高考数学湖北卷分析

高考数学湖北卷分析

‎2014年高考数学湖北卷分析 孝感高中 姚继元 ‎2014年高考已经落下帷幕，今年是湖北省高考自主命题第十一年，又是实施新课改的第三年，今年的湖北卷既延续了以往的特色，又让人耳目一新。下面我想从试卷风格，试卷结构和试卷内容三个方面谈谈我的看法。‎ 一、 试卷风格：稳中求新 突出能力 今年湖北卷稳中求变出新，进一步突出能力立意，深化课改理念，提升文化含量。‎ 理科卷T6以信息题的形式考查了基本初等函数的性质和定积分，借此考查学生的运算求解能力、推理论证能力。试题稳中求新，湖北省历年此类的题目不在少数，如12年理科湖北卷T7的“保等比数列”，10年理科湖北卷T10的“倾斜度”等，均是对课本例习题的深加工。‎ 理科T8文T10以古籍为背景考查近似计算，与12年理科湖北卷T10“开圆立术”如出一辙，考查学生的运算能力。此题为试卷增加不少亮色，突出了数学史、数学文化、以及数学与生活的联系。‎ 理科T14考察了直线方程、函数与不等式，是一个开放性问题，是对课本必修5 P98 探究 不等式的几何解释这部分内容的深加工，这是均值不等式的几何证明方法。在解答过程中既需要学生能够画图识图，更需要学生能够大胆猜想小心论证。这种加工很巧妙，既让人感觉似曾相识，又需要更上一层楼，才能一览众山小。‎ 理科T22形式新颖，初一看会有湖北卷风格大变的错觉，细细品味，与往年湖北卷T22题考查内容相似，同时也考查推理论证能力与运算求解能力，有一种新坛装老酒的感觉。‎ 二、试卷结构：结构稳定 注重立意 今年的湖北数学文理卷严格遵循我省《考试说明》的规定，文理全卷在整体结构、题型题量、赋分权重、考查内容、考核目标等方面与去年试卷基本一致。考查范围囊括了高中教材的各章节内容，解答题在稳定结构的前提下，适度变化题型，难度整体下调。降低前三题的绝对难度，文理科“数列题”、“解几题”相同设置，而“三角题”、“立几题”和“函数题”分别配置为姊妹题，将文科前两年的“立几与应用”交汇改为今年难度相对下降的“三角与应用”交汇，将理科第21题赋分由以往的13分调至与文科第22题相同的14分。‎ 除了达到知识的全覆盖，湖北卷同样突出立意。高考数学命题经历了以“知识立意”到以“问 题立意”再发展为以“能力立意”的过程，以能力立意命题保障了高考突出能力与学习潜能考查的要求，拓展了命题思路。‎ 知识立意的试题，体现“双基”的识记和简单套用。容易题起点和难度降低,如文科T18、理科T17所给的背景均是源于课本必修4P62例4的改编，试题两问的思维量和运算量都非常小，是送分到位的题目。‎ 能力立意的试题体现“双基”的积累和灵活运用。理科T5文科T7考察空间直角坐标系及三视图，本题一改以往已知三视图得几何体的模式，变为已知几何体画三视图，考察学生的空间想象能力，这是湖北卷第一次考察底面朝上的锥体的三视图，可谓推陈出新。‎ 理科T19以水电站电机运行为背景考查概率知识和数据处理能力及应用意识，本题与选修2-3 P63例3 “出现洪水设计方案使损失最小”极其神似。引导学生关注社会，让学生学会用数学知识解决生活中的问题，体现了新课标的教学要求。‎ 理科T20本题考查的曲线为两条曲线的组合，进而考查过定点直线与曲线的交点问题，本题把射线、直线、和抛物线融为一体，在探究与解答的过程中体现了数形结合的思想．此题由选修2-1P71例4改编而来，数据几乎没有变化。其特点是“似曾相识但又不完全相识”、“难度不高但又要看透本质”、“入手容易但又要准确运算”．学生容易在第一问分类讨论和第二问的计算中出现问题，导致失分。‎ 三、试卷内容：源于课本 推陈出新 湖北卷的试题与课本知识及历年湖北卷有着千丝万缕的联系，下面我们来具体分析一下2014年理科湖北卷的试题。‎ 前3个小题延续了以往的做法，考察基本知识，没有涉及知识交互，均为课本习题的简单改编。‎ ‎4.根据如下样本数据 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎0.5‎ 得到的回归方程为，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ 第4小题考察了线性回归，这是新课改以来湖北省理科卷的首次，当然也在意料之中。因为13文科卷T4考察了线性回归，本题是课本必修3P90例题的改编。‎ 母题：（13湖北卷文T4）四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎① y与x负相关且； ② y与x负相关且； ‎ ‎③ y与x正相关且； ④ y与x正相关且.‎ 其中一定不正确的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④‎ 5. 在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），‎ ‎（1,2,1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）‎ A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② ‎ 第5小题考察空间直角坐标系及三视图，本题一改以往已知三视图得几何体的模式，变为已知几何体画三视图，也是第一次考察底面朝上的锥体的三视图，可谓推陈出新。‎ ‎6.若函数上的一组正交函数，给出三组函数：①；②；③‎ 其中为区间上的正交函数的组数是（ ）‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ 第6小题是以信息题的形式出现，考察定积分及基本初等函数的性质，此题与2012年湖北卷的“保等比”数列、10年理科湖北卷T10的“倾斜度”、07年的“等方比”数列均是对课本例习题的深加工。