2015高考数学（理）（第四章 三角函数、解三角形）一轮复习题

2015高考数学（理）（第四章 三角函数、解三角形）一轮复习题

中档题目强化练——三角函数、解三角形 A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1． 已知角A是△ABC的一个内角，若sin A＋cos A＝，则tan A等于 (　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　由得 或(舍去)，∴tan A＝－.‎ ‎2． 函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图像关于直线x＝对称，则φ的可能取值是 (　　)‎ A. B．－ C. D. 答案　A 解析　∵y＝cos x＋2的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，‎ ‎∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，令＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)，在四个选项中，只有满足题意．‎ ‎3． 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图像关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为 (　　)‎ A．2 B．‎4 ‎ C．6 D．8‎ 答案　A 解析　由题意知ω·＋φ＝k1π，ω·＋φ＝k2π＋，‎ 其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4(k2－k1)＋2，‎ 又ω>0，易知ω的最小值为2.故选A.‎ ‎4． 设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－sin(ωx＋φ)(ω>1，|φ|<)，且其图像相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝，则 (　　)‎ A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数 B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数 C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数 D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数 答案　B 解析　由已知条件得f(x)＝2cos，‎ 由题意得＝，∴T＝π.‎ ‎∴T＝，∴ω＝2.‎ 又∵f(0)＝2cos，x＝0为f(x)的对称轴，‎ ‎∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|<，∴φ＝－，‎ 此时f(x)＝2cos 2x，在上为减函数，故选B.‎ ‎5． 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x－m在上有两个零点，则m的取值范围是(　　)‎ A．(1,2) B．[1,2)‎ C．(1,2] D．[1,2]‎ 答案　B 解析　利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin(2x＋)－m，‎ 它的零点是函数y1＝2sin(2x＋)和y2＝m的交点所对应的x的值，‎ ‎∴要在上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，‎ 结合函数y1＝2sin在上的图像，‎ 知道当y2＝m在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点．‎ 二、填空题 ‎6． 已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于________．‎ 答案　3＋ 解析　S＝acsin∠ABC＝，得ac＝2； ①‎ 根据余弦定理cos∠ABC＝，得a2＋c2＝5. ②‎ 由①②可求得a＋c＝3，则三角形周长可求．‎ ‎7． 函数y＝tan的对称中心为________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　∵y＝tan x(x≠＋kπ，k∈Z)的对称中心为(k∈Z)，‎ ‎∴可令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)．‎ 因此，函数y＝tan的对称中心为 (k∈Z)．‎ ‎8． 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，f＝－，则f(0)＝________.‎ 答案　 解析　由图像，可知所求函数的最小正周期为，‎ 故ω＝3.‎ 从函数图像可以看出这个函数的图像关于点中心对称，‎ 也就是函数f(x)满足f＝－f，‎ 当x＝时，得f＝－f＝－f(0)，‎ 故得f(0)＝.‎ 三、解答题 ‎9． (2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋bc.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)设a＝，S为△ABC的面积，求S＋3cos Bcos C的最大值，并指出此时B的值．‎ 解　(1)由余弦定理得 cos A＝＝＝－.‎ 又因为00，ω>0,0<φ<)的图像与x轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)当x∈时，求f(x)的值域．‎ 解　(1)由最低点为M，得A＝2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，＝，‎ 即T＝π，所以ω＝＝＝2.‎ 由点M在函数f(x)的图像上，‎ 得2sin＝－2，‎ 即sin＝－1.‎ 故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．‎ 又φ∈，所以φ＝，‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x＋∈.‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.‎ 故函数f(x)的值域为[－1,2]．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟)‎ ‎1． 若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是 (　　)‎ A.∪ B.∪ ‎(k∈Z)‎ C.∪ D.∪(k∈Z)‎ 答案　A 解析　根据题意并结合正弦线可知，‎ α满足∪‎ (k∈Z)，‎ ‎∵α∈[－2π，0]，‎ ‎∴α的取值范围是 ∪.故选A.‎ ‎2． 同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝对称；③在上是增函数”的函数可以是 (　　)‎ A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin C．f(x)＝cos D．f(x)＝cos 答案　B 解析　依题意，知满足条件的函数的一个周期是π，‎ 以x＝为对称轴，且在上是增函数．‎ 对于A，其周期为4π，因此不正确；‎ 对于C，f＝－1，但该函数在上不是增函数，因此C不正确；‎ 对于D，f≠±1，因此D不正确．‎ ‎3． 已知函数f(x)＝2sin x，g(x)＝2sin，直线x＝m与f(x)，g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．‎ 答案　2 解析　构造函数F(x)＝2sin x－2cos x＝2sin，故最大值为2.‎ ‎4． 曲线y＝2sincos与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________.‎ 答案　π 解析　y＝2sincos ‎＝2sin·cos ‎＝2sin2 ‎＝1－cos＝1＋sin 2x，‎ ‎|P2P4|恰为一个周期的长度π.‎ ‎5． 已知函数f(x)＝(sin2x－cos2x)－2sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递增区间．‎ 解　(1)∵f(x)＝－(cos2x－sin2x)－2sin xcos x ‎＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵x∈，∴－≤2x＋≤π.‎ ‎∴－≤sin≤1.‎ ‎∴f(x)的值域为[－2，]．‎ ‎∵当y＝sin递减时，f(x)递增，‎ 令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 又x∈，∴≤x≤.‎ 故f(x)的单调递增区间为.‎