【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理和余弦定理的应用举例课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理和余弦定理的应用举例课时作业

‎1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东80° D．南偏西80°‎ 解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎2．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为(　　)‎ A．15 km B．30 km C．45 km D．60 km 解析：选B.如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，‎ 所以∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.‎ 在△AMB中，由正弦定理，得＝，‎ 解得BM＝30，故选B.‎ ‎3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　)‎ A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.‎ ‎4．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．75°‎ 解析：选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，‎ 所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(　　)‎ A．5 km B．10 km C．5 km D．5 km 解析：选C.作出示意图(如图)，‎ 点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5 km.‎ ‎6．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是________ n mile.‎ 解析：如图，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝45°，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以BC＝＝ ‎＝5(n mile)．‎ 答案：5 ‎7．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．‎ 解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，‎ 则CD为所求河的宽度．‎ 在△ABC中，‎ 因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，‎ 所以∠ACB＝75°，‎ 所以AC＝AB＝120 m.‎ 在Rt△ACD中，‎ CD＝ACsin∠CAD ‎＝120sin 30°＝60(m)，‎ 因此这条河的宽度为60 m.‎ 答案：60 m ‎8．(2019·福州市综合质量检测)在距离塔底分别为80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________．‎ 解析：设塔高为h m．依题意得，tan α＝，tan β＝，tan γ＝.因为α＋β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝＝＝1，所以·tan γ＝1，所以·＝1，解得h＝80，所以塔高为80 m.‎ 答案：80 m ‎9．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求山高MN.‎ 解：根据图示，‎ AC＝100 m.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ 所以MN＝100×＝150(m)．‎ ‎10.如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．‎ ‎(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；‎ ‎(2)求P到海防警戒线AC的距离．‎ 解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.‎ 在△PAB中，AB＝20，‎ cos ∠PAB ‎＝ ‎＝＝，‎ 同理，在△PAC中，AC＝50，‎ cos ∠PAC＝＝＝.‎ 因为cos ∠PAB＝cos ∠PAC，‎ 所以＝，‎ 解得x＝31.‎ ‎(2)作PD⊥AC于点D(图略)，在△ADP中，‎ 由cos ∠PAD＝，‎ 得sin ∠PAD＝＝，‎ 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.‎ 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．‎ ‎1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)‎ A．7km B．8 km C．9 km D．6 km 解析：选A.在△ABC及△ACD中，由余弦定理得82＋52－2×8×5×cos(π－∠D)＝AC2＝32＋52－2×3×5×cos ∠D，解得cos ∠D＝－，所以AC＝＝7.‎ ‎2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为(　　)‎ A．50 米 B．50 米 C．50米 D．50 米 解析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.‎ 由题意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°，‎ 在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，‎ 即1502＋1002－2×150×100×＝r2，‎ 解得r＝50 .‎ ‎3.(2019·惠州市第三次调研考试)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．‎ 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又 ＝，即＝，得到cos θ＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎4．(2019·山西省第二次四校联考)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________．‎ 解析：由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得 sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)，整理得sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B，易得tan A＞0，tan B＞0，所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tan B，即tan B＝时，tan(A－B)取得最大值，所以B＝.‎ 答案： ‎5．某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60°方向10 km处．‎ ‎(1)求集镇A，B间的距离；‎ ‎(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线．勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短．‎ 解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，‎ 根据余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos 120°‎ ‎＝62＋102－2×6×10×＝196，‎ 所以AB＝14.‎ 故集镇A，B间的距离为14 km.‎ ‎(2)依题意得，直线MN必与圆O相切．‎ 设切点为C，连接OC(图略)，则OC⊥MN.‎ 设OM＝x，ON＝y，MN＝c，‎ 在△OMN中，由MN·OC＝OM·ON·sin 120°，‎ 得×3c＝xysin 120°，即xy＝2c，‎ 由余弦定理，得c2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy≥3xy，所以c2≥6c，解得c≥6，‎ 当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6.‎ 所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为 ‎6 km.‎ ‎6．在△ABC中，已知B＝，AC＝4，D为BC边上一点．‎ ‎(1)若AD＝2，S△DAC＝2，求DC的长；‎ ‎(2)若AB＝AD，试求△ADC的周长的最大值．‎ 解：(1)因为S△DAC＝2，‎ 所以·AD·AC·sin ∠DAC＝2，所以sin∠DAC＝.因为∠DAC＜∠BAC＜π－＝，‎ 所以∠DAC＝.‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos，所以DC2＝4＋48－2×2×4×＝28，所以DC＝2.‎ ‎(2)因为AB＝AD，B＝，‎ 所以△ABD为正三角形，‎ 在△ADC中，根据正弦定理，可得 ＝＝，‎ 所以AD＝8sin C，DC＝8sin，‎ 所以△ADC的周长为 AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sin＋4 ‎＝8＋4 ‎＝8＋4＝8sin＋4.‎ 因为∠ADC＝，所以0＜C＜，‎ 所以＜C＋＜，‎ 所以当C＋＝，即C＝时，△ADC的周长的最大值为8＋4.‎