高考理科数学最后的复习所有题型归纳总结

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在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 1 页 共 61 页 高考各题型知识点详细罗列 一、集合  子集、真子集等集合个数 若全集 ，则集合 的真子集共有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个  绝对值不等式和一元二次不等式 设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D．  对数指数函数不等式 设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． { } { }0,1,2,3 2UU C A= =且 A 3 5 7 8 { }2 2A x a x a= − < < + { }2 4 5 0B x x x= − − < ABA =∩ a [ ]1,3 ( )1,3 [ ]3, 1− − ( )3, 1− − { }1 3x xΡ = + ≤ ( )1Q , 2,13 x y y x    = = ∈ −      QΡ = 14, 9  −   1 ,29      1 ,23      1 ,23      你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 2 页 共 61 页  分式不等式 已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D．  定义域和值域 若集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、复数  复数计算 复数 =（ ） 　A. B. C. D.  共轭 复数 z 满足 （i 为虚数单位），则 z 的共轭复数 为（ ） }01 3|{ ≥+ −= x xxA }2log|{ 2 <= xxB =BAC )( R )3,0( ]3,0( ]4,1[− )4,1[− }1,log|{}1,2|{ 2 ≥==−<== xxyyPxyyM x ， =PM  }2 10|{ << yy }10|{ << yy }12 1|{ << yy }2 10|{ <≤ yy ( 3)(2 ) 5z i− − = z 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 3 页 共 61 页 　A． B． C． D．  求模 若复数 满足 ，则 的实部为 （A） （B） （C） （D） 已知复数 满足 ，则 （ ） A、1 B、0 C、 D、2  象限 已知复数 ，则 z-|z|对应的点所在的象限为（ ） 　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限  i 的多次方 复数 等于（ ） 　A． B． C． D． z 1 1z i i i− = − +（ ） z 2 1 2 − 2 1− 1 2 1 2 + iz −= 1 1 2 i+ 2 i− 5 i+ 5 i− z 1 1 z iz − =+ 1 z+ = 2 i 1− i− 1 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 4 页 共 61 页 三、向量  数量积 已知 ， ， ，则 =（ ） A．﹣8 B．﹣10 C．10 D．8 设 ,向量 且 ,则 （ ） A． B． C． D．  夹角公式 已知两个非零向量 满足 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D．  平行与垂直 已知向量 ，若 ，则向量 与向量 的夹角的 余弦值是（ ） A． B． C． D． x R∈ ( ,1), (1, 2),a x b= = −  a b⊥  | |a b+ =  5 10 2 5 10 ,a b  ( ) 0a a b⋅ − =   2 a b=  ,a b< >=  30 60 120 150 ( ) ( ) ( )3,1 , 1,3 , , 2a b c k= = = −   ( )//a c b−   a c 5 5 1 5 5 5 − 1 5 − 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 5 页 共 61 页  投影 已知点 则向量 在 方向上的投影为（ ） A． B． C． D．  平面向量基本定理 已知| |=1，| |=2，∠AOB=150°，点 C 在∠AOB 的内部且∠AOC=30°，设 =m +n ，则 =（ ） A． B．2 C． D．1 在△ABC 中，已知 D 是 BC 延长线上一点，若 ，点 E 为线段 AD 的中点， ，则 λ=（ ） A． B． C． D． ( 1,1). (1,2). ( 2, 1). (3,4)A B C D− − − AB CD 3 2 2 3 15 2 3 2 2 − 3 15 2 − 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 6 页 共 61 页 四、三角函数  平方和 1、三角函数关系 已知 是第二象限角， ，则 （ ） A． B． C． D． 如果角 满足 ，那么 的值是（ ） A．-1 B．-2 C．1 D．2 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 若 ，则 sin2α 的值为（ ） α 8tan 15 α = − sinα = 1 8 1 8 − 8 17 − 8 17 θ sin cos 2θ θ+ = 1tan tan θ θ+ 3tan 5 α = − sin 2 =α 15 17 15 17 − 8 17 − 8 17 ( )7cos , ,025 θ θ π= − ∈ − sin cos2 2 θ θ+ = 1 25 1 5 1 5 − 1 5 ± 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 7 页 共 61 页 A． B． C． D．  诱导公式 若 ，则 （ ） A． B． C． D．  齐次式 已知 等于（ ） A． B． C． D．  三角函数图像 已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则 f（ ）=（ ） A． B． C． D． 1cos( )6 3 π α− = 5 4cos( ) cos( 2 )6 3 π πα α+ − − = 10 9 − 10 9 4 5 4 5 − αα ααα 22 22 cossin2 2cossin,2tan + +−= 则 9 13 9 11 7 6 7 4 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 8 页 共 61 页  平移伸缩变换 将函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把 所得图象上所有点向左平移 个单位，得到的图象的函数解析式是 （ ） A． B． C． D． 