海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（A卷）

海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题（A卷）

海口市第一中学2020届高三年级9月月考 数学科试题 一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.欧拉公式：为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎3.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎4. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为（ ）‎ A．　 B．　 C．　 D．　‎ ‎5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎8.安排，，，，，，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ）‎ A．30种 B．40种 C．42种 D．48种 ‎9. 已知数列中，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）‎ A . B． C． D．‎ ‎11.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎12.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A．45 B. C.64 D.84‎ 二．填空题：（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13.设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．‎ ‎14.曲线在点处的切线与直线垂直，则________.‎ ‎15．在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.则3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率 ； ‎ ‎16.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为 ‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. （本小题满分10分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．‎ ‎（I）求数列与的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和．‎ ‎18. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图所示,平面多边形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,且 AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD⊥CD,现沿直线AD,将△ADE折起,得到四棱锥P-ABCD.‎ ‎(1)求证:PB⊥AD;‎ ‎(2)若PB=,求PD与平面PAB所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：‎ 机器类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 销售总额（万元）‎ 销售量（台）‎ 利润率 利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值．‎ ‎（1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；‎ ‎（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取台，求这两台机器的利润率不同的概率；‎ ‎（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利万元，销售一台第二类机器获利万元，…，销售一台第五类机器获利，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为，设，试判断与的大小．（结论不要求证明）‎ ‎21. （本小题满分12分） 椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立.‎ 海口市第一中学2020届高三年级9月月考数学科参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A D B B C A C A B ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.【解析】（I）由，，则，‎ 设等差数列的公差为，则，所以.‎ 所以.‎ 设等比数列的公比为，由题，即，所以.‎ 所以；‎ ‎（II），‎ 所以的前项和为 ‎.‎ ‎18.【解析】（1）‎ ‎，所以. ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以.由不等式恒成立，得，解得.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎19.(1)证明取AD的中点O,连接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD,又OB∩OP=O,‎ ‎∴AD⊥平面BOP,而PB⊂平面BOP,∴PB⊥AD.‎ ‎(2)解∵OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,‎ ‎∴PO⊥OB,‎ ‎∴OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),=(0,1,1),=(-2,0,1),‎ 设m=(a,b,c)为平面PAB的一个法向量,则 由令a=1,则得c=2,b=-2,∴m=(1,-2,2),‎ 设PD与平面PAB所成角为θ,则sinθ=,即PD与平面PAB所成角的正弦值为.‎ ‎20.【解析】（1）由题意知，本月共卖出30台机器，‎ 利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台．‎ 设“这台机器利润率高于0.2”为事件，则．‎ ‎（2）用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万，‎ 第一类有台，第三类有台，共有台，随机选取台有种不同方法，‎ 两台机器的利润率不同则每类各取一台有种不同方法，‎ 设两台机器的利润率不同为事件，则．‎ ‎（3）由题意可得，可能取的值为 ‎，，‎ ‎，，‎ 因此；‎ 又，所以．‎ ‎21. （1）由已知得：当时，，‎ 此时， 所以，， ‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）当时，，代入椭圆的方程得：，所以，， ‎ 所以，线段的中点坐标， ‎ 线段的中垂线方程为，令， ‎ 即圆心坐标为，所以半径， ‎ 因此所求圆的方程为：. ‎ ‎22．（1）在上不具有单调性，在上有正也有负也有，即二次函数在上有零点 是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 ‎（2）由（1），，‎ ‎，‎ 设 在是减函数，在增函数，当时，取最小值 从而，函数是增函数，‎ 是两个不相等正数，不妨设，则 ‎，即