‎ 母题：（2012湖北卷理科T7）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①；②；③；④。‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ 7. 由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第7小题考察平面区域及几何概型，此题与2012年湖北卷理科T8 一脉相承。 ‎ 母题：（2012湖北卷理科T8）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A． B． C． D．‎ ‎ 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.‎ 该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 A. B. C. D.‎ 第8小题以古代数学典籍内容为背景，考察近似计算。首先它突出了数学史、数学文化、以及数学与生活的联系。此题与2012年湖北卷T10“开圆立术”非常相似。相似的背景、相似的考察内容。当然与之类似的还有2011湖北卷的“竹九节”也是以数学史、数学文化、以及数学与生活的联系为背景，考察数列知识。‎ 母题：（12湖北卷理科T10）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据x=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 A． B． C． D．‎ ‎9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,‎ 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ 第9小题考察柯西不等式以及椭圆、双曲线的基本性质，是多个高考题的加工与整合，综合性较强。‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A．[] B．[] C．[] D．[]‎ ‎ 第10题考察函数的性质、绝对值的性质及函数图像的平移，难度并不大，而近两年湖北卷考察零点或近似计算，此题丰富了湖北卷的内涵。‎ 第11、12题考查向量、直线与圆的知识，送分的意思很明显。‎ ‎13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.‎ 第13题是本次试卷的另一个亮点，考察了数学文化——磁力数，与2012湖北卷“回文数”可谓异曲同工，在今后的教学中我们应该引导学生多了解一些数学文化。‎ 类比：（2012湖北卷理科T13）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。‎ 14. 设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.‎ ‎（Ⅰ）当时，为的几何平均数；‎ ‎（Ⅱ）当时，为的调和平均数；‎ ‎（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）‎ 母题：必修5 P98 探究 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形，得出不等式 的几何解释吗？‎ 第14题考察了直线方程、函数与不等式，是一个开放性问题，是对课本“基本不等式”这部分内容的深加工，这是均值不等式的几何证明方法。这种加工得很巧妙，既让人感觉似曾相识，又需要更上一层楼，才能一览众山小。湖北卷历年的这种改编不再少数，如09年理科T13以电视转播为背景考察球的知识，11年T10 以放射性元素（单位为：太贝克）为背景考察指数函数，这些虽然都源于课本，但都是对课本问题的深加工。‎ 第15、16题是选做题，考察的是选修内容，题目的位置及内容都决定了这些问题只能是中规中矩，送分为主。‎ ‎17.某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位:h）的变化近似满足函数关系:‎ ‎（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差； ‎ ‎（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？‎ 第17题考察三角函数的性质，是必修4P62例4的改编，难度不大，分送得很到位。‎ 母题：（必修4 P62例4）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码 头；卸货后，在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：‎ 时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米 ‎0:00‎ ‎5.0‎ ‎9:00‎ ‎2.5‎ ‎18:00‎ ‎5.0‎ ‎3:00‎ ‎7.5‎ ‎12:00‎ ‎5.0‎ ‎21:00‎ ‎2.5‎ ‎6:00‎ ‎5.0‎ ‎15:00‎ ‎7.5‎ ‎24:00‎ ‎5.0‎ ‎（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值.‎ ‎（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为‎4米，安全条例规定至少要有‎1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（第三问省略）‎ ‎ 18.