已知函数 ，若将函数 的图像向左平移 个单位 后所得图像对应的函数为偶函数，则实数 （ ） A． B． C． D． 已 知 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 的图象，则 的值为（ ） A、 － B、－ C、 D、 1 2 6 π sin(2 )3y x π= + 1sin( )2 12y x π= + siny x= 1sin( )2 6y x π= + sin(2 )6y x π= + ( ) ( )( )sin 2 0f x x ϕ ϕ π= + < < ( )y f x= 6 π ϕ = 5 6 π 2 3 π 3 π 6 π ( ) cos(2 )(| | )f x x ϕ ϕ π= + < 12 π ( ) sin(2 )3g x x π= − ϕ 2 3 π 3 π 3 π 2 3 π 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 9 页 共 61 页  对称轴、对称点性质 已知函数 （ ， ， ）在 时取得 最大值，且它的最小正周期为 ，则（ ） A． 的图象过点 B． 在 上是减函数 C． 的一个对称中心是 D． 的图象的一条对称轴是 函数 的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ） A． B． C． D． 若将函数 y＝tan （ω>0）的图象向右平移 个单位长度后，与函数 y＝tan 的图象重合，则 ω 的最小值为（ ） A． B． C． D． ( ) ( )sinf x xω ϕ= Α + 0Α ≠ 0ω > 2 2 π πϕ− < < 2 3x π= π ( )f x 10, 2      ( )f x 2,6 3 π π     ( )f x 5 ,012 π     ( )f x 5 12x π= xxxf 3 2cos3 2sin)( += π3 3 4π 2 3π 6 7π 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 10 页 共 61 页 设函数 对任意的 ，都有 ，若函数 ，则 的值是（ ） A．1 B．-5 或 3 C．-2 D．  单调区间与最值 如图是函数 图像的一部分，对不同的 ，若 ，有 ，则（ ） A． 在 上是减函数 B． 在 上是减函数 C． 在 上是增函数 D． 在 上是增函数 1( ) cos( )2f x xω ϕ= + x R∈ ( ) ( )6 6f x f x π π− = + ( ) 3sin( ) 2g x xω ϕ= + − ( )6g π 1 2 ( ) ( )      ≤+= 22sin πϕϕxAxf [ ]baxx ,, 21 ∈ ( ) ( )21 xfxf = ( ) 321 =+ xxf ( )xf     − 12,12 5 ππ ( )xf      6 5,3 ππ ( )xf     − 12,12 5 ππ ( )xf      6 5,3 ππ 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 11 页 共 61 页 ( )的值域为 ( ) A． B． C． D． 函数 的值域是（ ） A． B． C． D．  三角恒等变换与角之间的关系（互余、互补） 若 ，则 =（ ） A. B. C. D. ＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 cos 2 6 xy π = −   xπ π− ≤ ≤ 1 1,2 2  −   [ ]1,1− 1 ,12  −   1 3,2 2  −    cos2 2cosy x x= + [ 1,3]− 3[ ,3]2 − 3[ , 1]2 − − 3[ ,3]2 1sin( )6 3 π α− = 22cos ( ) 16 2 π α+ − 3 1 3 1− 9 7 9 7− 3 1 10 170cos sin° °－ 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 12 页 共 61 页 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 在三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 ，且满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 五、线性规划  画可行域目标函数斜截式 设 x，y 满足约束条件 ，则 x+2y 的最大值是（ ） A．1 B．2 C．1 D．﹣1 1sin( )6 3 π θ− = 2cos( 2 )3 π θ+ 1 3 1 3 − 7 9 7 9 − , ,a b c 6 4 3 a b c= = sin 2 sin sin A B C =+ 11 14 − 12 7 11 24 − 7 12 − 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 13 页 共 61 页 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D．  目标函数几何意义 已知实数 x、y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ） A．3 B．4 C．﹣3 D． 设实数 x，y 满足 则 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 已知 满足满足约束条件 ，那么 的最大值为___． x y    ≤− ≤+ ≥− 32 3 02 yx yx yx yx − 1 3 1− 3− 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y − − ≤  + − ≥  − ≤ y xz x y = + 1 10[ , ]3 3 1 5[ , ]3 2 5[2, ]2 10[2, ]3 ,x y + 10 , 2 , 3 x y x y x ≤  − ≤  ≥ 2 2z x y= + 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 14 页 共 61 页  含参数 设 ，其中实数 ， 满足 ，若 的最大值为 ，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 已知 为区域 内的任意一点，当该区域的面积为 4 时， 的最小值是（ ） A．0 B．2 C． D．