【数学】安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟(理)(解析版)

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【数学】安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟(理)(解析版)

安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟(理)‎ 全卷满分150分,考试用时120分钟 第I卷 选择题(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.集合,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位,则 ‎ A. B. ‎ C. 1 D. 2‎ ‎3.已知某高中的一次测验中,甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示,下列判断错误的是 A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班 C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小 ‎4.已知各项均不相等的等比数列成等差数列,设为数列的前n项和,则等于 A. B. ‎ C. 3 D. 1‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,令,若,则实数a的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的表面积是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.设、、、是半径为1的球面上的四个不同点,且满足, , ,用、、分别表示、、的面积,则的最大值是 ‎ A. B. 2 ‎ C. 4 D. 8‎ ‎8.已知双曲线:的左、右焦点分别为、,为坐标原点,以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、,点为圆与轴正半轴的交点,若,则双曲线的离心率为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数的最大值为,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且的图象关于点对称,则下列判断正确的是 ‎ A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时,函数的最小值为 D. 函数在上单调递增 ‎10.已知函数,则的大致图象为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.已知定义在R上的偶函数(函数f(x)的导函数为)满足 ‎,e3f(2018)=1,若,则关于x的不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数,若函数在区间上恰有两个不同的零点,则实数的取值范围 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷 非选择题(共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.代数式的展开式的常数项是________(用数字作答)‎ ‎14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现.数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.具体数列为1,1,2,3,5,8,即从该数列的第三项数字开始,每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契”数列,为数列的前项和,若则__________.(用M表示)‎ ‎15.已知点分别是双曲线的左、右焦点, 为坐标原点,点在双曲线的右支上,且满足, ,则双曲线的离心率的取值范围为__________.‎ ‎16.若变量满足约束条件,且的最小值为,则__________.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(I)求函数的最小正周期和最小值;‎ ‎(II)在中,A,B,C的对边分别为,已知,求a,b的值.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 我国是世界严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准(吨),用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分按议价收费,为了了解全市民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(Ⅰ)若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,试估计全市有多少居民?并说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表,并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖,设为用水量吨数在中的获奖的家庭数,为用水量吨数在中的获奖家庭数,记随机变量,求的分布列和数学期望.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,四边形为等腰梯形沿折起,使得平面平面为的中点,连接(如图2).‎ 图1 图2‎ ‎(Ⅰ)求证: ;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知,函数,.‎ 求证:;‎ 讨论函数零点的个数.‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (其中为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把曲线的方程化为普通方程, 的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线, 相交于两点, 的中点为,过点做曲线的垂线交曲线于两点,求.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)解不等式;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求证: .‎ 参考答案 ‎1.B ‎【解析】根据题意得到集合M的解集,再由集合的补集的概念得到 ,最后由交集的概念得到结果.‎ ‎,=,‎ ‎ ,则.故答案为:B.‎ ‎2.C ‎【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解:由题意可得:,‎ 则.本题选择C选项.‎ ‎3.D ‎【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.‎ 由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得: 乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确,‎ 甲班的文科综合成绩强于乙班,即选项正确, 两班的英语平均分分差最大,即选项正确,‎ 两班地理平均分分差最小,即选项错误,故选D.‎ ‎4.A ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q,由3a2,2a3,a4成等差数列,可得2×2a3=3a2+a4,4a2q=3,解得q.