人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十一
课时提升作业十一
排序不等式
基础过关
一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)
1.若 0
0,所以 a3≥b3≥c3,
根据排序原理,得:a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.
又知 ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,
所以 a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.
所以 a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.
即 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
4.若 a>0,b>0 且 a+b=1,则 + 的最小值是________.
【解析】不妨设 a≥b>0,则有 a2≥b2,且 ≥ ,
由排序不等式 + ≥ ·a2+ ·b2=a+b=1.
当且仅当 a=b= 时取等号,所以 + 的最小值为 1.
答案:1
5.设 a,b 都是正数,若 P= + ,Q= + ,则二者的关系是________.
【解析】由题意不妨设 a≥b>0.
由不等式的性质,知 a2≥b2, ≥ .所以 ≥ .
根据排序原理,知
× + × ≥ × + × .
即 + ≥ + .
答案:P≥Q
【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不
等式比较大小.
三、解答题
6.(10 分 ) 已 知 a,b,c 为 正 数 , 用 排 序 不 等 式 证 明 :2(a3+b3+c3) ≥
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
【证明】设正数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得,
a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3,
a2c+b2a+c2b≤a3+b3+c3,
两式相加,得:
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
能力提升
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.已知 x≥y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则 M 与 N 的大小关系是 ( )
A.M>N B.M≥N
C.MB B.A0,a2+b2+c2=3,则 ab+bc+ca 的最大值是________.
【解析】不妨设 a≥b≥c>0,则 b,c,a 为乱序,于是由排序不等式知 a2+b2+c2≥
ab+bc+ac,所以 ab+bc+ca≤3,即 ab+bc+ca 的最大值为 3.
答案:3
4.设 a1,a2,…,an 为正数,且 a1+a2+…+an=5,则 + +…+ + 的最小值为
________.
【解析】由所求代数式的对称性,不妨设 00,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
【解题指南】题中只给出了 x>0,但是对于 x≥1,x<1 并不确定,因此,需要分类讨
论.
【证明】(1)当 x≥1 时,
1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理知,
1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥xn·1+xn-1·x+…+1·xn,
所以 1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①
又因为x,x2,…,xn,1为1,x,x2,…,xn 的一个排序,于是由排序原理得1·x+x·x2+…
+xn-1·xn+
xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1.
所以 x+x3+…+x2n-1≥nxn.②
①+②,得
1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
(2)当 0x>x2>…>xn,同理可得结论.
综合(1)与(2),所以当 x>0 时,
1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
【变式训练】设 a1,a2,…,an 为实数,证明: ≤ .
【证明】不妨设 a1≤a2≤a3≤…≤an
由排序原理得
+ + +…+ =a1a1+a2a2+a3a3+…+anan.
+ + +…+ ≥a1a2+a2a3+a3a4+…+ana1
+ + +…+ ≥a1a3+a2a4+a3a5+…+ana2
……
+ + +…+ ≥a1an+a2a1+a3a2+…+anan-1
以上 n 个式子两边相加
n( + + +…+ )≥(a1+a2+a3+…+an)2
两边同除以 n2 得
≥
所以
≥
结论得证.
