江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题

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江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题

江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题 第I卷(必做题)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎4.测试范围:高中全部内容。‎ 一、填空题 ‎1.已知集合,集合,若,则实数_______‎ ‎2.已知复数为纯虚数,其中为虚数单位,则实数的值是________.‎ ‎3.阅读如图所示的程序框,若输入的n是30,则输出的变量S的值是______.‎ ‎4.函数的定义域是____________‎ ‎5.在某次数学测验中,位学生的成绩如下:、、、、,他们的平均成绩为,则他们成绩的方差等于________.‎ ‎6.某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2‎ 门课程学习,则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.‎ ‎7.在平面直角坐标系中,已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为,且,则双曲线的渐近线方程为______‎ ‎8.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=____________.‎ ‎9.已知,,,是球的球面上的四点,,,两两垂直,,且三棱锥的体积为,则球的表面积为______.‎ ‎10.若点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值为____________‎ ‎11.已知且满足1,则的最小值为_____.‎ ‎12.已知C是以AB为直径的半圆上一点,且C是线段PQ的中点,若AB=5,PQ=1,与的夹角为,则________.‎ ‎13.已知是第二象限角,且,则的值为______.‎ ‎14.已知函数,若函数恰好有2个不同的零点,则实数m的取值范围是______.‎ 二、解答题 ‎15.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.‎ ‎(1)若面积为,求ab的值;‎ ‎(2)若,求.‎ ‎16.如图,在四棱锥中,四边形ABCD为平行四边形,E为侧棱PD的中点,O为AC与BD的交点.‎ ‎(1)求证:平面PBC;‎ ‎(2)若平面平面ABCD,,,,求证:.‎ ‎17.已知椭圆过点,且离心率.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求的取值范围.‎ ‎18.两城市和相距,现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城和城的总影响度为城和城的影响度之和,记点到城的距离为,建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为,统计调查表明:垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为4,对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比,比例系数为,当垃圾处理场建在的中点时,对城和城的总影响度为0.065;‎ ‎(1)将表示成的函数;‎ ‎(2)判断上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在,求出该点到城的距离;若不存在,说明理由;‎ ‎19.设函数(其中为实数).‎ ‎(1)若,求零点的个数;‎ ‎(2)求证:若不是的极值点,则无极值点.‎ ‎20.给定数列,记该数列前项中的最大项为,该数列后项,, …..,中的最小项为,.‎ ‎(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,,;‎ ‎(2)是数列的前项和,若对任意,有,其中且,‎ ‎①设,判断数列是否为等比数列;‎ ‎②若数列对应的满足:对任意的正整数恒成立,求的取值范围.‎ 第II卷(附加题)‎ ‎21.已知矩阵,,列向量.‎ ‎(1)求矩阵;‎ ‎(2)若,求,的值.‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点是曲线上的动点,求点到曲线的最小距离.‎ ‎23.已知函数,.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式的解集包含[–1,1],求的取值范围.‎ ‎24.设.已知 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎25.口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球.现有一抽奖游戏规则如下:抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球,最多取球2n+1(n)次.若取出白球的累计次数达到n+1时,则终止取球且获奖,其它情况均不获奖.记获奖概率为.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:.‎ 江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题解析 ‎1.‎ ‎【解析】由,,∴.解得, 验证可得符合集合元素的互异性,故答案为:.‎ ‎2.2‎ ‎【解析】由题,因为是纯虚数,‎ 所以,则,故答案为:2‎ ‎3.‎ ‎【解析】执行程序框图,有 ‎,;‎ 不满足条件,,;‎ 不满足条件,,;‎ 不满足条件,,;‎ ‎…‎ 不满足条件,,;‎ 不满足条件,,;‎ 满足条件,退出循环,输出.‎ ‎4.‎ ‎【解析】, 解得且 即函数的定义域为, 故答案为:‎ ‎5.38‎ ‎【解析】位学生的成绩如下:78、85、、82、69,他们的平均成绩为80,‎ ‎,解得:,‎ ‎,‎ 则他们成绩的方差等于38.故答案为:38.‎ ‎6.‎ ‎【解析】某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,基本事件总数为,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是.故答案为:.‎ ‎7.‎ ‎【解析】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4),‎ 由题得 所以双曲线的渐近线方程为.