【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1)

【数学】2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 (1)

‎ 2020届一轮复习人教A版 几何证明选讲 课时作业 ‎1、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎2、一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为(　　)‎ A. B. C. D .‎ ‎3、已知圆的半径为2，圆的一条弦的长是3， 是圆上的任意一点，则的最大值为 ( )‎ A. 9 B. 10 C. D. ‎ ‎4、如图， 是圆的直径， 是圆上的点， ， ， ，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 5、如图， ，垂足分别为，若，则的长为__________．‎ ‎6、已知点是半径为4的圆内的一个定点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与半径相交于点，则的最大值为_________.‎ ‎7、如下图中, 是边上一点,若,且,则=_________.‎ ‎ 8、如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.‎ ‎9、如图，已知圆是的外接圆，，是边上的高，是圆的直径．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．‎ ‎10、如图，在中，，以为直径的圆交于点是边上一点，与圆交于点，连接.‎ ‎（1）证明：四点共圆；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎11、如图，已知是圆的切线，为切点，是圆的割线，与圆交于，两点，圆心在的内部，点是的中点.‎ ‎（1）证明，，，四点共圆；‎ ‎（2）求的大小.‎ ‎12、如图，在中，是其垂心，的延长线与边和的外接圆分别交于点、，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎13、如图，锐角的内心为，过点作直线的垂线，垂足为点，点为内切圆与边的切点.‎ ‎（1）求证: 四点共圆；‎ ‎（2）若，求的度数.‎ ‎14、如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．‎ ‎15、如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦分别交于点.‎ 求证：.‎ ‎16、在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修4—1：几何证明选讲 如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．‎ ‎（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；‎ ‎（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值．‎ C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．‎ D．选修4—5：不等式选讲 设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．‎ ‎17、如图，点，，，在圆上，，的延长线交于点，，交于点，且．若，，求的长．‎ ‎18、如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．‎ ‎19、如图，为的直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点，‎ 若，求证：.‎ ‎20、在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2＝AB·ED．‎ 参考答案 ‎1、答案：C 如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，‎ 则线AB所对的圆心角∠AOB=，‎ 作OM⊥AB,垂足为M,在Rt△AOM中,AO=r,∠AOM=，‎ ‎∴AM=r,AB=r，‎ ‎∴l=r，由弧长公式 l=|α|r，‎ 得,α===.‎ 本题选择C选项.‎ ‎2、答案：C 如图，‎ 等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在 中， ， ，‎ ‎∴， ，∴，由弧长公式，得．‎ 故选 C.‎ ‎3、答案：C 如图所示,连接OA，OB.‎ 过点O作OC⊥AB，垂足为C.‎ 则.‎ ‎∴cos∠OAB=‎ 当且仅当且同向时取等号。‎ ‎∴的最大值 故选C.‎ ‎4、答案：B 由题意得 过圆心，所以 ‎5、答案：‎ ‎∵AC⊥BC，DE⊥BC，∴DE∥AC，‎ ‎∵AC=6，DE=4，∴==，‎ 设AD=x，则AB=3x，由射影定理可得36=x？3x，‎ ‎∴x=2，∴BD=4‎ 由射影定理可得CD==.‎ 故答案为： .‎ ‎6、答案：4‎ ‎∵A是半径为4的圆C内一个定点，P是圆C上的一个动点，‎ 线段MP的垂直平分线l与半径CP相交于点Q，‎ ‎∴|CQ|+|QM|=|CQ|+|QP|=|CP|=4，‎ ‎∴，‎ ‎∴|CQ|？|QM|？4，‎ 当且仅当Q为CP中点时取等号，‎ ‎∴|CQ|？|QM|的最大值为4.‎ 故答案为：4.‎ ‎7、答案：‎ 由三角形的相似关系可得： ，‎ 由可得： ，则：‎ ‎，‎ 据此可得： .‎ ‎8、答案：(1)详见解析;(2).‎ 试题分析：（1）连接，由，得~，由对应边成比例即得；（2）是圆的切线，~，设，得，，故.‎ 试题（1）连接.则有为直角三角形，所以，又 所以，所以 即，又，故 ‎（2）因为为圆的切线，所以 又，从而解得 因为，‎ 所以，所以，即. 9、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）连结，则有为直角三角形，∴，再利用，即可证明；（2）证明，即可得到的长．