利用通项公式与求和公式即可得出.‎ 设等比数列{an}的公比为q,∵3a2,2a3,a4成等差数列,‎ ‎∴2×2a3=3a2+a4,‎ ‎∴4a2q=3,化为q2﹣4q+3=0,‎ 解得q=1或3.‎ q=1时, ,‎ q=2时, .故选:A.‎ ‎5.D ‎【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数.‎ 当时,,解得;‎ 当时,,解得;‎ 当时,,无解.‎ 综上,,则实数a的取值范围是.故选D.‎ ‎6.C ‎【解析】详解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是如图所示的三棱锥,三棱锥的高 , 且侧面底面 ‎ ‎ ∴ ,的外接圆的圆心为斜边的中点 ,设该几何体的外接球的球心为 底面, 设外接球的半径为 则 ‎ 解得 ‎ ‎ ,∴外接球的表面积.故选C.‎ ‎7.B ‎【解析】设, , ‎ ‎∵, , ∴, , 两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,即 ‎∵、、分别表示、、的面积 ‎∴,当且仅当时取等号 ‎∴的最大值是。故选B ‎8.D ‎【解析】画出图形如图所示,由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为,以为直径的圆的方程为. ‎ 由,解得,故点P的坐标为;‎ 由,解得,故点Q的坐标为. ‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,整理得,‎ ‎∴,故得,解得.选D.‎ ‎9.A ‎【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.‎ 因为的最大值为,故,又图象相邻两条对称轴之间的距离为,故即,所以,‎ 令,则即,‎ 因,故,.‎ ‎,故向右平移个单位后可以得到,故A正确;‎ ‎,故函数图像的对称中心为,故B错;‎ 当时,,故,故C错;‎ 当时,,在为减函数,故D错.综上,选A.‎ ‎10.A ‎【解析】可以排除法,利用奇偶性可排除选项;利用,可排除选项,从而可得结果.‎ 因为,‎ 所以函数是奇函数,其图象关于原点对称,可排除选项;‎ 又因为,可排除选项.故选A.‎ ‎11.B ‎【解析】是偶函数, , , , ,即,设,则, 在上递增,由,得,相减可得, 的周期为, , , ,结合的周期为可化为, , 不等式解集为,故选B.‎ ‎12.C ‎【解析】设,则,即,则,所以问题转化为在区间上恰有两个不同的零点,即在区间上恰有两个不同的零点,设,则,则问题转化为在区间上有两个不同的零点,结合二次函数图像可知,应满足,解得,故选择C.‎ ‎13.3‎ ‎【解析】的通项公式为.‎ 令,得;令,得.‎ ‎∴常数项为。故答案为.‎ ‎14.‎ ‎【解析】详解:由“斐波那契”数列可知 ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以 ,‎ ‎ 所以 ‎ ‎15.‎ ‎【解析】由,可得,‎ 故为直角三角形,且,‎ ‎∴.‎ 由双曲线定义可得.‎ ‎∵,‎ ‎∴,可得.‎ 又,‎ 整理得.‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴,即双曲线的离心率的取值范围为.答案: ‎ ‎16.‎ ‎【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8,‎ ‎∴y=﹣3x+z,要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1,‎ 则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方,即3x+y=﹣8,‎ 作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形,‎ 则目标函数经过点A时,目标函数z=3x+y的最小值为﹣8,‎ 代入得到 故答案为:-2.‎ ‎17.(Ⅰ) 的最小正周期,最小值为-4; (Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ ‎ ,‎ 所以的最小正周期,最小值为. ‎ ‎(Ⅱ)因为所以.‎ 又所以,得.因为 ‎,由正弦定理得,由余弦定理得,,‎ 又c=a,所以.‎ ‎18.(Ⅰ)30万;(Ⅱ).‎ ‎【解析】(Ⅰ)由图,不低于3吨人数所占百分比为 所以假设全市的人数为(万人),则有,解得 所以估计全市人数为30万.‎ ‎(Ⅱ)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,因为频率 ,‎ 所以,得,‎ 用水量在之间的户数为户,而用水量在吨之间的户数为户,根据分层抽样的方法,总共需要抽取7户居民,所以用水量在之间应抽取的户数为户,而用水量在吨之间的户数为户.‎ 据题意可知随机变量的取值为0,2,4.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 其分布列为:‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 期望为:.‎ ‎19. (Ⅰ),则,,又因为平面 平面且平面 平面 ,所以平面,从而.‎ ‎(Ⅱ)取AC中点F,连接EF、EC.,设E点到平面BCD的距离为,,,‎ DE与平面BCD所成角为,则.‎ ‎20. 解析:(1)由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得.‎ ‎(2)由(1)得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以.当直线不垂直于轴时, 设,‎ 则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为.联立方程,消得, ,‎ 所以,故,‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为.‎ ‎21. ‎ 证明:设,则,‎ ‎,且,‎ 当时,,递增,‎ 当时,,递减,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 解:,,‎ ‎,,‎ ‎,方程有两个不相等的实根,分别为,‎ ‎,且,‎ ‎,‎ 当时,,递减,当时,,递增,‎ ‎,,‎ ‎,即,‎ ‎.‎ 设,则,是减函数,‎ 当,即时,,‎ 函数只有一个零点,‎ 当,即时,,‎ 函数没有零点,‎ 当,即时,,且,‎ 由知,,‎ 若,则有,‎ ‎,‎ 函数有且只有一个大于的零点,‎ 又,即函数在区间有且只有一个零点,‎ 综上,当时,函数有两个零点;当时,函数只有一个零点,‎ 当时,函数没有零点.‎ ‎22.(1), (2)16‎ 解析:(1)曲线的参数方程为(其中为参数),消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为,展开为,化为..‎ ‎(2)设,且中点为,‎ 联立,‎ 解得,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 线段的中垂线的参数方程为 ‎(为参数),‎ 代入,可得,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎23.解析:(1)‎ 当时,则,解得;‎ 当时,则不成立;‎ 当时,由,解得.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)即.‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以.故所证不等式成立.‎
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