【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章第7节正弦定理、余弦定理的综合应用学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第4章第7节正弦定理、余弦定理的综合应用学案

第七节　正弦定理、余弦定理的综合应用 ‎[最新考纲]　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．‎ ‎1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．‎ 图①　　　　　　　　图②‎ ‎2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．‎ ‎3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ ‎4．坡度(又称坡比)‎ 坡面的垂直高度与水平长度之比．‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.‎ ‎50　[由正弦定理得＝，‎ 又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．]‎ ‎2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝________米．‎ a　[由题图可得∠PAQ＝α＝30°，‎ ‎∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，‎ 又∠PBC＝γ＝60°，‎ ‎∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，‎ ‎∴＝，∴PB＝a，‎ ‎∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ‎＝a×sin 60°＋asin 15°＝a.]‎ ‎3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________.‎ a　[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝a.]‎ 考点1　解三角形中的实际问题 ‎　利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 ‎(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．‎ ‎(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．‎ ‎(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．‎ ‎(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．‎ ‎　(1)江岸边有一炮台高‎30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.‎ ‎(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登‎400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登‎800米可到达C处，则索道AC的长为________米．‎ ‎(1)10　(2)400　[(1)如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，‎ ON＝AOtan 30°＝×30‎ ‎＝10(m)，‎ 在△MON中，由余弦定理得，‎ MN＝ ‎＝＝10(m)．‎ ‎(2)在△ABD中，BD＝‎400米，∠ABD＝120°.‎ 因为∠ADC＝150°，‎ 所以∠ADB＝30°.‎ 所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.‎ 由正弦定理，可得＝，‎ 所以＝，‎ 得AD＝400(米)．‎ 在△ADC中，DC＝‎800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，‎ 解得AC＝400(米)．‎ 故索道AC的长为‎400米．]‎ ‎　(1)实际测量中的常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部可达 ‎∠ACB＝α，‎ BC＝a 解直角三角形 AB＝atan α 底部不可达 ‎∠ACB＝α，∠ADB＝β，‎ CD＝a 解两个直角三角形 AB＝ 求水平距离 山两侧 ‎∠ACB＝α，‎ AC＝b，‎ BC＝a 用余弦定理 AB＝‎ 河两岸 ‎∠ACB＝α，‎ ‎∠ABC＝β，‎ CB＝a 用正弦定理 AB＝ 求水平距离 河对岸 ‎∠ADC＝α，‎ ‎∠BDC＝β，‎ ‎∠BCD＝δ，‎ ‎∠ACD＝γ，‎ CD＝a 在△ADC中，‎ AC＝；‎ 在△BDC中，‎ BC＝；‎ 在△ABC中，应用 余弦定理求AB ‎(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．‎ ‎　1.一船以每小时‎15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为________km.‎ ‎30　[如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，‎ ‎∴B＝45°，AC＝60，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴BC＝30(km)．]‎ ‎2.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距‎40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距‎20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________．‎ 　[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，‎ 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，‎ 得BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝，‎ 即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，‎ 则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)‎ ‎＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.]‎ 考点2　平面几何中的解三角形问题 ‎　与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．‎ 具体解题思路如下：‎ ‎(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．‎ ‎　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.‎ ‎(1)若AC＝，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，‎ 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，‎ 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.‎ ‎(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝， ①‎ 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝， ②‎ ‎①②两式相除，得＝，‎ 即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.‎ 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.‎ ‎　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．‎ ‎　 (2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC.‎ ‎(1)求sin∠ABD的值；‎ ‎(2)若∠BCD＝，求BC的长．‎ ‎[解]　(1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，‎ 所以sin∠DAB＝.‎ 又0＜∠DAB＜，‎ 所以∠DAB＝，‎ 所以cos∠DAB＝cos ＝.‎ 由余弦定理得 BD＝＝，‎ 由正弦定理得sin∠ABD＝＝.‎ ‎(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，‎ sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝.‎ 在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝.‎ 由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，‎ 可得3BC2＋4BC－5＝0，‎ 解得BC＝或BC＝－(舍去)．‎ 故BC的长为.‎ 考点3　与三角形有关的最值(范围)问题 ‎　解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：‎ 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．‎ ‎　(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知asin＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝‎ sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，‎ 故sin＝，因此B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°

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