6 已知变量 x，y 满足条件 若目标函数 z＝ax＋y（其中 a>0）仅在点 （3,0）处取得最大值，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． ( ),P x y ( ) 2 2 0 0 0 y x x a a  − ≤ ≤ ≤ > 2z x y= − 2 2 a 1[ , )2 +∞ 1[ , )3 +∞ 1( , )3 +∞ yxz += x y    ≤≤ ≤− ≥+ ky yx yx 0 0 02 z 6 z 3− 2− 1− 0 1( , )2 +∞ 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 15 页 共 61 页  含绝对值的 若 满足 则 的最大值为 A． B． C． D． 若不等式组 表示的平面区域是三角形，则实数 k 的取值范围是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 已知实数 满足 则 z=2x+y 的最大值为 ,x y +2 0, 4 0, 0, x y x y y − ≥  + − ≤  ≥ 2 | |z y x= − 8− 4− 1 2 3 3 (x 1) x y y k  + ≤ + ≤ + 3 3 2 4k− < ≤ 3 2k < − 3 4k ≥ 3 02 k− < < 3 4k ≥ 3 2k < − 30 4k< ≤ yx，    ≤−− ≥+− 01 .012 yx yx 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 16 页 共 61 页 A．4 B．6 C．8 D．10 六、二项式定理  基本的通项公式求解 在 的二项展开式中，第二项的系数为（ ） A.10 B. －10 C. 5 D. －5 在 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4 项 B.5 项 C.6 项 D.7 项 在 的展开式中， 的幂指数是整数的共有（ ） A． 项 B． 项 C． 项 D． 项  多因式乘积 30 3 1( )x x + x 4 5 6 7 2 51( )x x − 154 ) 2 12( +x 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 17 页 共 61 页 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ） A．-40 　B．-20 C．20 　　D．40 展开式中 的系数是（ ） A．3 B．0 C．﹣3 D．﹣6  括号里三式展开 （x2+x+y）5 的展开式中，x7y 的系数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．60  系数之和与积分 已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64， 则 n 等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 512ax xx x   + −     4 3(1 ) (1 )x x− − 2x n x x         + 3 1 3 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 18 页 共 61 页 设 则二项式 的展开式中 的系数为 A． B． C． D． 七、三视图与外接球  三视图之求体积 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C．20 D．40 2 0 (4sin cos ) ,n x x dx π = +∫ 1( )nx x − x 4 10 5 6 40 3 20 3 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 19 页 共 61 页  三视图之求表面积 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A． B． C． D．  外接球之放在正方体或长方体 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ） 28 6 5+ 30 6 5+ 56 12 5+ 60 12 5+ 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 20 页 共 61 页 A． B． C． D．  外接球之直接找球心和球半径 已知如图所示的三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， 和 所 在的平面互相垂直， ， ， ，则球 的表面积 为 A． B． C． D．  球与球的切面 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的 （ ） A． B． C． D． 八、程序框图 3 2 π 9 2 π 4 3 π 8 3 π ABCD − O ABC∆ DBC∆ 3=AB 3=AC 32=== BDCDBC O B A C D π4 π12 π16 π36 3 16 9 16 3 8 5 8 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 21 页 共 61 页  直接计算型 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6  补充条件型 如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A． B． C． D． i 2014 1 6 1 4 1 2 1 ++++  2013≤i 2015≤i 2017≤i 2019≤i 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 22 页 共 61 页  函数范围求解型 执行右面的程序框图，如果输入的 在 内取值，则输出的 的取值区间为（ ） A． B． C． D．  借助数列求和计算型 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 x [ ]1,3− y [ ]0,2 [ ]1,2 [ ]0,1 [ ]1,5− 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 23 页 共 61 页 A. B. C. D. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的 和 值分别为 （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， 九、直线和圆 2 3 3 4 4 5 5 6 K S 9 4 9 11 5 11 13 6 13 15 7 15 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 24 页 共 61 页  直线里的一些公式（直线的方程、直线平行与垂直、点到直线 距离公式、两点之间距离公式、） 已知 若 则 m＝（ ） A．