广东省广州市番禺区广东仲元中学2020届高三上学期11月月考数学（理）试题

广东省广州市番禺区广东仲元中学2020届高三上学期11月月考数学（理）试题

七联联合体2020届高三第二次联考试卷（11月）‎ 理科数学 一、选择题 ‎1.若集合，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合，再计算得到答案.‎ ‎【详解】集合，集合，故．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于基础题型.‎ ‎2.设复数满足，则的最大值为（ ）．‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过复数的几何意义，得到最大值为直径，计算得到答案.‎ ‎【详解】复数对应复平面上的点是以为圆心，为半径的圆，故的最大值即为圆的直径．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了复数模的最大值，找出对应的几何意义是解题的关键.‎ ‎3.下列关于命题的说法错误的是（ ）．‎ A. “”是“函数最小正周期为”的充要条件 B. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ C. 命题“若随机变量，，则”为真命题 D. 若命题，，则，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数最小正周期为得到，错误；根据逆否命题，否命题，正态分布的对称性得到正确.‎ ‎【详解】A. 时函数最小正周期也为，故错误；‎ B. 根据逆否命题的定义知正确；‎ C. 根据正态分布的对称性知正确；‎ D. 根据特称命题的否定得到正确.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了命题的判断，意在考查学生的推断能力.‎ ‎4.设，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性分别比较与0,1的大小关系得到答案.‎ ‎【详解】，，，故 故选 ‎【点睛】本题考查数值的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用.‎ ‎5.已知平面向量，，，且，则（ ）．‎ A. 或1 B. 2或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，根据计算得到答案.‎ ‎【详解】因为，，‎ ‎∴，∴，解得．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了向量的平行，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6.在椭圆上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有（ ）‎ A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，可得．当轴或轴时，也满足题意．即可得出．‎ ‎【详解】由椭圆的性质可知：椭圆的上下顶点对、张开的角最大，‎ ‎，，，此时．这样的点P有两个；‎ 当轴或轴时，也满足题意．这样的点P有4个；‎ 因此△为直角三角形，则这样的点有6个．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎7.已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，且，，‎ 恰好构成等比数列的前三项，则（ ）．‎ A. 1 B. 3 C. 5 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据化简得到，再根据，，成等比数列计算得到答案.‎ ‎【详解】∵，当，，‎ 两式相减，化简得，‎ ‎∵，∴，数列是公差1的等差数列．‎ 又，，恰好构成等比数列的前三项，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了数列的项的计算，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）．‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图依次计算得到答案.‎ ‎【详解】 ‎ ‎； ，输出答案.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了框图算法，意在考查学生的阅读理解能力.‎ ‎9.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请100名同学每人随机写下一个，都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，假如某次统计结果是，那么本次实验可以估计的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.‎ ‎【详解】∵而满足构成钝角三角形，则需画出图像：‎ ‎ ‎ 弓形面积：，∴．‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎10.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,∴∠PFQ=90°，‎ 设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q，‎ 由对称性可知,F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,，‎ 不妨设，则，‎ 故.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎11.在正方体中，，分别为，上的动点，且满足，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）．‎ ‎①存在，的某一位置，使 ‎ ‎②的面积为定值 ‎③当时，直线与直线一定异面 ‎ ‎④无论，运动到何位置，均有 A. ①②④ B. ①③ C. ②④ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断，每个选项：①当，分别为棱，的中点时满足，正确；取特殊位置的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④平面，正确.得到答案.‎ ‎【详解】①当，分别为棱，的中点时满足，正确；‎ ‎②当与重合时：；当与重合时：（为正方体边长），错误；‎ ‎③当时，假设直线与直线是共面直线，则与共面，矛盾，正确；‎ ‎④如图所示：分别为在平面内的投影，易证平面，正确.‎ 故选 ‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力.‎ ‎12.设函数的定义域为，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数f（x）的定义域为R，f（-x）=f（x），可知函数是偶函数，f（x）=f（2-x）， 可知函数的对称轴为：x=1，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，函数g（x）=|cos（）|-f（x）可知函数是偶函数，g（x）=|cos（）|-f（x）=0，可得|cos（）|=f（x），在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos（）|，y=f（x）的图象如图：‎ 函数在区间 上的零点的和为：0．函数在时，两个函数的交点关于x=1对称，零点有3个，零点的和为：3． 故选B．‎ 点睛：本题考查函数与方程的综合应用，抽象函数以及数形结合思想方法的应用，考查作图能力以及计算能力，函数零点的问题都转化为两个函数图像的交点问题，数形结合的思想是本题要考查的关键.‎ 二、填空题 ‎13.等比数列的前项和为，若，，则公比等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题中两等式作差可得出，整理得出，由此可计算出的值.‎ ‎【详解】将等式与作差得，，‎ 因此，该等比数列的公比，故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列公比的计算，在两个等式都含前项和时，可以利用作差法转化为有关项的等式去计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎14.在四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：将四面体放入长方体中，利用勾股定理得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：将四面体放入长方体中：‎ 设长方体的边长分别为，则 相加得到 ‎ 体积为： ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入长方体是解题的关键.‎ ‎15.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将题目分为只进入第一轮，第二轮和第三轮三种情况，分别计算概率相加得到答案.