中考数学压轴题解题策略例谈

中考数学压轴题解题策略例谈

中考数学压轴题解题策略例谈 湖北省鹤峰县五里民族中心学校 周双照 如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．‎ ‎（1）抛物线及直线AC的函数关系式；‎ ‎（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；‎ ‎（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；‎ ‎（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．‎ 一、背景出处 此题是2012年恩施州数学中考试题的压轴题，题干文字精炼，图形外观简洁，设问由浅入深，内涵十分丰富. 本题涉及的知识点有二次函数、一次函数、平行四边形、垂线、平行线、函数解析式、点的坐标、面积、一元二次方程、轴对称求最短路径等初中数学的核心知识.‎ 压轴题一般由三个或四个小问题组成，这几个问题一般都是渐进式，层层递进.命题的基本思路是：立足教材，聚焦中考，力求创新.‎ 本题的原题是人教版九年级“二次函数”这一章中一个传统练习题（新老教材都有）：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.‎ 压轴题是中考试题的“制高点”，学生通过对此题的研究，就会明确中考压轴题编写的规律，从而能挑战中考压轴题，攻克“制高点”.这对提高学生解题能力和应试能力，具有很强的现实意义.‎ 二、题目立意 ‎1 已知条件 已知条件有三个： ①抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点；②抛物线与y轴交于点N；③抛物线顶点为D.需要解答的问题有四个.‎ ‎2 难点的位置 ① 第（2）问学生能想到作N点关于直线x=3的对称点N′，求出N′（6，3）的思路；② 第（3）问建立方程模型；③ 第（4）问建立函数模型.‎ ‎3 估计难度 难度系数为0.4.‎ ‎4 易错点 解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解．‎ ‎5 隐含条件 ①由抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，可得 设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）可得 ‎ ②由点M（3，m），求使MN+MD的值最小，可作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），故可求出直线DN′的函数关系式.‎ ‎ ③由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），因点E在直线AC上，可设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，知F（x，x+3），又因F在抛物线上，可得x+3=﹣x2+2x+3；‎ 当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，可知F（x，x﹣1），由F在抛物线上可得x﹣1=﹣x2+2x+3.‎ ‎ ④由P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值，可知要将△APC采用割补的方法，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），可得P（x，﹣x2+2x+3）‎ ‎6 关键点 第（1）问的关键是解方程组必须准确，因后面三个问题都与第（1）问的计算结果有直接联系；第（2）问的关键是作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3）；第（3）问 的关键点是懂得关于“平行四边形的存在性问题解题策略”；第（4）问的关键点是建立函数模型.‎ ‎7 知识立意 纵观近几年的中考试题，很多省市的中考压轴题通常以平面直角坐标系为背景，借助抛物线，要么考查点、线的运动状态下的几何图形面积（周长、线段长）的函数关系式或者其最值计算、定值证明；要么考查如何确定等腰三角形或者相似三角形、特殊的平行四边形的某个顶点的位置；要么考查分类讨论下的分段函数.本题以教材中的练习题为基础，让学生循序而上，运用通性通法纵深探究.第（1）问考查利用待定系数法求函数解析式；第（2）问考查图形变换求最短路径；第（3）问求平行四边形的某个顶点坐标；第（4）问求面积的最值.后两问有新意，思维量高.‎ ‎8 能力立意 从能力立意上看，通过学生观察、猜想、联想、计算、验证、推理等数学活动，使学生经历了问题的初步理解、深入探究、解决与回顾的过程，逐步发展了学生的动手操作、探究问题、合情推理和初步演绎推理的能力.‎ 三、解题策略 我根据波利亚的《怎样解题》，自创了“四个什么”解题术，即“求什么”、“是什么”、“差什么”、“找什么”.‎ 第（1）问求什么：求抛物线及直线AC的函数关系式.是什么：是用待定系数法进行解题题型.差什么：差方程组.找什么：找建立方程组所需点的坐标.‎ 第（2）问求什么：求点的纵坐标.是什么：是轴对称求最短路径题型.差什么：差使MN+MD的值最小的方法.找什么：根据自编口诀：“和最小，对称找，化折为直是技巧”,此问就很容易找出其解答的方法了.‎ 第（3）问求什么：判断以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形 ‎？是什么：是属存在性问题模式.差什么：差建立方程模型的条件.找什么：根据存在性问题模式的解题思路、结合平行四边形的判定方法去寻找建立模型的条件.‎ 第（4）问求什么：求△APC的面积的最大值.是什么：是根据函数求最值问题.差什么：差建立函数模型的条件.找什么：一般采用分割的方法把△APC的面积表示出来.