‎ 试题（1）连结，则有为直角三角形，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴‎ 即 ‎∵，∴‎ ‎（2）∵为圆的切线，∴‎ ‎∴，∵‎ ‎∴，∴，∴．‎ ‎【考点】相似三角形的应用；与圆有关的比例线段． 10、答案：（1）证明见解析；（2）．‎ 试题分析：（1）由直角三角形相识，圆周角定理得，从而进而可证结论；（2）先根据射影定理求得，从而得进而利用相交弦定理可得的值．‎ 试题（1）证明:连接是的直径,,‎ ‎,,‎ 四点共圆．‎ ‎（2）连接是的直径,,‎ 即四点共圆,．‎ ‎【考点】1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理． 11、答案：（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ 试题分析：（Ⅰ）点P是圆的切点，所以,点M是弦BC的中点，所以,可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据,易得的大小.‎ 试题（Ⅰ）证明：连结，．‎ 因为与圆O相切于点，所以．‎ 因为是圆O的弦的中点，所以．‎ 于是．‎ 由圆心在的内部，‎ 可知四边形的对角互补，所以，，，四点共圆．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，，，四点共圆，所以．‎ 由（Ⅰ）得．‎ 由圆心在的内部，可知．‎ 所以．‎ ‎【考点】圆的相关性质 12、答案：（1）（2）见解析 试题分析：（1）根据垂心的定义可得,再根据可得,因此.（2）先根据三角形相似得,再根据等角对等边得,即得结论 试题解：（1）在中，是其垂心，CE交AB于H,有，‎ 又，所以，故.‎ ‎（2）由（1）知，则，即，连接，则，所以，可知，从而有. 13、答案：（1）见推证过程；（2）。‎ ‎【试题分析】（1）借助题设条件“由圆与边相切于点”可得，再由 ，得进行推证；（2）借助（1）的结论可推得，及，进而求得，由，得到推出：‎ 解：连接.‎ ‎（1）由圆与边相切于点，得，由 ，得，‎ ‎∴点在以为直径的圆上，即四点共圆.‎ ‎（2） 由（1）知四点共圆，‎ ‎∴，‎ 又 ，‎ 由，得，‎ ‎∴，由得.‎ ‎14、答案：见解析 试题分析：根据平角得三点共线，根据同弦所对角相等得四点共圆．根据四点共圆性质得，即得，同理可得，根据等量性质得．‎ 试题解析:解：延长、分别与圆、圆相交于点，连结．则，所以三点共线．‎ 又，于是四点共圆．‎ 故，从而，因此，同理 ‎．所以． 15、答案：试题分析：连结PA，PB，CD，BC，因为∠PAB=∠PCB，‎ 又点P为弧AB的中点，所以∠PAB=∠PBA，所以∠PCB=∠PBA．又∠DCB=∠DPB，‎ 所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，所以E，F，D，C四点共圆．‎ 试题 连结PA，PB，CD，BC．‎ 因为∠PAB=∠PCB，‎ 又点P为弧AB的中点，所以∠PAB=∠PBA，‎ 所以∠PCB=∠PBA．又∠DCB=∠DPB，‎ 所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，‎ 所以E，F，D，C四点共圆．‎ 所以．‎ ‎ 16、答案：见解析.作差比较，化简得出原式=，即可作出证明。‎ 试题 证明：a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2‎ ‎＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4.‎ 因为a≠b，所以(a－b)4＞0，所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．‎ 试题分析：（1）因为是圆的切线，故由切割线定理得，设，列出方程，即可求解的值，得到的长；‎ ‎（2）根据和相似，列出比例关系式，即可得出证明。‎ 试题 解：（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA．‎ 设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，‎ 所以42＝8(8－t)，解得t＝6，即线段AM的长度为6.‎ ‎（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB．又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，‎ 所以＝．‎ 因为AB＝2AC，所以BN＝2MN．‎ B．选修4—2：矩阵与变换 设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0.求实数a，b的值． 17、答案：‎ 试题分析：利用题意结合圆的性质和相似三角形的性质可得DF=1.‎ 试题 因为，所以．‎ 因为，所以．‎ 因为，，‎ 所以，又．‎ 所以，故．‎ 所以，又因为，‎ 所以∽，则．‎ 又因为，，所以． 18、答案：45°‎ 试题分析：同弧或等弧所对的圆周角相等，利用等量代换，借助角与角的关系求出所求的角.‎ 试题连结，．‎ 因为为弧的中点，所以．‎ 而，‎ 所以，‎ 即．‎ 又因为，‎ 所以，‎ 故．‎ 名师点评：平面几何选讲部分要注意与圆有关的定理，特别是涉及到角的关系的定理，寻求角的相等，边与边的关系，大多利用全等三角形或相似三角形解题. 19、答案：试题分析：根据弦切角定理得，而可得，因此，即得，因此.‎ 试题解：连接，‎ 因为为切线且点为切点，所以，‎ 因为,‎ 所以 又因为 所以 故，所以，从而. 20、答案：试题分析：连接BD，利用相似三角形的结论可得AD2＝AB·ED．‎ 试题 连接BD，因为直线AE与圆O相切，所以∠EAD＝∠ABD．‎ 又因为AB∥CD，所以∠BAD＝∠ADE，‎ 所以△EAD∽△DBA．‎ 从而＝，所以AD2＝AB·ED． ‎