m=0 B．m=1 C．m=0 或 m=1 D．m=0 或 m= 若点（1，a）到直线 x－y＋1＝0 的距离是 ，则实数 a 为（ ）． A．－1 B．5 C．－1 或 5 D．－3 或 3 已知点 在直线 上，那么 的最小值为（ ） A． B． C． D．2 不论 为何值，直线 恒过的一个定点是（ ） A． B． C． D． 1 2: 2 0, :( 1) 2 1 0,l mx y l m x my+ − = + − + = 1 2l l⊥ 1− ( , )P x y 2 5 0x y+ + = 2 2x y+ 5 2 5 5 10 k 0)4()2()12( =+−−−− kykxk )0,0( )3,2( )2,3( )3,2(− 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 25 页 共 61 页  直线里的对称 点 关于直线 的对称点 的坐标是 A． B． C． D．  直线与圆的位置关系 若直线 与曲线 相交于 两点，则直线 的倾斜 角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【 2015 高 考 重 庆 ， 理 8 】 已 知 直 线 l ： x+ay-1=0 （ a R ） 是 圆 C ： 的对称轴．过点 A（-4，a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 |AB|= （ ） A、2 B、 C、6 D、 )3,4(P 01=+− yx Q )4,2( )4,3( )5,2( )5,3( : ( 2)l y k x= − 2 2 1( 0)x y x− = > A B、 l [ )0,π 3, ,4 2 2 4 π π π π           0, 2 π    3, ,4 2 2 4 π π π π          ∈ 2 2 4 2 1 0x y x y+ − − + = 4 2 2 10 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 26 页 共 61 页  直线与圆的弦长 （ 2010• 江 西 ） 直 线 y=kx+3 与 圆 （ x﹣3 ） 2+ （ y﹣2 ） 2=4 相 交 于 M ， N 两 点 ， 若 |MN|≥2 ，则 k 的取值范围是（ ） A．[﹣ ，0] B．[﹣∞，﹣ ]∪[0，+∞] C．[﹣ ， ] D．[﹣ ，0]  圆的方程及三角形外接圆方程确定 【2015 高考新课标 2，理 7】过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点， 则 （ ） A．2 B．8 C．4 D．10  圆与圆的位置关系 圆 ： 与圆 ： 的位置关系是 A．相交 B．外切 C．内切 D．相离 (1,3)A (4,2)B (1, 7)C − | |MN = 6 6 1C 2 2 2 0x y x+ + = 2C 2 2 4 8 4 0x y x y+ − + + = 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 27 页 共 61 页  直线与圆的模型 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是（ ） A．36 B．18 C．6 D．5 若圆 C：x2+y2+2x﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a，b）向圆 C 所作切线 长的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6  圆与圆的相交弦、弦长及交点坐标 已知圆 与圆 ，则两圆的公共弦长为（ ） A． B． C． D．1 十、解三角形  边角互化型 的三个内角 所对的边分别为 ，且 ． 32 2 ABC∆ CBA ,, cba ,, aAbBAa 3 5cossinsin 2 =+ 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 28 页 共 61 页 （1）求 ； （2）若 ，求角 ．  两角互补正弦、余弦的关系型 已知 分别为 三个内角 的对边， ． （1）求 的大小； （2）若 ，求 的周长的取值范围．  平面图形型 如图，平面四边形 中， ， ， ， ，ABCD 5AB = 2 2AD = 3CD = 30CBD∠ =  a b 222 5 8 bac += C , ,a b c ABC∆ , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = A 7a = ABC∆ 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 29 页 共 61 页 ，求 （Ⅰ） ； （Ⅱ） 的面积 ．  最值问题型 在 中 ， 内 角 、 、 所 对 的 边 分 别 为 ， 其 外 接 圆 半 径 为 6 ， ， （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的面积的最大值． 120BCD∠ =  ADB∠ ADC∆ S A B D C ABC∆ A B C c,b,a 241 cos b B =− 4sin sin 3A C+ = Bcos ABC∆ 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 30 页 共 61 页 十一、数列  做数列题的小技巧 已知正数组成的等比数列 ，若 ，那么 的最小值为（ ） A．20 B．25 C．50 D．不存在 已知 为等差数列， ，则 等于（ ） A、-1 B、1 C、3 D、7 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．63 B．42 C．36 D．27 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 已知等比数列 中，各项都是正数，且 成等差数列，则 { }na 1 20 100a a⋅ = 7 14a a+ { }na 1 3 2 1, ,22a a a 9 10 7 8 a a a a + =+ { }na 99,105 642531 =++=++ aaaaaa 20a { }na n nS 3 59, 30S S= = 7 8 9a a a+ + = { }na n nS 3 4 26 2 3 5a a a+ − = 7S 28 21 14 7 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 31 页 共 61 页 A、 B、 C、 D、 等比数列 中， ， ， A． B． C． D．  