‎ 解答：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故抛物线为y=﹣x2+2x+3‎ 又设直线为y=kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3）得 ‎，‎ 解得 故直线AC为y=x+1；‎ ‎（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），‎ 故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+，‎ 当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，‎ 则m=﹣×=；‎ ‎（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），‎ ‎∵点E在直线AC上，‎ 设E（x，x+1），‎ ‎①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，‎ 则F（x，x+3），‎ ‎∵F在抛物线上，‎ ‎∴x+3=﹣x2+2x+3，‎ 解得，x=0或x=1（舍去）‎ ‎∴E（0，1）；‎ ‎②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，‎ 则F（x，x﹣1）‎ 由F在抛物线上 ‎∴x﹣1=﹣x2+2x+3‎ 解得x=或x=‎ ‎∴E（，）或（，）‎ 综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；‎ ‎（4）方法一：如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）‎ ‎∴PQ=（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）‎ ‎=﹣x2+x+2‎ 又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ ‎=PQ•AG ‎=（﹣x2+x+2）×3 ‎ ‎=﹣（x﹣）2+‎ ‎∴面积的最大值为．‎ 方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）‎ 又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC ‎=（x+1）（﹣x2+2x+3）+（﹣x2+2x+3+3）（2﹣x）﹣×3×3‎ ‎=﹣x2+x+3‎ ‎=﹣（x﹣）2+‎ ‎∴△APC的面积的最大值为．‎ 四、教学策略 我根据教育学、心理学及新课程改革的新教学理念，自创了“初中数学五步教学法”.‎ 第一步：创设情境，激发兴趣.老师可说今天我们一起来挑战中考压轴题，看哪些同学能挑战成功？（教师可以准备一些奖品）‎ 第二步：自主探索，动手动脑.学生初次接触压轴题时，教师可以留给学生充足的探索时间，那是因为课堂一般是“七分等待，三分教学”.‎ 第三步：合作交流，质疑辨惑.学生在展示自己的成果过程中，开展合作交流；学生在合作交流过程中，能够质疑辨惑.‎ 第四步：小结反思，理性升华.“编萝织框，全在收口”，师生通过小结反思，学生所学的知识得到掌握，能力得到提升.‎ 第五步：课堂检测，查漏补缺.教师通过提问、板演、变式训练、自测题等多种形式来检查教学效果，从而进行查漏补缺.‎ 五、思想方法 此题主要考查了数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、转化思想及待定系数法、配方法等思想方法.‎ 第（1）问利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；‎ 第（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小；‎ 第（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；‎ 第（4）问方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，如图1．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣（x﹣）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；‎ 方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图2．设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知：‎ S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣（x﹣）2+， 所以由二次函数的最值的求法可知 △APC的面积的最大值；‎ 六、变式拓展 笔者从事教学30年，发现通过此题的原题进行变式拓展的题目非常多，倍受命题者的青睐，现提供一组中考试题，希望同学们有所思、从而有所悟，悟出规律、悟出方法、悟出灵感、悟出思路，便会有所发现、有所提高、有所创新，最终达到“做一题、会一类、通一遍”的效果.‎ 变式拓展1：（十堰）抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．‎ 菁优变式拓展2：（孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；‎ ‎（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为　　时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为　　时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．‎ 优网变式拓展3：（山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．‎ ‎（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；‎ ‎（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．‎ 变式拓展4：（玉林）如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．‎ ‎（1）求点B，C的坐标；‎ ‎（2）判断△CDB的形状并说明理由；‎ ‎（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．‎ 优网变式拓展5：（广元）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；‎ ‎（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；‎ ‎（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．‎ 参考文献：‎ ‎[1] 波利亚 《怎样解题》‎ ‎[2] 马学斌 《挑战压轴题 中考数学》‎ ‎[3] 茅雅琳 初中数学教师说题比赛的意义初探 《中国数学教育》 2014（10）46-48‎ ‎[4] 钱德春 “中考试题我来编”征稿选登 《中学数学教学参考》 2014（4） 50-51‎ ‎[5] 万广磊 返璞归真 殊途同归 《中学数学教学参考》 2012（8）55-56‎