‎ ‎【详解】设事件表示“该软件能通过第轮考核”，‎ 由已知得，，，，‎ 设事件表示“该软件至多进入第三轮”，则 ‎．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了概率的计算，分类利用独立性是解题的关键.‎ ‎16.设函数，已知在有且仅有5个零点，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算和的端点值，计算得到答案.‎ ‎【详解】由于在有且仅有5个零点，‎ 则令，解得，得；‎ 再令，解得，得．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，意在考查学生的综合应用能力.‎ 三、解答题 ‎17.设的内角，，所对边分别为，，．已知角，，成等差数列，为钝角，且满足．‎ ‎（1）求角，，的大小；‎ ‎（2）若，求面积的值．‎ ‎【答案】(1) ，， (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列得到，利用余弦定理得到，计算得到答案.‎ ‎（2）利用正弦定理得到，再利用面积公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，，成等差数列，∴，‎ 又，∴，．‎ 由和余弦定理可得．‎ ‎∵为钝角，而也是钝角，‎ ‎∴， ①‎ 又， ②‎ 联立①②解得，，∴，，为所求．‎ ‎（2）由和正弦定理可得 ‎．‎ ‎∴．‎ 所以的面积的值是．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角函数公式的应用能力.‎ ‎18.如图1，是以为斜边直角三角形，，，，‎ ‎，，将沿着折起，如图2，使得．‎ ‎（1）证明：面平面；‎ ‎（2）求二面角大小的余弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用勾股定理得到，证明面得到答案.‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，垂直方向为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，分别计算平面的法向量，再计算法向量夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，，，‎ ‎∴，即．‎ 又，，∴面，‎ 面，∴面面．‎ ‎（2）如图，以为坐标原点，垂直方向为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系．‎ ‎，，，．‎ 设面的法向量为，‎ 由，得，，取 设面的法向量为，由，‎ 得，，取 ‎∴，‎ 由图形可知二面角为钝角，‎ 所以二面角大小的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直和二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与到直线的距离相等．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）过点分别作射线、交曲线于不同的两点、，且．试探究直线是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) 直线过定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，化简得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为，联立方程利用韦达定理得到，，根据得到，故代入方程得到答案.‎ ‎【详解】（1）设，依题意，即，‎ 化简得，∴曲线的轨迹方程为．‎ ‎（2）直线经过定点 证明：如图，依题意，直线斜率不能为0，所以设直线的方程为 联立得， ①，‎ 设、，则，．‎ 又，∴，即，‎ 即，‎ 又，，∴，‎ ‎∴，‎ 依题意，直线不经过，∴，‎ 所以，．此时代入①式恒成立．‎ 而当时，直线方程为，即，‎ 即直线过定点．‎ 综上，直线过定点．‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，将转化为是解题的关键，意在考查学生的转化能力和计算能力.‎ ‎20.2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．‎ ‎（1）若，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；‎ ‎（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应的值．‎ ‎【答案】(1) (2) 最高费用为万元．对应．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得到，代入数据计算得到答案.‎ ‎（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500，计算得到 ‎，求导得到单调性计算最大值得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ‎，‎ 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”概率为，‎ 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为 ‎．‎ ‎∴时，‎ 所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为．‎ ‎（2）设每篇学术论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500．‎ ‎，，‎ 所以．‎ 令，，．‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减．‎ 所以的最大值为．‎ 所以评审最高费用为（万元）．对应．‎ ‎【点睛】本题考查了概率计算的应用，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间并判断单调性；‎ ‎（2）若，且方程有两个不相等的实数根，．求证：‎ ‎．‎ ‎【答案】(1) 单调增区间为，．见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，根据导数的正负得到函数的单调区间.‎ ‎（2）求导得到，存在 使在上单调递减，在上单调递增，得到，化简得到答案.‎ ‎【详解】（1）依题意，定义域为，‎ 设，则，‎ 当时，，∴，∴，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 当时，，∴，∴，‎ ‎∴在上单调递增．‎ 综上可得，函数的单调增区间为，．‎ ‎（2），∴，‎ 设，∴，∴在上单调递增，‎ 当时，，，‎ ‎∴必存在，使得，即，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，设，则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，不妨设，则，，‎ 由（1）知，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和零点问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ ‎22.在直线坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）写出的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（2）设，是上的两点，且，求的值．‎ ‎【答案】(1)普通方程是．极坐标方程为 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.‎ ‎（2）不妨设，，故，代入 化简得到答案.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）‎ 移项后两边平方可得 即曲线的普通方程是．‎ 因为，，‎ 代入上式可得的极坐标方程为．即．‎ ‎（2）因为，是上两点，且，‎ 所以不妨设，．‎ 由在曲线上可知．‎ 同理，在曲线上可知．‎ 所以，．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标和参数方程，意在考查学生对于极坐标和参数方程的理解和计算能力.‎ ‎23.已知函数，，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若都为正数，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，分析可得的解集为，化简可得m的值；‎ ‎（2）由（1）的结论，则，，结合基本不等式的性质分析可得结论．‎ ‎【详解】（1），，且的解集为，‎ 可得的解集为，所以.‎ ‎（2）因为都为正数，所以，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当时，等号成立，即.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的性质，关键是求出m的值．‎ ‎ ‎