求通项公式的一些方法 ①　累加法 已知数列{ }，满足 ，则 （ ） A．45 B．50 C．55 D．60 在数列 中，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 1 2+ 3 2 2+ 1 2− 3 2 2− { }na 4021 =+ aa 6043 =+ aa =+ 87 aa 135 100 95 80 na 1 1,a = 1 nn na a −− = 10a = { }na 1 2a = − 1 2n n na a n+ = + ⋅ na = ( 2) 2nn − ⋅ 11 2n − 2 1(1 )3 4n − 2 1(1 )3 2n − 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 32 页 共 61 页 ②　累乘法 在数列 中， ， ，求通项 。 ③　和 Sn 有关的式子 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式； 11 =a{ }an )( * 1 2 Naa nn n n ∈•=+ an { }na nS nS 2 2n n= + { }na 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 33 页 共 61 页 （2）令 ，且数列 的前 n 项和为 ，求 ． 为数列{ }的前 项和．已知 ＞0， = ． （Ⅰ）求{ }的通项公式； （Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和． 1 n n b S = { }nb nT nT nS na n na 2 n na a+ 4 3nS + na 1 1 n n n b a a + = nb n 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 34 页 共 61 页 ④　构造法 已知数列满足 a1=1，an＋1=2an＋1（n∈N*） （1）求证数列{an＋1}是等比数列； （2）求{an}的通项公式和前 n 项和 已知数列{an}的首项 ， ，n=1，2，3，…． （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； nS 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 35 页 共 61 页 （Ⅱ）数列 的前 n 项和 Sn．  求前 n 项和的一些方法 ①　分组求和 已知等差数列 满足： ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ． { }na 5 2 611, 18a a a= + = { }na n nn ab 3+= }{ nb n nS 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 36 页 共 61 页 ②　裂项相消 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn=2an﹣2． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn=log2an，cn= ，记数列{cn}的前 n 项和 Tn，若对 n∈N*，Tn≤k（n+4） 恒成立，求实数 k 的取值范围． ③　错位相减 已知数列 的首项 ，且满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 ． { }na 11 =a )(0)1( 11 ∗ ++ ∈=+− Nnaaa nnn { }na n n n ac 3= { }nc nS 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 37 页 共 61 页 ④　证明不等式 设 为数列 的前 项和，已知 ，对任意 ，都有 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，求证： ． nS { }na n 1 2a = n ∗∈Ν ( )2 1n nS n a= + { }na ( ) 4 2n na a    +   n n Τ 1 12 n ≤ Τ < 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 38 页 共 61 页 ⑤　放缩法 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)证明{푎 푛＋1 2}是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明 1 푎 1＋ 1 푎 2＋…＋ 1 푎 푛＜ 3 2. 十二、概率与统计  抽样与随机数表 将 800 个个体编号为 ，然后利用系统抽样的方法从中抽取 20 个个体作为样 本，则在编号为 的个体中应抽取的个体数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 总体由编号为 01，02， ，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个 001~ 800 121~ 400 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 39 页 共 61 页 体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数 字，则选出来的第 6 个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 1128 0598 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．11 B．02 C．05 D．04  线性回归直线方程 为了解某地区某种农产品的年产量 （单位：吨）对价格 （单位：千元/吨）和利润 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表： 1 2 3 4 5 7．0 6．5 5．5 3．8 2．