【数学】2019届一轮复习北师大版 不等式选讲 学案
第一单元 高考中档大题突破
解答题06：选修4－5(不等式选讲)
年 份
卷 别
具体考查内容及命题位置
命题分析
2017
Ⅰ卷
不等式的证明·T23
1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．
2．此部分命题形式单一，稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.
Ⅱ卷
绝对值不等式的解法及恒成立问题·T23
Ⅲ卷
绝对值不等式的解法及不等式有解求参数问题·T23
2016
甲卷
含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24
乙卷
绝对值不等式的解法及图象·T24
丙卷
绝对值不等式解法·T24
2015
Ⅰ卷
绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T24
Ⅱ卷
不等式的证明、充要条件的判断·T24
2014
Ⅰ卷
基本不等式·T24
Ⅱ卷
绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24
2013
Ⅰ卷
绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不等式恒成立问题·T24
Ⅱ卷
基本不等式的应用·T24
基本考点——绝对值不等式
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
0)⇔－a1的解集．
解：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|15}．
所以|f(x)|>1的解集为
{x|x<或15}.2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于
x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①
当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；
当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1＜x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.
又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，
所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为[－1,1]．
常考热点——证明不等式
1．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2．算术—几何平均不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则
≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
3．证明不等式的3种基本方法
(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种．
(2)用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．
(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法．
1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－|＋|x＋|，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解：f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；
当－
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