故答案为 ‎8.‎ ‎【解析】∵{an}是由正数组成的等比数列,且a2a4=1,‎ ‎∴设{an}的公比为q,则q>0,且,即a3=1.‎ ‎∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,即6q2-q-1=0.‎ 故q=或q=-(舍去),∴a1==4.∴S5==8(1-)=.‎ ‎9.‎ ‎【解析】三棱锥的体积为,故,‎ 因为,,两两垂直,,故可把三棱锥补成正方体,‎ 该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径,‎ 又体对角线的长度为,故球的表面积为.‎ ‎10.‎ ‎【解析】因为点P是曲线上任意一点,则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候,则,即点(1,1)那么可知两平行线间的距离即点(1,1)到直线的距离为 ‎11.ln2‎ ‎【解析】因为,所以可将,分别看成函数与上任意一点,问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题,‎ 设是曲线的切点,因为,‎ 故点M处的切斜的斜率,由题意可得,解得,‎ 也即当切线与已知直线平行时,此时切点到已知直线的距离最近,‎ 最近距离,也即.‎ ‎12.;‎ ‎【解析】由C是以AB为直径的半圆上一点,且C是线段PQ的中点,‎ 且与的夹角为,可得,且 则 ‎.‎ ‎13.‎ ‎【解析】 是第二象限角,且,‎ ‎,,,‎ ‎,又,‎ ‎,解得,.‎ ‎14.‎ ‎【解析】令函数,得,‎ 结合函数的图象知当时,‎ 函数的图象与直线恰好有2个不同的交点,所以.‎ ‎15.【解析】(1)因为,‎ 在中,由正弦定理,得,‎ 化简得,‎ 在中,由余弦定理得,,因为,所以,‎ 又面积为,可得,所以ab=4.‎ ‎(2)因为,在中,由正弦定理,‎ 所以,因为,所以 由(1)得,所以,‎ 化简得,所以.‎ 因为,所以,‎ 所以,‎ 所以 ‎16.【解析】(1)因为四边形为平行四边形,为与的交点,‎ 所以为的中点.又因为为侧棱的中点,所以.‎ 又因为平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)在中,因为,,,‎ 由正弦定理,可得,‎ 所以,即.‎ 又因为四边形为平行四边形,所以,所以.‎ 又因为平面平面,‎ 平面平面,平面,所以平面.‎ 又因为平面,所以.‎ ‎17.【解析】(1)椭圆的离心率,,即;①‎ 又椭圆过点,∴,②‎ 由①②得,,∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)由消去整理得,‎ 直线与椭圆交于不同的两点,,‎ 整理得……(1),设,弦MN的中点A,‎ 则,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴点A的坐标为,‎ ‎∴直线AG的斜率为,‎ 又直线AG和直线MN垂直,∴,∴,‎ 将上式代入(1)式,可得,整理得,‎ 解得.∴实数的取值范围为.‎ ‎18.【解析】(1)由题意得,‎ 又当时,,‎ ‎,.‎ ‎(2), ‎ 令,则,‎ 当且仅当,即时,等号成立,‎ 弧上存在一点,使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.‎ ‎19.【解析】(1)由题意得,所以,‎ 又,且,所以恒成立,从而函数在上单调递增,‎ 所以当时,;当时,.‎ 则函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 因为,,函数在上单调递减且图象连续不断,‎ 所以函数在上恰有个零点, ‎ 因为,,函数在上单调递增且图象连续不断,‎ 所以函数在上恰有个零点,‎ 综上所述,当时,函数有个零点;‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数在上单调递增,‎ 又,当时,;当时,.‎ 所以,是函数的极小值点.‎ 同理当时,也是函数的极小值点.‎ 当时,由得,且在上单调递增.‎ 所以当时,;当时,,‎ 从而函数在上单调递减;在上单调递增.‎ 若,即,则当时,,当时,,则是函数的极值点; ‎ 同理若,即,则也是函数的极值点;‎ 若,即,,则函数在上单调递增,此时不是函数的极值点.‎ 综上可知,若不是函数的极值点,则,函数在上单调递增,从而函数无极值点.‎ ‎20.【解析】(1),,;,,;,,.‎ ‎(2)①当时,,所以;‎ 当时,由,则,‎ 两式相减得,即,‎ 所以.‎ 因为,‎ 所以当时,,故,‎ 所以数列满足,‎ 即数列是以为首项,为公比的等比数列;‎ 当时,,故,数列不是等比数列.‎ ‎②由①知,当时,;‎ 当时,.‎ 又,‎ ‎,‎ 由于,‎ 所以由,可得,.‎ 所以对任意的正整数恒成立,‎ 即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件,易知.‎ 因为,,‎ 所以.‎ 当时,由,得,解得,‎ 此时,不符合,舍去;‎ 当,由,得,解得,‎ 此时,符合.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎21.【解析】(1);‎ ‎(2)由,解得 ,‎ 又因为,所以,.‎ ‎22.【解析】(1)消去参数得到,故曲线的普通方程为 ‎,由,得到,‎ 即,故曲线的普通方程为 ‎(2)设点的坐标为,‎ 点到曲线的距离 所以,当时,的值最小,所以点到曲线的最小距离为.‎ ‎23.【解析】(1)当时,不等式等价于.①‎ 当时,①式化为,无解;‎ 当时,①式化为,从而;‎ 当时,①式化为,从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎(2)当时,.‎ 所以的解集包含,等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一,所以且,得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎24.【解析】(1)令得,;令得,‎ 所以,则.‎ ‎(2)对两边求导得 令,得 ‎25.【解析】(1)根据题意,每次取出的球是白球的概率为,取出的球是黑球的概率为,‎ 所以;‎ ‎(2)证明:累计取出白球次数是的情况有:‎ 前n次取出n次白球,第n +1次取出的是白球,概率为 前n+1次取出n次白球,第n +2次取出的是白球,概率为 前2n﹣1次取出n次白球,第2n次取出的是白球,概率为 前2n次取出n次白球,第2n +1次取出的是白球,概率为 则 因此 则 因为,‎ 所以,因此.‎ ‎ ‎
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