2 （1）求 关于 的线性回归方程 ； （2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多 少时，年利润 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： x y z x y y x y bx a= −  z 1 1 22 2 1 1 ( )( ) ( ) - ( ) n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b a y b x x x x nx = = = = − − − = = = − − ∑ ∑ ∑ ∑  ， 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 40 页 共 61 页  频率分布直方图 某省高中男生升高统计调查数据显示：全省 100000 名男生的身高服从正态分布 N （170.5，16），现从该省某高校三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测 学生身高全部介于 157.5cm 和 187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第六组[182.5，187.5]，如图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图． （1）求该学校高三年级男生的平均身高；（同一组数据用该区间的中点值作代表） （2）求被抽取的 50 名男生中身高在 177.5cm 以上（含 177.5cm）的人数； （3）从被抽取的 50 名男生中身高在 177.5cm 以上（含 177.5cm）的人中任意抽取 2 人， 记该 2 人中身高排名（从高到低）在全省前 130 名的人数记为 ξ，求 ξ 的数学期 望． 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 41 页 共 61 页  茎叶图 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 由全国重点城市环境监测网获得 2 月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用 茎叶图表示如图： （Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系 （只需写出结果）； （Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为 2 级良的概率； （Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相 同的概率． （注：s2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，其中 为数据 x1，x2，…，xn 的 平均数．） 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 42 页 共 61 页  独立性检验 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关， 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论， 从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 （男 30 女 20）， 给所有同学几何题和 代数题各一题， 让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位： 人） （Ⅰ）能否据此判断有 97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟，乙每次解答 一道几何题所用 的时间在 6—8 分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率． （Ⅲ）现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究， 记甲、 乙两女 生被抽到的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 E（X） ． 附表及公式 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 43 页 共 61 页  正态分布 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果 得如下图频率分布直方图： （I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组x 2s 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 44 页 共 61 页 区间的中点值作代表）； （II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 服从正态分布 ，其中 近 似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . （i）利用该正态分布，求 ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值 位于区间 的产品件数.利用（i）的结果，求 . 附 ： 若 则 ， 。  期望与方差 【二项式分布】某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独 立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产 品才完全合格．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为 ，第二道工序 检查合格的概率为 ，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器． （Ⅰ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率； Z ( )2,N µ σ µ x 2σ 2s ( )187.8 212.2P Z< < X ( )187.8,212.2 EX 150 12.2≈ ( )2~ ,Z N µ σ ( ) 0.6826P Zµ σ µ σ− < < + = ( )2 2 0.9544P Zµ σ µ σ− < < + = 8 9 9 10 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 45 页 共 61 页 （Ⅱ）若生产一台仪器合格可盈利 万元，不合格则要亏损 万元，记该厂每月的赢利 额为 ，求 的分布列和每月的盈利期望． 【超几何分布】在最近发生的飞机失联事件中，各国竭尽全力搜寻相关信息，为体现国 际共产主义援助精神，中国海监某支队奉命搜寻某海域。若该海监支队共有 、 型 两种海监船 10 艘，其中 型船只 7 艘， 型船只 3 艘。 （1）现从中任选 2 艘海监船搜寻某该海域，求恰好有 1 艘 型海监船的概率； （2）假设每艘 型海监船的搜寻能力指数为 5，每艘 型海监船的搜寻能力指数为 10．现从这 10 艘海监船中随机的抽出 4 艘执行搜寻任务，设搜寻能力指数共为 ，求 的分布列及期望． 