高考复习——变量的相关性

高考复习——变量的相关性

一、选择题 ‎1．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程＝＋x中，回归系数(　　)‎ A．不能小于0B．不能大于0‎ C．不能等于0D．只能小于0‎ 解析：选C.∵＝0时，相关系数r＝0，这时不具有线性相关关系，但能大于0也能小于0.‎ ‎2．(2011·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)‎ A．63.6万元B．65.5万元 C．67.7万元D．72.0万元 解析：选B.样本中心点是(3.5,42)，则＝－x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.‎ ‎3．下列说法中正确的有(　　)‎ ‎①若r>0，则x增大时，y也相应增大；‎ ‎②若r<0，则x增大时，y也相应增大；‎ ‎③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个点均在一条直线上．‎ A．①②B．②③‎ C．①③D．①②③‎ 解析：选C.r>0，表示两个相关变量正相关，x增大时，y也相应增大，故①正确．r<0，表示两个变量负相关，x增大时，y相应减小，故②错误．|r|越接近1，表示两个变量相关性越高，|r|＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．‎ ‎4.‎ ‎(2011·高考陕西卷)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是(　　)‎ A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间 C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D．直线l过点(，)‎ 解析：选D.回归直线过样本中心点(，)．‎ ‎5．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ b 乙班 c ‎30‎ 总计 ‎105‎ 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)‎ 参考公式：χ2＝ 附表：‎ P(χ2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ A．列联表中c的值为30，b的值为35‎ B．列联表中c的值为15，b的值为50‎ C．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”‎ D．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”‎ 解析：选C.由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．根据列联表中的数据，得到χ2＝≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确．‎ 二、填空题 ‎6．已知x、y的取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，‎ 则＝________.‎ 解析：因为回归方程必过样本点的中心(，)，解得＝2，＝4.5，将(2,4.5)代入＝0.95x＋a可得＝2.6.‎ 答案：2.6‎ ‎7．下面是一个2×2列联表：‎ y1‎ y2‎ 总计 x1‎ a ‎21‎ ‎73‎ x2‎ ‎2‎ ‎25‎ ‎27‎ 总计 b ‎46‎ 则表中a、b处的值分别为________．‎ 解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.‎ 又∵a＋2＝b，∴b＝54.‎ 答案：52、54‎ ‎8．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉__________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．‎ 解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．‎ 答案：D 三、解答题 ‎9．(2013·丹东调研)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．‎ ‎(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；‎ ‎(2)判断性别与休闲方式是否有关系．‎ 解：(1)2×2列联表如下：‎ 休闲方式 性别 看电视 运动 总计 女 ‎43‎ ‎27‎ ‎70‎ 男 ‎21‎ ‎33‎ ‎54‎ 总计 ‎64‎ ‎60‎ ‎124‎ ‎(2)假设“休闲方式与性别无关”，‎ 计算χ2＝≈6.201，‎ 因为χ2≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．‎ ‎10．某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ y ‎66‎ ‎69‎ ‎73‎ ‎81‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ 已知：x＝280，y＝45309，xiyi＝3487，此时r0.05＝0.754.‎ ‎(1)求，；‎ ‎(2)判断纯利润y与每天销售件数x之间是否线性相关．‎ 解：(1)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，‎ ＝×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86，‎ ‎(2)根据已知x＝280，y＝45309，xiyi＝3487，‎ 得相关系数r＝≈0.973.‎ 由于0.973>0.754，所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系．‎ 一、选择题 ‎1．(2011·高考江西卷)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：‎ 父亲身高x(cm)‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y(cm)‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的线性回归方程为(　　)‎ A．y＝x－1B．y＝x＋1‎ C．y＝88＋xD．y＝176‎ 解析：选C.因为＝＝176，‎ ＝＝176，又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.‎ ‎2．(2012·高考湖南卷)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)‎ 具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg 解析：选D.当x＝170时，＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg，故D不正确．‎ 二、填空题 ‎3．某市居民2008～2012年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出Y(单位：万元)的统计资料如下表所示：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ 收入x ‎11.5‎ ‎12.1‎ ‎13‎ ‎13.3‎ ‎15‎ 支出Y ‎6.8‎ ‎8.8‎ ‎9.8‎ ‎10‎ ‎12‎ 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是　　　，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．(第二个空填“正”或“负”)‎ 解析：居民家庭的年平均收入按从小到大排列依次为：11.5、12.1、13、13.3、15，由中位数定义知年平均收入的中位数是13.画出散点图(图略)，由图可知家庭年平均收入与年平均支出具有正线性相关关系．‎ 答案：13正 ‎4．下列说法中：‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；‎ ‎②回归方程＝x＋必过点(，)；‎ ‎③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；‎ ‎④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.‎ 其中错误的是________．‎ 解析：①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．‎ 答案：③④‎ 三、解答题 ‎5．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：‎ 年份 ‎2004‎ ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ ‎2012‎ 需求量(万吨)‎ ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝bx＋a；‎ ‎(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．‎ 解：(1)由所给数据可以看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：‎ 年份－2008‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 需求量－257‎ ‎－21‎ ‎－11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2，‎ ＝ ‎＝＝6.5，‎ ＝－＝3.2.‎ 由上述计算结果，知所求回归直线方程为－257＝b(x－2008)＋a＝6.5(x－2008)＋3.2，‎ 即＝6.5(x－2008)＋260.2.①‎ ‎(2)利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为 ‎6．5×(2014－2008)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．‎