高考数学理一轮复习配套讲义 二项分布与正态分布

高考数学理一轮复习配套讲义 二项分布与正态分布

第5讲　二项分布与正态分布 ‎[最新考纲]‎ ‎1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ ‎2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．‎ ‎3．能解决一些简单的实际问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1．条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1‎ ‎(2)若B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2.事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ 若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立．‎ ‎3．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A‎1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．‎ ‎(2)二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎4．正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a4)的值．‎ 解　∵随机变量X～N(3,1)，‎ ‎∴正态曲线关于直线x＝3对称，‎ 由P(2≤X≤4)＝0.682 6，‎ 得P(X>4)＝[1－P(2≤X≤4)]＝(1－0.682 6)＝0.158 7.‎ 考点四　独立重复试验与二项分布 ‎【例4】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．‎ ‎(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎(2)求中奖人数X的分布列．‎ 审题路线　(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．‎ 解　(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且相互独立，那么A，，相互独立．‎ 又P(A)＝P(B)＝P(C)＝，‎ ‎∴P(A··)＝P(A)P()P()＝·2＝，‎ 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3，且X～B，‎ ‎∴P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)．‎ 则P(X＝0)＝C·＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以中奖人数X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．‎ ‎【训练4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.‎ ‎(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；‎ ‎(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X，求X的概率分布列及数学期望E(X)．‎ 解　(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 ‎1－P( )＝1－·p＝，解得p＝.‎ ‎(2)由题意，P(X＝0)＝C3＝，‎ P(X＝1)＝C2×＝，‎ P(X＝2)＝C××2＝，‎ P(X＝3)＝C3＝.‎ 所以，随机变量X的概率分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故随机变量X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎1．相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎2．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与(n－k)个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.‎ ‎3．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 易错辨析11——对二项分布理解不准致误 ‎【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.‎ ‎(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；‎ ‎(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．‎ 解　(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，‎ 故X～B.‎ 所以X的分布列为P(X＝k)＝Ck·6－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.‎ ‎(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．‎ P(Y＝k)＝k·(k＝0,1,2,3,4,5)，‎ 而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．‎ 故其概率为P(Y＝6)＝6，‎ 因此Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎[易错警示] 由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成”．‎ ‎[防范措施]　独立重复试验中的概率公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与(1－p)的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了．‎ ‎【自主体验】‎ ‎　(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．‎ ‎(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有＝“‎ 张同学所取的3道题都是甲类题”．‎ 因为P()＝＝，所以P(A)＝1－P()＝.‎ ‎(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝C·0·2·＝；‎ P(X＝1)＝C·1·1·＋C0·2·‎ ＝；‎ P(X＝2)＝C·2·0·＋C·1·1·＝；‎ P(X＝3)＝C·2·0·＝.‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1．设随机变量X～B，则P(X＝3)的值是(　　)．‎ A. B. C. D. 答案　B ‎2．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝(　　)．‎ A．0.477 B．‎0.628 C．0.954 D．0.977‎ 答案　C ‎3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ‎，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)．‎ A. B. C. D. 答案　B ‎4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为(　　)．‎ A．0.45 B．‎0.6 C．0.65 D．0.75‎ 答案　D ‎5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.则p0的值为(　　)．‎ ‎(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋X没有零点的概率是时，μ＝4.‎ 答案　B ‎2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：‎ an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(　　)．‎ A．C2·5 B．C2·5‎ C．C2·5 D．C2·5‎ 解析　S7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为，摸到白球的概率为.故所求概率为P＝C25.‎ 答案　B 二、填空题 ‎3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．‎ 小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．‎ 解析　记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．‎ 解　(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜 利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，‎ 故P(A1)＝3＝，‎ P(A2)＝C2×＝，‎ P(A3)＝C22×＝.‎ 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.‎ ‎(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，‎ 由题意知，各局比赛结果相互独立，‎ 所以P(A4)＝C22×＝.‎ 由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，‎ 又P(X＝1)＝P(A3)＝，‎ P(X＝2)＝P(A4)＝，‎ P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