5 1 ξ ξ A B A B B A B ξ ξ 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 46 页 共 61 页 十三、立体几何  直接求线面角 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AD⊥CD，且 DB 平分∠ADC， E 为 PC 的中 点，AD=CD=1， ． （1）证明：PA∥平面 BDE； （2）证明：AC⊥平面 PBD； （3）求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值． 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 47 页 共 61 页  直接求二面角 如 图 ， 在 斜 三 棱 柱 中 ， 侧 面 与 侧 面 都 是 菱 形 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，求二面角 的正弦值． 1 1 1C CΑΒ − Α Β 1 1CCΑ Α 1 1C CΒΒ 1 1 1CC CC 60∠Α = ∠ Β =  C 2Α = 1 1CCΑΒ ⊥ 1 6ΑΒ = 1 1C − ΑΒ − Α 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 48 页 共 61 页  已知二面角反推某个点的位置 如图，四棱锥 ，平面 ⊥平面 ，△ 是边长为 2 的等边三角 形，底面 是矩形，且 ． （1）若点 是 的中点，求证： 平面 ； （2）试问点 在线段 上什么位置时，二面角 的大小为 ． A BCDE− ABC BCDE ABC BCDE 2CD = G AE / /AC BDG F AB B CE F− − 4 π 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 49 页 共 61 页 十四、圆锥曲线  椭圆、双曲线定义的应用 已知动点 P（x，y）满足 ，则动点 P 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．线段 动点 P 到点 M（1，0）及点 N（3，0）的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是（ ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 在平面直角坐标系 中，动点 到点 的距离比它到 轴的距离多 1. (Ⅰ)求点 的轨迹 的方程； 已知 是椭圆 的两个交点，过 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为（ ） 1 2,F F 2 2 116 9 x y+ = F ,M N 2MNF xOy P ( )1,0F y P E 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 50 页 共 61 页 A．16 B．8 C．25 D．32  求离心率 如图， 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的 左右两支分别交于点 ．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A．4 B． C． D．  点差法 已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为（1，-1），则 的方程为（ ） A． B． C． D． 1 2,F F ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F l ,A B 2ABF∆ 7 2 3 3 3 ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > ( )3,0F F E ,A B AB E 2 2 145 36 x y+ = 2 2 136 27 x y+ = 2 2 127 18 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 51 页 共 61 页 椭圆 的弦 的中点为 ，则弦 所在直线的方程是 .  抛物线的定义与最值、弦长 已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与点 到该抛物线准线 的距离之和动点最小值为（ ） A． B． C． D． 已知直线 经过抛物线 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 2 2 14 x y+ = AB 1(1, )2P AB P xy 22 = P )2,0( P 2 17 3 5 2 9 1 0ax y+ + = 2 4y x= 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 52 页 共 61 页 过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线 于 两点，若 到抛物线的准线的 距离为 4，则弦长 的值为（ ） A．8 B． C． D．6 十五、函数  求切线方程 已知函数 f（x）= ，曲线 在点（0,2）处的切线与 轴交点的 横坐标为-2． （Ⅰ）求 a； 已 知 函 数 R ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ． （Ⅰ）求 的解析式； 2: 4C y x= F l C A B、 A AB 16 3 13 3 3 23 ln 2x x x a− + + ( )y f x= x ( ) ln ( ,f x a x bx a b= + ∈ ) ( )y f x= ( )( )1, 1f 2 2 0x y− − = )(xf 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 53 页 共 61 页  求单调区间与单调性 已知函数 ． （1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的单调区间； 已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； 已知函数 ． （1）若函数 在定义域上是单调递增函数，求实数 的取值范围； 2( ) ln ( 1)2 af x x x a x= + − + ( )y f x= 1x = 2y = − ( )f x ( ) ( )21ln 12f x a x x a x= + − + ( )f x 1( ) ln( ) ( )3 2 x af x a Rx −= + ∈+ ( )f x a 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 54 页 共 61 页  求极值 已知函数 ，x∈R．