新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2020届高三上学期月考数学（理）试题

数学试卷（理数）‎ ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）‎ ‎1.若集合表示实数集，则下列选项错误的是( )‎ A． B． D．‎ ‎2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．9盏 B．5盏 C．3盏 D．1盏 ‎3.函数“ 是偶函数”的否定是(    )‎ A. B.‎ C. D.‎ A. 16 B. ‎4 C. 1 D. ‎ ‎5.直三棱柱中，所有棱长都相等，M是的中点，N是的中点，则AM与NC1所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若 分别是 的中点，则的值为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8.一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为(　　)‎ A. B. C. D. ‎9.三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边 长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A. B．4π C．8π D．20π ‎ ‎ ‎11.已知函数的定义在R上的奇函数，当时，满足，则在区间内（ ）‎ A. 没有零点 B. 恰有一个零点 C. 至少一个零点 D. 至多一个零点 ‎12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)‎ ‎13. 已知向量满足且则与的夹角为_________. 14.定积分的值为 ；‎ ‎15.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为_________.‎ ‎16. 定义在R上的函数为减函数，且函数的图象关于点（1,0）对称，若且，则的取值范围是_________。‎ 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分 10 分）已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求f(x)的最小值m；‎ ‎(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(‎2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为Sn,公差d≠0,‎ 且,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前n项和Tn.‎ ‎20.（本小题满分12分）如图1，平面五边形中，∥，，，△是边长为2的正三角形. 现将△沿折起，得到四棱(如图2)，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知数列，满足，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，求.‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数 (为常数，)·‎ ‎(Ⅰ)若是函数的一个极值点，求的值；(Ⅱ)求证：当时，在上是增函数；(Ⅲ)若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ 数学试卷（理数）答案 一． 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C A D A C D C B D B A 二． 填空题 三．解答题 ‎17.（1）当，；‎ 当，；‎ 当，。      ‎ 综上，的最小值。      ......5分 ‎（2），，均为正实数，且满足。     ‎ 又因为。      ‎ ‎（当且仅当时，取“”）‎ 所以，即。      ......10分 ‎18.解 (1)f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx=sin ωx·cos ωx-cos2ωx ‎=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin.‎ ‎∵最小正周期为T=π,∴=π,ω=1.‎ ‎∴f(x)=sin.‎ ‎∴f=sin.‎ ‎(2)∵(‎2a-c)cos B=bcos C,‎ ‎∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,‎ ‎2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.‎ ‎∵sin A>0,∴cos B=,∵B∈(0,π),∴B=.‎ ‎∴A∈,‎2A-,‎ ‎∴sin.即f(A)的取值范围为.‎ ‎19.解 (1)依题意得解得 所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.‎ ‎(2)=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,‎ Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①‎ ‎3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②‎ ‎①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,所以Tn=n·3n.‎ ‎20.（Ⅰ）证明：由已知得，.‎ ‎ 因为，所以平面. ‎ 又平面，所以平面平面. ‎ ‎（2）在棱上存在点，使得∥平面，此时. ‎ 理由如下：‎ 设的中点为，连接，，‎ 则 ∥，.‎ 因为∥，且，‎ 所以∥,且，‎ 所以 四边形是平行四边形， ‎ 所以 ∥.‎ 因为平面，且平面，‎ 所以∥平面. ‎ ‎21.证明(Ⅰ)由,得,  ,  数列是首项为1,公差为的等差数列,  (Ⅱ)解:设,  由(Ⅰ)得,数列是首项为1,公差为的等差数列,  ,  即,  ,  且 是首项,公差为的等差数列,  ‎ ‎22.试题解析： （Ⅰ）由已知，得且，                                                      （Ⅱ）当时，  当时， 又    故在上是增函数                              ‎ ‎（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。 记 则 当时， 在区间上递减，此时 由于，时不可能使恒成立，故必有 若，可知在区间上递减，在此区间上，有 ，与恒成立相矛盾，故，这时， ‎ 在上递增，恒有，满足题设要求，     即所以实数的取值范围为                                      ‎