已知等差数列满足：，且，，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式.‎ ‎（Ⅱ）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.‎ 母题：（13湖北卷理T18）已知等比数列满足： ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由.‎ 第18题考察等差、等比数列的基本性质，延续了2013年数列第（2）问考察解数列不等式的风格。‎ ‎ 19.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.‎ ‎（Ⅰ）当时，证明：直线∥平面;‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎ 第19题考察基本线面关系的证明及二面角的知识，这是近几年来第二次考察存在性问题，2012年T19立体几何也是在考察存在性问题。本题为课本选修2-1 P113 B组T2的改编。‎ 母题：选修2-1 P113 B组T2‎ 在如图的试验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，‎ ‎（Ⅰ）求MN的长； （Ⅱ）a为何值时，MN的长最小？‎ ‎（Ⅲ）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。‎ ‎20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库 年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；‎ 年入流量X ‎40＜X＜80‎ ‎80≤X≤120‎ X＞120‎ 发电机最多可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ 第20题考察二项分布互斥事件及分布列方差，此题运算量偏大。‎ 母题：选修2-3 P63例3 ：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元，为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。‎ 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水。‎ 方案3：不采取措施。‎ 试比较哪一种方案好。‎ ‎ 第21、22题可谓进一步诠释了“源于课本，推陈出新”这个特色，而且新得让人有些意外。‎ ‎21.在平面直角坐标系中，点M到点的距离比它到轴的距离多1. 记点M的轨迹为C.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹为C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为k的直线过定点.求直线与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.‎ 此题由选修2-1P71例4改编而来，数据几乎没有变化，背景略有改变，轨迹由两部分组成，整体难度并不大。正是由于此题难度较往年大减，使得今年湖北理科卷整体难度有所下降，在前两年的湖北卷中解析几何问题总是给人以“背景难，字母多，运算繁”的印象。大部分同学几乎不敢动笔。‎ 母题：(10湖北理T19)已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有 若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎22.为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.‎ ‎（Ⅲ）将e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.‎ 往年湖北卷T22是在考察导数和不等式，第一问为第二问做铺垫。此题虽然在面貌上让人觉得耳目一新，但细细品味，本题考察了导数的应用，不等式的证明，数据的估算等知识，其实与前几年湖北卷的风格相似，新坛装老酒。第一问先证明一个不等式，第二三问要利用这个不等式证明其他结论，第三问需要通过赋值证明不等式，与2013年理科T22第二问如出一辙。试题分层推进，既考虑到能让优秀考生脱颖而出，又顾及到能使一般考生不至于望题生叹，各得其所，全面考查考生的后继学习的潜能.‎ ‎ 纵观2014理科湖北卷，稳中有变，推陈出新。在平常的教学中我们应注意以下几点：‎ ‎（1）立足课本，引导学生搞清楚知识的来龙去脉，减少拿来主义，加强对课本例、习题的改编。‎ ‎（2）引导学生学习、了解一些数学文化、数学典籍。‎ 四、备考建议 ‎ 1.重视课本 当前教学存在的问题：忽视教材、轻视基础.而课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性. 从近几年湖北卷试题分析可以看出,有相当一部分试题取材于课本,考查对课本中基本概念、公式、定理的多角度、多层次地理解与灵活地应用.在复习中我们可引导学生重视课本的例习题，可对课本的例习题适当改编以考察学生的理解与应变能力。‎ ‎2.关注新课改内容 复习传统内容要更加关注新课改高考试题要支持新课程改革，要体现新课改的理念，很大程度是通过新增内容来实现的，如13文科湖北卷T4和14湖北卷理4文6就考察了线性回归的知识，这些值得我们重视和关注。‎