（其中 m 为常数）． （1）当 时，求函数的极值点和极值； 已知函数 在 处取极值． （1）求 的值； （2）求 在 上的最大值和最小值．  恒成立问题的处理方法 【分离参数法】已知函数 ， 。 （Ⅰ）当 时，判断方程 在区间 上有无实根． xmxmxxf )6()3(2 1 3 1)( 23 +++−= ( )f x 4=m 1( ) ln 1f x a x x = + − 1x = a 21[ , ]ee ( ) mf x mx x = − ( ) 2lng x x= 1m = ( ) ( )f x g x= (1, )+∞ 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 55 页 共 61 页 （Ⅱ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【直接求最值法】已知函数 ． （2）若 对定义域内的任意 恒成立，求实数 的取值范围；  函数零点 函数 的零点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 (1, ]x e∈ ( ) ( ) 2f x g x− < m ( ) ( )21ln 12f x a x x a x= + − + ( ) 0f x ≥ x a xxxf ）（ 2 1 2 |log|)( −= 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 56 页 共 61 页  函数中的构造法 已知 是奇函数 的导函数， ，当 时， ， 则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 设 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时，有 恒成立， 则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D．  函数奇偶性 )(xf ′ )(xf 0)1( =−f 0>x 0)()( >−′ xfxfx 0)( >xf x )1,0()1,( −−∞ ),1()0,1( +∞−  )1,0()0,1( − ),1()1,( +∞−−∞  ( )f x R ( )2 0f = 0x > ( ) ( ) 2 0xf x f x x ′ − < ( )2 0x f x > ( ) ( )2,0 2,− +∞ ( ) ( ), 2 0,2−∞ −  ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞ ( ) ( )2,0 0,2−  在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 57 页 共 61 页 若偶函数 在区间 上单调增加，则满足 的 的取值范围是（ ） A．（ ， ） B．［ ， ） C．（ ， ） D．［ ， ） 十六、简单的排列组合 1．某中学四名高二学生约定“五一”节到本地区三处旅游景点做公益活动，如果每个景点 至少一名同学，且甲乙两名同学不在同一景点，则这四名同学的安排情况有（ ） A．10 种 B．20 种 C．30 种 D．40 种 2．将 3 本相同的小说，2 本相同的诗集全部分给 4 名同学，每名同学至少 1 本，则不同的 分法有（ ） A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 ( )f x [0, )+∞ 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1(1 2 ) ( )3f x f− < x 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 58 页 共 61 页 3．编号为 1、2、3，4、5、6、7 的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相 邻，则不同的开灯方案有（ ） A．60 种 B．8 种 C．20 种 D．10 种 4．从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都 有，则不同的组队方案共有（ ） （A）70 种 （B）80 种 （C）100 种 （D）140 种 5．从 4 位男教师和 3 位女教师中选出 3 位教师，派往郊区 3 所学校支教，每校 1 人，要求 这 3 位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案有 A．210 种 B．186 种 C．180 种 D．90 种 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 59 页 共 61 页 十七、概率  条件概率 将两颗骰子各掷一次，设事件 “两个点数不相同”， “至少出现一个 点”，则概 率 等于（ ） A． B． C． D． 袋中装有完全相同的 5 个小球，其中有红色小球 3 个，黄色小球 2 个，如果不放回地依次摸 出 2 个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A． B． C． D．  几何概型 已知直线 的方程为 ，且 ，则直线 的斜率不小于 的概率为（ ） A． B． C． D． A = B = 6 ( )P A B 3 10 3 5 1 2 1 4 l 2 3 0ax y+ − = [ 5,4]a∈ − l 1 2 9 7 9 1 3 2 3 你对事物的看法，决定了它在你心中的位置。高考，平常心对待！ 第 60 页 共 61 页 已知事件“在矩形 的边 上随机取一点 ，使 的最大边是 ”发生的概 率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 已知圆 ： ，在圆 上随机取两点 、 ，使 的概率为（ ） A． B． C． D．  古典概型 位于西部地区的 、 两地，据多年的资料记载： 、 两地一年中下雨天仅占 和 ， 而同时下雨的比例为 ，则 地为雨天时， 地也为雨天的概率为（ ） A． B． C． D． 一个盒子里有 6 支好晶体管，4 支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已 知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（ ） ABCD CD P ABP∆ AB 1 2 AD AB = 1 2 1 4 7 4 3 2 O 2 2 16x y+ = O A B 4 3AB ≤ 15 9 1 4 3 5 1 3 A B A B 6% 8% 2% A B 1 7 1 4 1 3 3 4 在未来的时间里，不需想太多，用心地去做好现在的事情，相信自己，你就是最大的赢家！ 第 61 页 共 61 页 A． B． C． D．2 3 5 12 7 9 5 9