x2－2x－8≤0}，B＝{x|x 2－(2m－3)x＋m(m－3)≤0，m∈R}，若 A∩B＝
[2,4]，则实数 m＝________.
答案 5
解析 由题意知，A＝[－2,4]，B＝[m－3，m]，
1
2
log
1
2
log
1
2
log
因为 A∩B＝[2,4]，
故Error!
则 m＝5.
8．已知条件 p：x2＋2x－3>0，条件 q：x>a，且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，则 a 的取值
范围为__________．
答案 [1，＋∞)
解析 由 x2＋2x－3>0，可得 x>1 或 x<－3，
“綈 p 是綈 q 的充分不必要条件”等价于“q 是 p 的充分不必要条件”，故 a≥1.
9．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则 A*B
中元素的个数是________．
答案 10
解析 因为 A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以 A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
因为 x∈A∩B，所以 x 可取 0,1；
因为 y∈A∪B，所以 y 可取－1,0,1,2,3.
则(x，y)的可能取值如下表所示：
y
x －1 0 1 2 3
0 (0，－1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3)
1 (1，－1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3)
故 A*B 中的元素共有 10 个．
10．给出下列命题：
①命题：“存在 x>0，使 sin x≤x”的否定是：“对任意 x>0，sin x>x”；
②函数 f(x)＝sin x＋ 2
sin x (x∈(0，π))的最小值是 2 2；
③在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2B，则△ABC 是等腰或直角三角形；
④若直线 m∥直线 n，直线 m∥平面 α，那么直线 n∥平面 α.
其中正确的命题是________．(填序号)
答案 ①③
解析 易知①正确；
②中函数 f(x)＝sin x＋ 2
sin x (x∈(0，π))，令 t＝sin x，则 g(t)＝t＋2
t，t∈(0,1]为减函数，
所以 g(t)min＝g(1)＝3，故②错误；
③中由 sin 2A＝sin 2B，可知 2A＝2B 或 2A＋2B＝π，即 A＝B 或 A＋B＝π
2，故③正确；
④中直线 n 也可能在平面 α 内，故④错误．
